【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.2二次函数的图象与性质 第五课时【优质课件】

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2 二次函数的图象与性质
第5课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
y＝ax 2
k＞0 上移
y＝ax 2＋k
y＝ax 2
y＝a (x－h)2
k＜0 下移
顶点在y 轴上
左加
右减
顶点在x 轴上
问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数 y =a(x-h)2+k 与y =ax 2之间的关系
想一想
二次函数 y =a (x-h)2+k 与y =ax 2图象有什么关系？
探索新知
归 纳
一般地，抛物线 y＝a (x－h)2＋k 与y＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线 y＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线 y＝a (x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k 的值来决定．
探索新知
例1 将抛物线 y＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，
那么得到的抛物线对应的函数关系式为(　　)
A．y＝3(x＋2)2＋3　　 B．y＝3(x－2)2＋3
C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
导引：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y＝3x 2向上平移
3个单位所得抛物线对应的函数关系式为 y＝3x 2＋3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线 y＝3x 2＋3向左
平移2个单位所得抛物线对应的函数关系式为 y＝3(x＋2)2＋3.
A
探索新知
总 结
将抛物线在平面直角坐标系中平移，关键就是顶点坐标在发生变化，抛物线的形状和大小不变，故紧扣顶点式 y＝a (x－h)2＋k 中h，k 的变化即可．
典题精讲
将抛物线 y＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是(　　)
A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
1
C
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y＝3x 2不动，而把x 轴，y 轴分别向上、向右平移3个单位长度，那么在新坐标系下此抛物线对应的函数表达式是(　　)
A. y＝3(x－3)2＋3 B. y＝3(x－3)2－3
C. y＝3(x＋3)2＋3 D. y＝3(x＋3)2－3
2
D
探索新知
2
知识点
二次函数 y＝a(x-h)2+k 的图象
画出函数 的图像
探索新知
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x =－1
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解：先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
…
探索新知
导引：抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口向上，顶点坐标为(1，2)，
对称轴为直线x＝1.
例2 抛物线 y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对称轴分
别是(　　)
A．向下，(1，2)，直线x＝1　　　
B．向上，(－1，2)，直线x＝－1
C．向下，(－1，2)，直线x＝－1
D．向上，(1，2)，直线x＝1
D
探索新知
总 结
本题运用了性质判断法，运用二次函数的性质，结合图象进行判断．
典题精讲
抛物线 y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　　)
A．(3，4) B．(－3，4)
C．(3，－4) D．(2，4)
1
A
2 若抛物线 y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为(　　)
A．m＞1 B．m＞0
C．m＞－1 D．－1＜m＜0
B
典题精讲
3 下列二次函数中，图象以直线 x＝2为对称轴，且经
过点(0，1)的是(　　)
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
C
典题精讲
二次函数 y＝a (x＋m)2＋n 的图象如图所示，则一次函数 y＝mx＋n 的图象经过(　　)
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
4
C
探索新知
3
知识点
二次函数 y＝a (x-h)2+k 的性质
讨论
观察图象得到：抛物线的开口向下，
对称轴是直线x =－1，
顶点是(－1，－1).
抛物线 的开口方向、对称轴、顶点？
探索新知
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1：
平移方法2：
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
抛物线 与
有什么关系？
探索新知
导引： ∵函数的关系式是 y＝－(x＋1)2＋a，
∴函数图象的对称轴是直线 x＝－1，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标是(0，y1)，那么点A′，B，
C 都在对称轴的右侧．
∵在对称轴右侧，y 的值随x 值的增大而减小，
∴y1 ＞y2 ＞y3.
例3 设A (－2，y1)，B (1，y2)，C (2，y3)是抛物线 y＝－(x＋1)2＋a
上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为(　　)　
A．y1 ＞y2 ＞y3　 B．y1 ＞y3 ＞y2　
C．y3＞y2 ＞y1　 D．y3＞y1＞y2
A
探索新知
例4 若二次函数 y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y 随x 的增大而减
小，则m 的取值范围是(　　)
A．m＝1　　　 　 B．m＞1　
　　 C．m≥1　　　 　 D．m≤1
C
二次函数 y＝(x－m)2－1的图象开口向上，其对称轴为直线 x＝m，顶点坐标为(m，－1)，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．因为当 x≤1时，y 随x 的增大而减小，所以直线x＝1应在对称轴x＝m 的左侧或与对称轴重合，故m≥1.
导引：
典题精讲
对于抛物线 y＝－ (x＋1)2＋3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x＝1；
③顶点坐标为(－1，3)；
④x＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm/s的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(　　)
A．19 cm2 B．16 cm2
C．15 cm2 D．12 cm2
2
C
易错提醒
二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n 且mn<0 时，y 的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n 的值为(　　)
A. B．2 C. D.
易错点：对二次函数 y＝a (x－h)2＋k 在指定条件下的最值理解不透而致错
D
学以致用
小试牛刀
将抛物线 y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝2x 2＋1 B．y＝2x 2－3
C．y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3
1
A
将二次函数 y＝x 2的图象先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图象与一次函数 y＝2x＋b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是(　　)
A．b＞8 B．b＞－8
C．b≥8 D．b≥－8
2
D
小试牛刀
3 如图，已知抛物线的顶点为A (1，4)，抛物线与y 轴交于点B (0，3)，点P 是x 轴上的一个动点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当PA＋PB 的值最小时，求点P 的坐标．
(1)设抛物线对应的函数表达式为 y＝a (x－1)2＋4，
由抛物线过点B (0，3)，
得3＝a (0－1)2＋4.
解得a＝－1.
∴此抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4.
解：
小试牛刀
(2)如图，作点B 关于x 轴的对称点E (0，－3)，连接AE 交x 轴于点P，连接PB，易知此时PA＋PB 的值最小．设AE 对应的函数表达式为y＝kx＋b，
则 解得
∴直线AE 对应的函数表达式为y＝7x－3.
当 y＝0时，x＝ ，
∴点P 的坐标为( ，0).
k＋b＝4，
b＝－3.
k＝7，
b＝－3.
小试牛刀
把二次函数 y＝a (x－h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，
再向上平移4个单位长度，得到二次函数 y＝ (x＋1)2－1的图象．
(1)试确定a，h，k 的值；
(2)指出二次函数y＝a (x－h)2＋k 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
(1)a＝ ，h＝1，k＝－5.
(2)二次函数 y＝a (x－h)2＋k 图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
解：
小试牛刀
5 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离x (m)满足关系式 y＝a(x－6)2＋h.已知球网与O 点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.
小试牛刀
(1)当h＝2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．
小试牛刀
(1)∵球从O 点正上方2 m的A 处发出，
∴抛物线 y＝a (x－6)2＋h 过点(0，2)．　
又∵h＝2.6，
∴2＝a (0－6)2＋2.6.解得a＝－ .
故y 与x 的关系式为y＝－ (x－6)2＋2.6.
解：
小试牛刀
(2)当x＝9时，y＝－ ×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，
所以球能越过球网．
当y＝0时，－ (x－6)2＋2.6＝0，
解得x1＝6＋2 ，x2＝6－2 (舍去)．
∵6＋2 ＞18, ∴球会出界．(另解：将x＝18代入函数表达式得y＝－ ×(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，此时球仍在空中运行，故会出界)
小试牛刀
(3)将x＝0，y＝2代入 y＝a (x－6)2＋h，得a＝
若球一定能越过球网，则当x＝9时，
y＝ (9－6)2＋h＝ ＞2.43①；
若球不出边界，则当x＝18时，
y＝ (18－6)2＋h＝8－3h≤0②，
由①②得h≥
小试牛刀
6 如图，已知抛物线 y＝a (x－h)2＋k 与x 轴的一个交点为A (3，0)，与y 轴的交点为B (0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰三角形时，求点M 的坐标．
小试牛刀
(1)由题意可知h＝1，则 y＝a (x－1)2＋k.
将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式，
得
解得
故抛物线对应的函数表达式为 y＝－(x－1)2＋4.
解：
4a＋k＝0，
a＋k＝3.
a＝－1，
k＝4.
小试牛刀
(2)①当MA＝MB 时，M (0，0)；
②当AB＝AM 时，M (0，－3)；
③当AB＝BM 时，M (0，3＋3 )或M ( 0，3－3　
所以点M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 )或(0，3－3
课堂小结
课堂小结
抛物线 y =a (x－h)2+k 有如下特点：
(1)当a>0时， 开口向上；
当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是直线 x =h；
(3)顶点是(h，k ) .
同学们，
下节课见！
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