【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.2二次函数的图象与性质 第一课时【优质课件】

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2 二次函数的图象与性质
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数 y = x 2与 y = -x 2的图象
　　在同一直角坐标系中，画出函数 y = x 2 和 y =－x 2 的图象，这两个函数的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？
探索新知
y=x2
y=－x2
0
0.25
1
2.25
0.25
1
2.25
4
0
－0.25
－1
－2.25
－0.25
－1
－2.25
－4
x
0
－2
1
1.5
0.5
－1.5
－0.5
－1
函数图象画法
列表
描点
连线
注意：列表
时自变量取
值要均匀和
对称
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
探索新知
例1 作出二次函数 y＝x 2的图象．
按列表、描点、连线三个步骤画函数的图象．
(1)列表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 9 4 1 0 1 4 9 …
解：
导引：
探索新知
(2)描点；
(3)连线．
x
y
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y =x 2
探索新知
总 结
七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六个点，由于关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧三个点的坐标，则左侧三个点的坐标对应写出即可．
典题精讲
已知正方形的边长为x (cm)，则它的面积y (cm2)与边长x (cm)的函数关系图象为(　　 )
1
C
典题精讲
下列关于抛物线 y＝x 2和y＝－x 2的异同点说法错误的是(　　)
A．抛物线 y＝x 2和y＝－x 2有共同的顶点和对称轴
B．抛物线 y＝x 2和y＝－x 2的开口方向相反
C．抛物线 y＝x 2和y＝－x 2关于x 轴成轴对称
D．点A(－3，9)在抛物线 y＝x 2上，也在抛物线 y＝－x 2上
2
D
典题精讲
关于y＝x 2与 y＝－x 2的图象，下列说法中错误的是(　　)
A．其形状相同，但开口方向相反，原因是函数
表达式的系数互为相反数
B．都关于y 轴对称
C．图象都有最低点，且其坐标均为(0，0)
D．两图象关于x 轴对称
3
C
典题精讲
已知A (m，a )和B (n，a )两点都在抛物线 y＝x 2上，则m，n 之间的关系正确的是(　　)
A．m＝n　　　　　
B．m＋n＝0
C．m＋n>0
D．m＋n<0
4
B
典题精讲
2
知识点
二次函数 y = x 2与 y = -x 2的性质
议一议
观察二次函数 y=x 2与 y =－x 2的图象，你能发现什么问题？
探索新知
抛物线
y =x 2
y =－x 2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
极值
（0，0）
（0，0）
y 轴
y 轴
在x 轴的上方（除顶点外）
在x 轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x =0时，最小值为0.
当x =0时，最大值为0.
探索新知
当a>0时，在对称轴的
左侧，y 随着x 的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y 随着x 的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y 随着x 的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y 随着x 的增大而
减小。
当x=－2时，y=4
当x=－1时，y=1
当x =1时，y =1
当x =2时，y =4
当x=－2时，y=－4
当x=－1时，y=－1
当x =1时，y =－1
当x =2时，y =－4
探索新知
例2 已知函数 y＝－ x 2，不画图象，回答下列各题．
(1)开口方向：______；
(2)对称轴：_____；
(3)顶点坐标：______；
(4)当x＞0时，y 随x 的增大而______；
(5)当x____时，y＝0；
(6)当x____时，函数值 y 最____，是___．
导引：根据二次函数 y＝ax 2(a≠0)的性质直接作答．
向下
y 轴
减小
（0，0）
=0
=0
大
0
探索新知
例3 如图，观察函数 y＝x 2的图象，则下列判断中正确
的是(　　)
A．若a，b 互为相反数，则当x＝a 与x＝b 时的函数
值相等
B．对于同一个自变量x，有
两个函数值与其对应
C．对任意实数 x，都有y＞0
D．对任意实数 y，都有两个x
与其对应
A
探索新知
导引：当x＝a 和x＝b 时的函数值分别是a 2，b 2，因为a＝－b，
所以a 2＝b 2，所以A正确．如果对于同一个自变量x，y 有
两个值与其对应，根据定义知 y 就不是 x 的函数，故B错误．
当x＝0时，y＝0，所以选项C也不对．y＝x 2的图象是经过原
点，位于x 轴上方的，所以y ≥0，y 不可能取到所有实数，当
y＝0时，x＝0，故D错误．
探索新知
总 结
y＝x 2的图象关键有两性：
一是对称性(关于y 轴对称)；
二是非负性(函数值 y 的非负性)．
探索新知
例4 已知a>1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y＝x 2
的图象上，则y1，y2，y3 之间的大小关系为___________．
导引：
因为a>1，所以00时，y 随x 的增大而增大”的性质，可得y3>y2>y1.
y3>y2>y1
探索新知
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，可直接利用函数的增减性进行大小比较．
典题精讲
已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数 y＝－x 2的图象上的两点，当x11
y1＜y2
如图，点A 是抛物线 y＝－x 2上一点，AB⊥x 轴于点B，连接AO，若B点坐标为(－2，0)，则A点坐标为____________，S△AOB＝________．
2
(－2，－4)
4
典题精讲
下列说法正确的是(　　)
A．函数 y＝x 2的图象上的点，其纵坐标的值随x 值的增
大而增大
B．函数 y＝－x 2的图象上的点，其纵坐标的值随x 值的
增大而增大
C．抛物线y＝x 2与y＝－x 2的开口方向不同，其对称轴
都是y 轴，且y 值都随x 值的增大而增大
D．当x<0时，函数 y＝x 2，y 的值随x 值的增大的变化情
况与当x >0时，函数y＝－x 2，y 的值随x 值的增大的
变化情况相同
3
D
典题精讲
如图，一次函数 y1＝kx＋b 的图象与二次函数 y2＝x 2的图象交于A (－1，1)和B (2，4)两点，则当y1A．x<－1　　　　　　　　
B．x >2
C．－1D．x<－1或x >2
4
D
易错小结
函数 y＝－x 2(－2≤x≤1)的最大值为____，最小值为______．
易错点：求函数的最值问题时忽略自变量的取值范围.
0
－4
学以致用
小试牛刀
已知a＜－1，点(a－1，y1)，(a，y2)，(a＋1，y3)都在函数 y＝x 2的图象上，则(　　)
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
1
C
小试牛刀
如图，圆的半径为2，C1 是函数 y＝x 2的图象，C2 是函数y＝－x 2的图象，则阴影部分的面积是________．
2
2π
小试牛刀
3 已知函数 y＝(m＋2)x ＋4m＋5是关于x 的二次函数．
(1)求满足条件的m 的值．
(2)当m 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标．
小试牛刀
(1)根据题意有
解得
即当m＝－3或m＝－1时，函数y＝(m＋2)x ＋4m＋5是关于x 的二次函数．
(2)∵抛物线有最高点，∴m＋2<0，
即m<－2.则m＝－3.
此时二次函数表达式为y＝－x 2，
其图象的最高点的坐标为(0，0)．
解：
m＋2≠0，
m 2＋4m＋5＝2.
m≠－2，
m＝－3或m＝－1.
小试牛刀
4 已知抛物线 y＝－x 2与直线 y＝3x＋m 都经过点(2，n)．
(1)画出函数 y＝－x 2的图象，并求出m，n 的值．
(2)两者是否存在另一个交点？若存在，请求出这个点的坐标；若不存在，请说明理由．
小试牛刀
(1)函数 y＝－x 2的图象如图所示．
∵抛物线 y＝－x 2与直线 y＝3x＋m 都过点(2，n)，
∴n＝－22，n＝3×2＋m，即n＝－4，m＝－10.
(2)存在．
联立方程组
解得 或
则另一个交点的坐标为(－5，－25)．
解：
y＝－x 2，
y＝3x－10，
x＝－5，
y＝－25
x＝2，
y＝－4.
小试牛刀
5 已知点A (1，a )在抛物线 y＝x 2上．
(1)求点A 的坐标．
(2)在x 轴上是否存在点P，使得△OAP 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
小试牛刀
(1)把点(1，a)的坐标代入y＝x 2，
得a＝1，所以点A 的坐标为(1，1)．
(2)存在．当OA＝AP 时，点P 的坐标为(2，0)；当OA＝OP 时，点P 的坐标为( ，0)或(－ ，0)；当OP＝AP 时，点P 的坐标为(1，0)．
解：
小试牛刀
6 有一抛物线型城门洞，拱高为4 m，如图，把它放在平面直角坐标系中，其函数表达式为 y＝－x 2.
(1)求城门洞最宽处AB 的长；
(2)现有一辆高为2.6 m，宽为2.2 m的小型货车，问它能否安全通过此城门洞？
小试牛刀
(1)因为点O 到AB 的距离为4 m，所以A，B 两点的纵坐标都为－4，由－4＝－x 2，得x＝±2.又点A 在点B 左侧，则点A 的坐标为(－2，－4)，点B 的坐标为(2，－4)．所以AB＝4 m．即城门洞最宽处AB 的长为4 m.
解：
小试牛刀
(2)如图，用矩形CDEF 表示小型货车的横截面，则ED，FC 均垂直于AB，点E，F 到AB 的距离为2.6 m，点F 的横坐标为1.1.设拋物线上一点M 的横坐标为1.1，则点M 的纵坐标为－1.12＝－1.21，所以点M 到AB 的距离为4－|－1.21|＝2.79(m)．因为2.79＞2.6，所以小型货车能安全通过此城门洞．
课堂小结
课堂小结
1.研究函数图象，就是要明确该函数图象的画法、名称、形状特征以及分布在坐标系中的位置．二次函数 y＝x 2和y＝－x 2的图象都是抛物线，是轴对称图形．开口方向、顶点、对称轴统称为抛物线的三要素．
2.二次函数 y＝x 2和 y＝－x 2图象的形状和大小完全相同，只是开口方向不同，这两个函数的图象既关于x 轴对称又关于原点对称．
同学们，
下节课见！
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