【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.4二次函数的应用 第一课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.4二次函数的应用 第一课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
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文档简介
(共48张PPT)
4 二次函数的应用
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数的最值
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处
取得最值．即当x＝－ 时，y最值＝ .
当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大
值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
探索新知
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
最小值在x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
较大的函数值；当a＜0时，
最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，
x＝x2时的较小的函数值；
探索新知
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和
最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
探索新知
导引：先求出抛物线 y＝x 2－2x－3的顶点坐标，然后看顶点
的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不
同情况求解，也可画出图象，利用图象求解．
例1 分别在下列范围内求函数 y＝x 2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
探索新知
解：∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y 有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的图
象左右对称，端点处取不到，
∴不存在最大值．
探索新知
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，
而函数 y＝x 2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线
y＝x 2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，
y 随x 的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
探索新知
总 结
求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．
典题精讲
1 二次函数y＝x 2－4x＋c 的最小值为0，则c 的值
为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16
已知0≤x≤ ，那么函数 y＝－2x 2＋8x－6 的最
大值是( )
A．－6 B．－2.5
C．2 D．不能确定
B
B
典题精讲
已知y＝－x (x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在
1≤x≤5时，若y 在x＝1时取得最大值，则实数a 的取值情况是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
4 二次函数 y＝2x 2－6x＋1，当0≤x≤5时，y 的取值范围是________________．
D
若二次函数 y＝x 2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，
且当m≤x≤0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范
围是______________．
探索新知
2
知识点
几何面积的最值
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和CD 分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=x m，
那么AD 边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x
取何值时，y 的值最大？
最大值是多少？
问 题
探索新知
1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
探索新知
例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是
矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.
当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m)
此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）
探索新知
解： ∵ 7x+4y+πx=15，
设窗户的面积是S m2，则S= πx 2+2xy
当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02.
因此，当x 约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
探索新知
例3 如图，已知△ABC 的面积为2 400 cm2，底边BC 长为80cm.
若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形
BDEF 为平行四边形，设BD＝x (cm)，S BDEF＝y (cm2)，求：
(1)y 与x 之间的函数关系式．
(2)自变量x 的取值范围．
(3)当x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？
导引：(1)可分别设出△DCE 的边CD上的高和△ABC 的边BC 上的高，根据条件求出△ABC 的边BC上的高，再利用相似找出其他等量关系，然后设法用x 表示 BDEF 的边BD上的高；(2)BD 在BC 边上，最长不超过BC；(3)根据x 的取值范围及求最值的方法解题．
探索新知
解：(1)设△DCE 的边CD 上的高为h cm，△ABC 的边BC上的
高为b cm，则有S BDEF＝xh (cm2)．
∵S△ABC＝ BC·b，
∴2 400＝ ×80b. ∴b＝60.
∵四边形BDEF 为平行四边形，
∴DE∥AB. ∴△EDC∽△ABC.
∴
∴y＝x · ＝－ x 2＋60x，即y＝－ x 2＋60x.
探索新知
(2)自变量x 的取值范围是0＜x＜80.
(3)由(1)可得 y＝－ (x－40)2＋1 200.
∵a＝－ ＜0，0＜x＜80，
∴当x＝40时，y 取得最大值，最大值是1 200.
探索新知
总 结
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x 表示出h，进而得到y 与x 之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．
探索新知
例4 张大伯准备用一面长15 m的墙和长38 m的栅栏修建一个如图所示的
矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门．
(1)求养殖场的面积y (m2)与BC 边的长
x (m)之间的函数关系式．
(2)当BC 边的长为多少时，养殖场的
面积最大？最大面积是多少？
导引：由BC 边的长和栅栏的总长可以表示出AB 的长，故可求
养殖场的面积y 与BC 边的长x 的函数关系式，再由二次
函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的
最大面积．
探索新知
解：(1)由题意得，AB＝ m，
∴y＝x · ＝x · ＝－ x 2＋20x.
由题意知
∴0＜x≤15. ∴y＝－ x 2＋20x，其中0＜x ≤15.
探索新知
(2)y＝－ x 2＋20x＝－ (x 2－40x )
＝－ (x－20)2＋200.
∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y 随x 的增大而增大．
∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC 边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.
探索新知
总 结
本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值．
典题精讲
1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a 的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
B
D
典题精讲
3 如图，在矩形ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边AD 上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在( )
A．AD 的中点
B．AE∶ED＝( －1)∶2
C．AE∶ED＝ ∶1
D．AE∶ED＝( －1)∶2
A
典题精讲
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活
动的区域面积为S (m2)．
(1)如图①，若BC＝4 m，
则S＝________；
4
88πm 2
典题精讲
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一等边三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为________．
典题精讲
(1)∵y＝x · ＝－ (x－25)2＋ ，
∴当x＝25时，占地面积y 最大，
即当饲养室长为25 m时，占地面积最大．
(2)∵y＝x · ＝－ (x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积 y 最大，
即当饲养室长为26 m时，占地面积最大．
∵26－25＝1≠2，
∴小敏的说法不正确．
解：
学以致用
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A 开始沿AB 向B 以2 cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 以1 cm/s的速度移动．如果P，Q 分别从A，B 同时出发，当△PBQ 的面积最大时，运动时间为________．
1
11.2 s
小试牛刀
某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x (m)，占地面积为y (m2)．
(1)如图①，问当饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位
置留2 m宽的门，且仍使饲养室
的占地面积最大，小敏说：“只
要饲养室长比(1)中的长多2 m就
行了．”请你通过计算，判断小
敏的说法是否正确．
2
小试牛刀
工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的
长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
小试牛刀
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
小试牛刀
(1)如图：
设裁掉的正方形边长为x dm，
由题意可得(10－2x )(6－2x )＝12，
即x 2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．
答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
解：
小试牛刀
(2)∵长不大于宽的五倍，
∴10－2x≤5(6－2x )，解得x≤2.5，
又∵x＞0，∴0＜x≤2.5.
设总费用为w 元，由题意可知
w＝0.5×2x (16－4x )＋2(10－2x )(6－2x )＝4x 2－48x＋120＝4(x－6)2－24，
∴当0＜x≤2.5时，w 随x 的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w 有最小值，最小值为25.
答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P
从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s的速度移动，动点Q 从点B 开始沿
边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q 分别从A，B 同时出发，
求△PBQ 的面积S (mm2)与出发时间t (s)的函数表达式，并求出t 为值
时，△PBQ 的面积最大，最大值是多少？
小试牛刀
由题意可知，BP＝(12－2t )mm，BQ＝4t mm.
∴S＝ BP BQ＝ (12－2t ) 4t.
整理，得
S＝－4t 2＋24t，易知0＜t＜6.
∵S＝－4t 2＋24t＝－4(t－3)2＋36，
∴当t＝3时，S 取得最大值，为36.
故S 与t 的函数表达式为S＝－4t 2＋24t (0＜t＜6)．
当t＝3时，△PBQ 的面积最大，最大值为36 mm2.
解：
小试牛刀
5 如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m.
小试牛刀
(1)用含a 的式子表示花圃的面积．
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽．
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)，y2(元)与修建面积x (m2)之间的函数关系如图②所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？
小试牛刀
(1)由题可知花圃的面积为(60－2a)(40－2a)＝4a 2－200a＋2 400(m2)．
(2)通道的面积为60×40－(4a 2－200a＋2 400)＝－4a 2＋200a (m2)，
∴－4a 2＋200a＝ ×2 400.
∴4a 2－200a＋900＝0.
解得a＝5或a＝45(舍去)．
∴通道的宽为5 m.
解：
小试牛刀
(3)设修建的通道和花圃的总造价为w 元．
由题图可求得y1＝40x，
y2＝
再设花圃的面积为b m2，则通道的面积为(2 400－b )m2，
∴b＝4a 2－200a＋2 400＝4(a－25)2－100.
∵2≤a≤10，
∴当a＝2时，bmax＝2 016；
当a＝10时，bmin＝800.
∴800≤ b ≤2 016.
60x（0≤x＜800），
35x＋20 000（x ≥800）.
小试牛刀
∴w＝y1＋y2＝40(2 400－b)＋35b＋20 000，
即w＝－5b＋116 000(800≤ b ≤2 016)．
∵w 随b 的增大而减小，
∴当b＝2 016时，w 最小，wmin＝105 920.
此时2 016＝4a 2－200a＋2 400，解得a＝2或a＝48(舍去)．
∴当通道宽为2 m时，修建的通道和花圃的总造价最低，为105 920元．
课堂小结
课堂小结
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
同学们，
下节课见！
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4 二次函数的应用
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数的最值
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处
取得最值．即当x＝－ 时，y最值＝ .
当a＞0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大
值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值．
探索新知
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
最小值在x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
较大的函数值；当a＜0时，
最大值在x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，
x＝x2时的较小的函数值；
探索新知
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和
最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
探索新知
导引：先求出抛物线 y＝x 2－2x－3的顶点坐标，然后看顶点
的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不
同情况求解，也可画出图象，利用图象求解．
例1 分别在下列范围内求函数 y＝x 2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
探索新知
解：∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y 有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的图
象左右对称，端点处取不到，
∴不存在最大值．
探索新知
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，
而函数 y＝x 2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线
y＝x 2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，
y 随x 的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
探索新知
总 结
求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．
典题精讲
1 二次函数y＝x 2－4x＋c 的最小值为0，则c 的值
为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16
已知0≤x≤ ，那么函数 y＝－2x 2＋8x－6 的最
大值是( )
A．－6 B．－2.5
C．2 D．不能确定
B
B
典题精讲
已知y＝－x (x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在
1≤x≤5时，若y 在x＝1时取得最大值，则实数a 的取值情况是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
4 二次函数 y＝2x 2－6x＋1，当0≤x≤5时，y 的取值范围是________________．
D
若二次函数 y＝x 2＋ax＋5的图象关于直线x＝－2对称，
且当m≤x≤0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范
围是______________．
探索新知
2
知识点
几何面积的最值
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB 和CD 分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=x m，
那么AD 边的长度如何表示？
(2)设矩形的面积为y m2，当x
取何值时，y 的值最大？
最大值是多少？
问 题
探索新知
1．利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
探索新知
例2 某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是
矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m.
当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m)
此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01m2）
探索新知
解： ∵ 7x+4y+πx=15，
设窗户的面积是S m2，则S= πx 2+2xy
当x= ≈1.07 时，S最大 = ≈4.02.
因此，当x 约为1.07m时，窗户通过的光线最多.
此时，窗户的面积约为 4.02 m2.
探索新知
例3 如图，已知△ABC 的面积为2 400 cm2，底边BC 长为80cm.
若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四边形
BDEF 为平行四边形，设BD＝x (cm)，S BDEF＝y (cm2)，求：
(1)y 与x 之间的函数关系式．
(2)自变量x 的取值范围．
(3)当x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？
导引：(1)可分别设出△DCE 的边CD上的高和△ABC 的边BC 上的高，根据条件求出△ABC 的边BC上的高，再利用相似找出其他等量关系，然后设法用x 表示 BDEF 的边BD上的高；(2)BD 在BC 边上，最长不超过BC；(3)根据x 的取值范围及求最值的方法解题．
探索新知
解：(1)设△DCE 的边CD 上的高为h cm，△ABC 的边BC上的
高为b cm，则有S BDEF＝xh (cm2)．
∵S△ABC＝ BC·b，
∴2 400＝ ×80b. ∴b＝60.
∵四边形BDEF 为平行四边形，
∴DE∥AB. ∴△EDC∽△ABC.
∴
∴y＝x · ＝－ x 2＋60x，即y＝－ x 2＋60x.
探索新知
(2)自变量x 的取值范围是0＜x＜80.
(3)由(1)可得 y＝－ (x－40)2＋1 200.
∵a＝－ ＜0，0＜x＜80，
∴当x＝40时，y 取得最大值，最大值是1 200.
探索新知
总 结
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x 表示出h，进而得到y 与x 之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．
探索新知
例4 张大伯准备用一面长15 m的墙和长38 m的栅栏修建一个如图所示的
矩形养殖场ABCD，并在养殖场的一侧留出一个2 m宽的门．
(1)求养殖场的面积y (m2)与BC 边的长
x (m)之间的函数关系式．
(2)当BC 边的长为多少时，养殖场的
面积最大？最大面积是多少？
导引：由BC 边的长和栅栏的总长可以表示出AB 的长，故可求
养殖场的面积y 与BC 边的长x 的函数关系式，再由二次
函数的有关性质和自变量的取值范围可求出养殖场的
最大面积．
探索新知
解：(1)由题意得，AB＝ m，
∴y＝x · ＝x · ＝－ x 2＋20x.
由题意知
∴0＜x≤15. ∴y＝－ x 2＋20x，其中0＜x ≤15.
探索新知
(2)y＝－ x 2＋20x＝－ (x 2－40x )
＝－ (x－20)2＋200.
∵a＝－ ＜0，0＜x≤15，∴y 随x 的增大而增大．
∴当x＝15时，y最大＝－ ×(15－20)2＋200＝187.5.
答：BC 边的长为15 m时，养殖场的面积最大，最大面
积是187.5 m2.
探索新知
总 结
本题利用建模思想，先由图形的面积公式建立函数模型，最后由函数的性质在自变量的取值范围内求出其最值．
典题精讲
1 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
2 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a 的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
B
D
典题精讲
3 如图，在矩形ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边AD 上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在( )
A．AD 的中点
B．AE∶ED＝( －1)∶2
C．AE∶ED＝ ∶1
D．AE∶ED＝( －1)∶2
A
典题精讲
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B 点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活
动的区域面积为S (m2)．
(1)如图①，若BC＝4 m，
则S＝________；
4
88πm 2
典题精讲
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一等边三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为________．
典题精讲
(1)∵y＝x · ＝－ (x－25)2＋ ，
∴当x＝25时，占地面积y 最大，
即当饲养室长为25 m时，占地面积最大．
(2)∵y＝x · ＝－ (x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积 y 最大，
即当饲养室长为26 m时，占地面积最大．
∵26－25＝1≠2，
∴小敏的说法不正确．
解：
学以致用
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A 开始沿AB 向B 以2 cm/s的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 向C 以1 cm/s的速度移动．如果P，Q 分别从A，B 同时出发，当△PBQ 的面积最大时，运动时间为________．
1
11.2 s
小试牛刀
某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x (m)，占地面积为y (m2)．
(1)如图①，问当饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位
置留2 m宽的门，且仍使饲养室
的占地面积最大，小敏说：“只
要饲养室长比(1)中的长多2 m就
行了．”请你通过计算，判断小
敏的说法是否正确．
2
小试牛刀
工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的
长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
小试牛刀
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
小试牛刀
(1)如图：
设裁掉的正方形边长为x dm，
由题意可得(10－2x )(6－2x )＝12，
即x 2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．
答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
解：
小试牛刀
(2)∵长不大于宽的五倍，
∴10－2x≤5(6－2x )，解得x≤2.5，
又∵x＞0，∴0＜x≤2.5.
设总费用为w 元，由题意可知
w＝0.5×2x (16－4x )＋2(10－2x )(6－2x )＝4x 2－48x＋120＝4(x－6)2－24，
∴当0＜x≤2.5时，w 随x 的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w 有最小值，最小值为25.
答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P
从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s的速度移动，动点Q 从点B 开始沿
边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q 分别从A，B 同时出发，
求△PBQ 的面积S (mm2)与出发时间t (s)的函数表达式，并求出t 为值
时，△PBQ 的面积最大，最大值是多少？
小试牛刀
由题意可知，BP＝(12－2t )mm，BQ＝4t mm.
∴S＝ BP BQ＝ (12－2t ) 4t.
整理，得
S＝－4t 2＋24t，易知0＜t＜6.
∵S＝－4t 2＋24t＝－4(t－3)2＋36，
∴当t＝3时，S 取得最大值，为36.
故S 与t 的函数表达式为S＝－4t 2＋24t (0＜t＜6)．
当t＝3时，△PBQ 的面积最大，最大值为36 mm2.
解：
小试牛刀
5 如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a m.
小试牛刀
(1)用含a 的式子表示花圃的面积．
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽．
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)，y2(元)与修建面积x (m2)之间的函数关系如图②所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2 m且不超过10 m，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？
小试牛刀
(1)由题可知花圃的面积为(60－2a)(40－2a)＝4a 2－200a＋2 400(m2)．
(2)通道的面积为60×40－(4a 2－200a＋2 400)＝－4a 2＋200a (m2)，
∴－4a 2＋200a＝ ×2 400.
∴4a 2－200a＋900＝0.
解得a＝5或a＝45(舍去)．
∴通道的宽为5 m.
解：
小试牛刀
(3)设修建的通道和花圃的总造价为w 元．
由题图可求得y1＝40x，
y2＝
再设花圃的面积为b m2，则通道的面积为(2 400－b )m2，
∴b＝4a 2－200a＋2 400＝4(a－25)2－100.
∵2≤a≤10，
∴当a＝2时，bmax＝2 016；
当a＝10时，bmin＝800.
∴800≤ b ≤2 016.
60x（0≤x＜800），
35x＋20 000（x ≥800）.
小试牛刀
∴w＝y1＋y2＝40(2 400－b)＋35b＋20 000，
即w＝－5b＋116 000(800≤ b ≤2 016)．
∵w 随b 的增大而减小，
∴当b＝2 016时，w 最小，wmin＝105 920.
此时2 016＝4a 2－200a＋2 400，解得a＝2或a＝48(舍去)．
∴当通道宽为2 m时，修建的通道和花圃的总造价最低，为105 920元．
课堂小结
课堂小结
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
同学们，
下节课见！
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