【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.2二次函数的图象与性质 第六课时【优质课件】

(共46张PPT)
2 二次函数的图象与性质
第6课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
y＝ax 2
y＝a (x－h)2 ＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数 y＝a (x－h)2 ＋k 与y＝ax 2的________相同，_______不同.
形状
位置
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y =ax 2+bx+c 与y =a (x-h)2+k 之间的关系
探究：
如何画出 y＝ x 2－6x＋21的图象呢？
我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k )，二次函数 y＝ x 2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
探索新知
y＝ x 2－6x＋21
配
方
y＝ (x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶点式.
y＝ (x 2－12x )＋21
y＝ (x 2－12x＋36－36)＋21
y＝ (x－6) 2＋21－18
y＝ (x－6) 2＋3
1. “提”：提出
二次项系数；
2.“配”：括
号内配成完全
平方式；
探索新知
求二次函数 y=ax 2＋bx＋c 的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
探索新知
所以 y =ax 2＋bx＋c 的对称轴是：
顶点坐标是：
探索新知
例1 求二次函数 y =ax 2+bx+c 图象的对称轴和顶点坐标.
解：把二次函数 y =ax 2+bx+c 的右边配方，得
y =ax 2+bx+c
探索新知
因此，二次函数 y =ax 2+bx+c 图象的对称轴是直
线 x = ，顶点坐标是
探索新知
例2 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y＝2x 2－5x＋3.
导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种
是代入公式法．
解法一：用配方法：
y＝2 ＋3，(将含x 项结合在一起，提取二次项系数)
(按完全平方式的特点，
常数项为一次项系数一半的平方)
(应用完全平方公式)
探索新知
解法二：用公式法：
设顶点式为y＝a (x－h)2＋k. ∵a＝2，b＝－5，c＝3，
探索新知
总 结
配方法在因式分解，整式运算及解一元二次方程中有广泛的应用，它有助于提高数学能力，而公式法简便易掌握．
典题精讲
二次函数 y＝x 2－2x＋4化为 y＝a (x－h)2＋k 的形式，
下列正确的是(　　)
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
B
抛物线 y＝x 2－2x＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2
A
探索新知
2
知识点
二次函数 y =ax 2+bx+c 的图象和性质
思考：1.你能画出　　　　　　 的图象吗？
2.如何直接画出　　　　　　 的图象？
3.观察图象，二次函数　　　　　　 的性质是什么？
探索新知
如果直接画二次函数y＝ x 2－6x＋21的图象，可按如下步骤进行．
由配方的结果可知，抛物线y＝ x 2－6x＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6.
先利用图象的对称性列表：
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y＝ … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
探索新知
然后描点画图，得到y＝ 的图象(如图)．
从图中二次函数 y＝ x 2－6x＋21的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y 随x 的增大而减小；当x >6时，y 随x 的增大而增大．
探索新知
探究：你能用上面的方法讨论二次函数
y＝－2x 2－4x＋1的图象和性质吗？
探索新知
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象与性质
函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0) y＝ax 2＋bx＋c (a＜0)
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴　 直线x＝－ 直线x＝－
探索新知
续表：
函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0) y＝ax 2＋bx＋c (a＜0)
增减性　 当x＜－ 时，y 随x 的增大而减小； 当x＞－ 时，y 随x 的增大而增大 当x＜－ 时，y 随x 的增大而增大；
当x＞－ 时，y 随x 的增大而减小
最值 当x＝－ 时，y 有最小 值，为 当x＝－ 时，y 有最大
值，为
典题精讲
1 对于二次函数y＝－ x 2＋x－4，下列说法正确的是(　　)
A．当x＞0时，y 随x 的增大而增大
B．当x＝2时，y 有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7)
D．图象与x 轴有两个交点
B
典题精讲
如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A (0，2)，B (1，0)，C (2，1)，若二次函数 y＝x 2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b 的取值范围是(　　)
A．b≤－2
B．b＜－2
C．b≥－2
D．b＞－2
2
C
典题精讲
设直线x＝1是函数 y＝ax 2＋bx＋c (a，b，c 是实数，且a＜0)的图象的对称轴，(　　)
A．若m＞1，则(m－1)a＋b＞0
B．若m＞1，则(m－1)a＋b＜0
C．若m＜1，则(m－1)a＋b＞0
D．若m＜1，则(m－1)a＋b＜0
3
C
探索新知
3
知识点
二次函数y =ax 2 +bx+c 的图形与a，b，c 之间的关系
项目 字母 字母的符号 图象的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧
ab＜0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧
c c＝0 图象过原点
c＞0 与y 轴正半轴相交
c＜0 与y 轴负半轴相交
探索新知
导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0.
∵对称轴为直线x＝－ ＞0，∴b＜0.
又∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
∴c＜0. ∴abc＞0.
∵x＝－ ＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0.
∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x 轴的下方，∴y＝a＋b＋c＜0.
综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c 这3个代数式中，值为正数的
只有abc.
例3 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，那么abc，
2a＋b，a＋b＋c 这3个代数式中，值为正数的有(　　)
A．3个　　　B．2个 　C．1个　 D.0个
C
探索新知
总 结
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的各项系数的符号与图象位置间的关系：
(1)a 决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”；
(2)c 决定抛物线与y 轴的交点位置，简记为“上正下负原点0”；
(3)a、b 的符号共同决定对称轴x＝ 的位置，简记为：
“左同右异y 轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象的位置，
也可以由图象的位置来判断各项系数的符号．
典题精讲
在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．abc＜0，b 2－4ac＞0
B．abc＞0，b 2－4ac＞0
C．abc＜0，b 2－4ac＜0
D．abc＞0，b 2－4ac＜0
1
B
典题精讲
一次函数 y＝ax＋b (a≠0)与二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
2
C
典题精讲
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b 2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a (m≠－1)．其中结论正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
3
C
易错提醒
以x 为自变量的二次函数 y＝x 2－2(b－2)x＋b 2－1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是(　　)
A．b≥ B．b≥1或b≤－1
C．b≥2 D．1≤b≤2
易错点：不善于结合方程的根的知识而致错
A
学以致用
小试牛刀
若抛物线 y＝x 2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的表达式应变为(　　)
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x 2－1 D．y＝x 2＋4
1
C
小试牛刀
在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线 y＝x 2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是(　　)
A． B．
C． D．
2
A
小试牛刀
3 已知抛物线 y＝x 2＋2x－3.
(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)用“五点法”画出该抛物线，并用“平移法”说明该抛物线是怎样由抛物线 y＝x 2平移得到的．
(1)y＝x 2＋2x－3＝(x＋1)2－4.
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.
(2)画图略．
抛物线 y＝x 2先向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度得到抛物线y＝(x＋1)2－4.
解：
小试牛刀
4 如图，已知抛物线 y＝－x 2＋mx＋3与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，点B 的坐标为(3，0)．
(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．
小试牛刀
(1)把点B 的坐标(3，0)代入y＝－x 2＋mx＋3
得0＝－32＋3m＋3，解得m＝2.　
∴y＝－x 2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
∴顶点坐标为(1，4)．
(2)由题易知点C 的坐标为(0，3)．
如图，连接BC 交抛物线的对称轴l 于点P，连接PA，则此时PA＋PC 的值最小，设直线BC 对应的函数表达式为 y＝kx＋b，
解：
小试牛刀
∵点C (0，3)，点B (3，0)，
∴
解得
∴直线BC 对应的函数表达式为 y＝－x＋3.
当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴当PA＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．
0＝3k＋b，
3＝b.
k＝－1，
b＝3.
小试牛刀
5 设a，b 是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b 两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4.参照上面的材料，解答下列问题：
小试牛刀
(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；
(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；
(3)求函数 y＝x 2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x 2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x 2－2x－4}的最小值．
5
3
小试牛刀
(2)∵max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，
∴3x＋1≤－x＋1，
解得x≤0.
(3)联立两函数表达式成方程组
解得
解：
y＝x 2－2x－4，
y＝－x＋2，
x1＝－2，y1＝4，
x2＝3，
y2＝－1，
小试牛刀
∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．
画出直线y＝－x＋2，如图所示，
观察函数图象可知，当x＝3时，
max{－x＋2，x 2－2x－4}取最小值－1.
课堂小结
课堂小结
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象与性质
开口方向：当a＞0时，开口向上；
当a＜0时，开口向下；
顶点坐标：
对称轴：直线x＝－
课堂小结
函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0) y＝ax 2＋bx＋c (a＜0)
增减性　 当x＜－ 时，y 随x 的增大而减小； 当x＞－ 时，y 随x 的增大而增大 当x＜－ 时，y 随x 的增大而增大；
当x＞－ 时，y 随x 的增大而减小
最值 当x＝－ 时，y 有最小 值，为 当x＝－ 时，y 有最大
值，为
同学们，
下节课见！
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