【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.4二次函数的应用 第三课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.4二次函数的应用 第三课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
图片预览
文档简介
(共46张PPT)
4 二次函数的应用
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.
新课精讲
探索新知
1
知识点
用二次函数表示实际问题
根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系
列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
探索新知
例1 如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ
的边长均为10 cm，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与
M 重合，让△ABC 向右移动，最后点A 与点N 重合．问题：
(1)试写出重叠部分面积y (cm2)与线段MA 的长度x (cm)之
间的函数关系式；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？
探索新知
解： (1)由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，所以y＝ x 2(0＜x≤10)；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2.
导引：
(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，
从而根据MA 的长度可得出y 与x 之间的函数关系式；
(2)将x＝1代入可得出重叠部分的面积．
探索新知
总 结
此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形比较关键．在确定实际问题中的函数关系式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式．但要特别注意自变量的取值范围．
典题精讲
某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t (t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_____________．
1
0＜a＜6
典题精讲
在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条金色纸边，
制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是 y cm2，
设金色纸边的宽度为x cm，那么 y 关于x 的函数表达式是( )
A．y＝(60＋2x )(40＋2x )
B．y＝(60＋x )(40＋x )
C．y＝(60＋2x )(40＋x )
D．y＝(60＋x )(40＋2x )
A
探索新知
2
知识点
利用二次函数的最值解实际问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本
是每件10元.根据市场调查，以单价
13元批发给经销商，经销商愿意经销
5 000件，并且表示单价每降价0.1元，
愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
探索新知
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
探索新知
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都
客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，
那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将
每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最
高？最高总收入是多少？
探索新知
设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会
减少6x 间.设客房日租金总收入为 y 元，
则 y = (160+10x ) (120-6x )= -60 (x-2)2+ 19 440.
∵x≥0，且120-6x>0，∴0≤x< 20.
当x=2时，y最大= 19 440.
这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人
最高，最高收入为 19 440 元.
解：
探索新知
例3 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为
2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这
种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价
比去年每件的出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量
增加x 倍(0＜x≤1)．
(1)用含x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为___元，今年生产的
这种玩具每件的出厂价为____元；
(2)求今年这种玩具每件的利润y (元)与x 之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为W 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利
润最大，最大年销售利润是多少万元？
探索新知
解：(1)(10＋7x )；(12＋6x )
(2)y＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x，
即y 与x 的函数关系式为y＝2－x.
(3)W＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，
∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W 有最大值．W最大值＝4.5.
答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销
售利润为4.5万元．
导引：
由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x )倍，每件的
出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x )倍，今年的年销售量是去
年年销售量的 (1＋x )倍．
探索新知
总 结
本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值．
典题精讲
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件. 销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少
1
典题精讲
由已知得，如果以单价20元销售，那么半月内可售出600件．设销售单价提高x 元，则销售量相应减少20x 件．设半月内获得的利润为y 元，则 y＝x (600－20x )＝－20(x 2－30x )＝－20(x－15)2＋4 500.
∵x ≥0，且600－20x＞0，
∴0≤x＜30.
∴当x＝15时，y最大＝4 500.
即销售单价为35元时，半月内获得的利润最大．
解：
典题精讲
2 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促
销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多
卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，
每星期的销售量为y 件．
(1)求y 与x 之间的函数表达式．
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是
多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销
售该款童装多少件？
典题精讲
(1)y＝300＋30(60－x )＝－30x＋2 100.
(2)设每星期的销售利润为W 元，
则W＝(x－40)(－30x＋2 100)
＝－30(x－55)2＋6 750.
∴当x＝55时，W 取最大值为6 750.
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6 750元．
解：
典题精讲
(3)由题意得(x－40)(－30x＋2 100)≥6 480，
解得52≤x≤58.
当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)，
当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)，
∴该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要
销售该款童装360件．
易错提醒
草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y (kg)与销售单价x (元)符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．
易错提醒
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．
易错点：将销售额当销售利润而致错
易错提醒
(1)设y 与x 的函数表达式为 y＝kx＋b，
根据题意，得
解得
∴y 与x 的函数表达式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)．
解：
k＝－2，
b＝340.
20k＋b＝300，
30k＋b＝280.
易错提醒
(2)由已知得W＝(x－20)(－2x＋340)
＝－2x 2＋380x－6 800
＝－2(x－95)2＋11 250，
∵－2<0，
∴当 x≤95时，W 随x 的增大而增大．
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时，W 最大，
最大值为－2×(40－95)2＋11 250＝5 200.
学以致用
小试牛刀
1 心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x (min)
之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受能
力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就
剩下31，则y 与x 满足的二次函数表达式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x 2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x 2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x 2＋2.6x＋43
D
小试牛刀
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益 y (元)与旅行团人数x (人)满足表达式y＝－x 2＋100x＋28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
C
小试牛刀
3 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x (单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于x 的一次函数，其关系如下表：
小试牛刀
(1)求y1关于x 的函数表达式．
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受x 的影响，其关系可用y2＝ x 2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
地铁站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
y1/min 18 20 22 25 28
小试牛刀
(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)的坐标代入，
得
解得
故y1关于x 的函数表达式为y1＝2x＋2.
解：
k＝2，
b＝2.
8k＋b＝18，
9k＋b＝20，
小试牛刀
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y (单位：min)，
则y＝y1＋y2＝2x＋2＋ x 2－11x＋78＝ x 2－9x＋80，
∴当x＝9时，y 有最小值，ymin＝
答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min.
小试牛刀
4 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率．
(2)从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y 元，求y 与x (1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
小试牛刀
(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
时间x /天 1≤x＜9 9≤x＜15 x ≥15
售价/(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量/斤 80－3 x 120－x 储存和损耗 费用/元 40＋3x 3x 2－64x＋400 小试牛刀
(1)设该种水果每次降价的百分率是x，
由题意得10(1－x )2＝8.1，
解得x＝10%或x＝190%(舍去)．
答：该种水果每次降价的百分率是10%.
(2)当1≤x＜9时，第一次降价后的价格为
10×(1－10%)＝9(元/斤)，
∴y＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x＋352.
∵－17.7＜0，∴y 随x 的增大而减小，
∴当x＝1时，y 有最大值，
解：
小试牛刀
y最大值＝－17.7×1＋352＝334.3.
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元/斤，
∴y＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x＋400)
＝－3x 2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，
∵－3＜0，
∴当9≤x≤10时，y 随x 的增大而增大，
当10＜x＜15时，y 随x 的增大而减小．
∴当x＝10时，y 有最大值，y最大值＝380.
小试牛刀
∵334.3＜380，∴当x＝10时，y 取最大值．
综上所述，y 与x (1≤x＜ 15)之间的函数关系式为
第10天时销售利润最大．
y＝－17.7x＋352（1≤x＜9），
－3x 2＋60x＋80（9≤x＜15），
(3)设第15天在第14天的价格基础上降a 元，
由题意得380－127.5≤(4－a)×(120－15)－(3×152－64×15＋400)，
解得a≤0.5.
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
小试牛刀
为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的
一块面积为1 000 m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽
花，设种草部分的面积为x (m2)，种草所需费用y1(元)与x (m2)的
函数关系式为
其图象如图所示；栽花所需费用y2(元)与x (m2)的函数关系式为y2＝－0.01x 2－20x＋30 000(0≤x≤1 000)．
y1＝k1x（0≤x＜600），
k2x＋b（600≤x≤1 000），
小试牛刀
(1)请直接写出k1，k2和b 的值；
(2)设这块1 000 m2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；
(3)若种草部分的面积不少于700 m2，栽花部分的面积不少于100 m2，请求出绿化总费用W 的最小值．
小试牛刀
(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000.
(2)当0≤x＜600时，
W＝30x＋(－0.01x 2－20x＋30 000)
＝－0.01x 2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，
∵－0.01＜0，
∴当x＝500时，W 取得最大值，为32 500；
当600≤x≤1 000时，
W＝20x＋6 000＋(－0.01x 2－20x＋30 000)
＝－0.01x 2＋36 000，
解：
小试牛刀
∵－0.01＜0，∴当600≤x≤1 000时，
W 随x 的增大而减小，
∴当x＝600时，W 取最大值，为32 400，
∵32 400＜32 500，
∴绿化总费用的最大值为32 500元．
(3)由题意得1 000－x ≥100，解得x≤900，由x ≥700，
得700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，
∴当x＝900时，W 取得最小值，为27 900.
∴绿化总费用的最小值为27 900元．
课堂小结
课堂小结
利润问题的基本关系式：
总利润＝单件利润×销售总量．
若销售单价每提高m 元，销售量相应减少n 件，
设提高x 元，则现销售量＝原销售量－
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
4 二次函数的应用
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.
新课精讲
探索新知
1
知识点
用二次函数表示实际问题
根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系
列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
探索新知
例1 如图，已知等腰直角三角形ABC 的直角边长与正方形MNPQ
的边长均为10 cm，AC 与MN 在同一直线上，开始时点A 与
M 重合，让△ABC 向右移动，最后点A 与点N 重合．问题：
(1)试写出重叠部分面积y (cm2)与线段MA 的长度x (cm)之
间的函数关系式；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是多少？
探索新知
解： (1)由题意知，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右移动，
两图形重叠部分为等腰直角三角形，所以y＝ x 2(0＜x≤10)；
(2)当MA＝1 cm时，重叠部分的面积是 cm2.
导引：
(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，
从而根据MA 的长度可得出y 与x 之间的函数关系式；
(2)将x＝1代入可得出重叠部分的面积．
探索新知
总 结
此题主要考查的是求动态几何图形中面积的函数关系式，判断出重叠部分是等腰直角三角形比较关键．在确定实际问题中的函数关系式时，通常根据题目中的等量关系列出恰当的函数关系式．但要特别注意自变量的取值范围．
典题精讲
某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t (t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_____________．
1
0＜a＜6
典题精讲
在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条金色纸边，
制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是 y cm2，
设金色纸边的宽度为x cm，那么 y 关于x 的函数表达式是( )
A．y＝(60＋2x )(40＋2x )
B．y＝(60＋x )(40＋x )
C．y＝(60＋2x )(40＋x )
D．y＝(60＋x )(40＋2x )
A
探索新知
2
知识点
利用二次函数的最值解实际问题
服装厂生产某品牌的T恤衫成本
是每件10元.根据市场调查，以单价
13元批发给经销商，经销商愿意经销
5 000件，并且表示单价每降价0.1元，
愿意多经销500件.
请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
探索新知
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
探索新知
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都
客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，
那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将
每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最
高？最高总收入是多少？
探索新知
设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会
减少6x 间.设客房日租金总收入为 y 元，
则 y = (160+10x ) (120-6x )= -60 (x-2)2+ 19 440.
∵x≥0，且120-6x>0，∴0≤x< 20.
当x=2时，y最大= 19 440.
这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人
最高，最高收入为 19 440 元.
解：
探索新知
例3 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为
2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今年这
种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价
比去年每件的出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量
增加x 倍(0＜x≤1)．
(1)用含x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为___元，今年生产的
这种玩具每件的出厂价为____元；
(2)求今年这种玩具每件的利润y (元)与x 之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为W 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利
润最大，最大年销售利润是多少万元？
探索新知
解：(1)(10＋7x )；(12＋6x )
(2)y＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x，
即y 与x 的函数关系式为y＝2－x.
(3)W＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，
∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W 有最大值．W最大值＝4.5.
答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销
售利润为4.5万元．
导引：
由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x )倍，每件的
出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x )倍，今年的年销售量是去
年年销售量的 (1＋x )倍．
探索新知
总 结
本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值．
典题精讲
某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件. 销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少
1
典题精讲
由已知得，如果以单价20元销售，那么半月内可售出600件．设销售单价提高x 元，则销售量相应减少20x 件．设半月内获得的利润为y 元，则 y＝x (600－20x )＝－20(x 2－30x )＝－20(x－15)2＋4 500.
∵x ≥0，且600－20x＞0，
∴0≤x＜30.
∴当x＝15时，y最大＝4 500.
即销售单价为35元时，半月内获得的利润最大．
解：
典题精讲
2 某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促
销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多
卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x 元，
每星期的销售量为y 件．
(1)求y 与x 之间的函数表达式．
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是
多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要销
售该款童装多少件？
典题精讲
(1)y＝300＋30(60－x )＝－30x＋2 100.
(2)设每星期的销售利润为W 元，
则W＝(x－40)(－30x＋2 100)
＝－30(x－55)2＋6 750.
∴当x＝55时，W 取最大值为6 750.
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润为6 750元．
解：
典题精讲
(3)由题意得(x－40)(－30x＋2 100)≥6 480，
解得52≤x≤58.
当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)，
当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)，
∴该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少要
销售该款童装360件．
易错提醒
草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y (kg)与销售单价x (元)符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．
易错提醒
(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．
易错点：将销售额当销售利润而致错
易错提醒
(1)设y 与x 的函数表达式为 y＝kx＋b，
根据题意，得
解得
∴y 与x 的函数表达式为y＝－2x＋340(20≤x≤40)．
解：
k＝－2，
b＝340.
20k＋b＝300，
30k＋b＝280.
易错提醒
(2)由已知得W＝(x－20)(－2x＋340)
＝－2x 2＋380x－6 800
＝－2(x－95)2＋11 250，
∵－2<0，
∴当 x≤95时，W 随x 的增大而增大．
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时，W 最大，
最大值为－2×(40－95)2＋11 250＝5 200.
学以致用
小试牛刀
1 心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间x (min)
之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对概念的接受能
力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就
剩下31，则y 与x 满足的二次函数表达式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x 2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x 2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x 2＋2.6x＋43
D
小试牛刀
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益 y (元)与旅行团人数x (人)满足表达式y＝－x 2＋100x＋28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( )
A．30人 B．40人
C．50人 D．55人
C
小试牛刀
3 随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x (单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于x 的一次函数，其关系如下表：
小试牛刀
(1)求y1关于x 的函数表达式．
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受x 的影响，其关系可用y2＝ x 2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
地铁站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
y1/min 18 20 22 25 28
小试牛刀
(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)的坐标代入，
得
解得
故y1关于x 的函数表达式为y1＝2x＋2.
解：
k＝2，
b＝2.
8k＋b＝18，
9k＋b＝20，
小试牛刀
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y (单位：min)，
则y＝y1＋y2＝2x＋2＋ x 2－11x＋78＝ x 2－9x＋80，
∴当x＝9时，y 有最小值，ymin＝
答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5 min.
小试牛刀
4 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率．
(2)从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如下表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y 元，求y 与x (1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
小试牛刀
(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
时间x /天 1≤x＜9 9≤x＜15 x ≥15
售价/(元/斤) 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格
销量/斤 80－3 x 120－x 储存和损耗 费用/元 40＋3x 3x 2－64x＋400 小试牛刀
(1)设该种水果每次降价的百分率是x，
由题意得10(1－x )2＝8.1，
解得x＝10%或x＝190%(舍去)．
答：该种水果每次降价的百分率是10%.
(2)当1≤x＜9时，第一次降价后的价格为
10×(1－10%)＝9(元/斤)，
∴y＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x＋352.
∵－17.7＜0，∴y 随x 的增大而减小，
∴当x＝1时，y 有最大值，
解：
小试牛刀
y最大值＝－17.7×1＋352＝334.3.
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元/斤，
∴y＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x＋400)
＝－3x 2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，
∵－3＜0，
∴当9≤x≤10时，y 随x 的增大而增大，
当10＜x＜15时，y 随x 的增大而减小．
∴当x＝10时，y 有最大值，y最大值＝380.
小试牛刀
∵334.3＜380，∴当x＝10时，y 取最大值．
综上所述，y 与x (1≤x＜ 15)之间的函数关系式为
第10天时销售利润最大．
y＝－17.7x＋352（1≤x＜9），
－3x 2＋60x＋80（9≤x＜15），
(3)设第15天在第14天的价格基础上降a 元，
由题意得380－127.5≤(4－a)×(120－15)－(3×152－64×15＋400)，
解得a≤0.5.
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
小试牛刀
为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的
一块面积为1 000 m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽
花，设种草部分的面积为x (m2)，种草所需费用y1(元)与x (m2)的
函数关系式为
其图象如图所示；栽花所需费用y2(元)与x (m2)的函数关系式为y2＝－0.01x 2－20x＋30 000(0≤x≤1 000)．
y1＝k1x（0≤x＜600），
k2x＋b（600≤x≤1 000），
小试牛刀
(1)请直接写出k1，k2和b 的值；
(2)设这块1 000 m2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；
(3)若种草部分的面积不少于700 m2，栽花部分的面积不少于100 m2，请求出绿化总费用W 的最小值．
小试牛刀
(1)k1＝30，k2＝20，b＝6 000.
(2)当0≤x＜600时，
W＝30x＋(－0.01x 2－20x＋30 000)
＝－0.01x 2＋10x＋30 000＝－0.01(x－500)2＋32 500，
∵－0.01＜0，
∴当x＝500时，W 取得最大值，为32 500；
当600≤x≤1 000时，
W＝20x＋6 000＋(－0.01x 2－20x＋30 000)
＝－0.01x 2＋36 000，
解：
小试牛刀
∵－0.01＜0，∴当600≤x≤1 000时，
W 随x 的增大而减小，
∴当x＝600时，W 取最大值，为32 400，
∵32 400＜32 500，
∴绿化总费用的最大值为32 500元．
(3)由题意得1 000－x ≥100，解得x≤900，由x ≥700，
得700≤x≤900，
∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，
∴当x＝900时，W 取得最小值，为27 900.
∴绿化总费用的最小值为27 900元．
课堂小结
课堂小结
利润问题的基本关系式：
总利润＝单件利润×销售总量．
若销售单价每提高m 元，销售量相应减少n 件，
设提高x 元，则现销售量＝原销售量－
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）