【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.5二次函数与一元二次方程 第二课时【优质课件】
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| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.5二次函数与一元二次方程 第二课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
5 二次函数与一元二次方程
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2+2x-10=0的根吗？
如图是函数 y =x 2+2x-10的图象.由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
情景导入
因此，x =-4.3是方程的一个近似根.
另一个根可以类似地求出：
因此，x =2.3是方程的另一个近似根.
用一元二次方程的求根公式验证一下，
看是否有相同的结果.
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
新课精讲
探索新知
1
知识点
利用二次函数的图象解一元二次方程
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象；
(2)确定二次函数的图象与x 轴交点的个数，看交点的横坐
标在哪两个整数之间；
探索新知
(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y 值，当x 由x1变到x2，对应的y 值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．
探索新知
导引：当 y＝－x 2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横
坐标即为一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的根，如
图所示．
例1 利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根．
探索新知
解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x 2＋2x－3的图象，如图，由图
象可知方程－x 2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x 2＋2x－3与直
线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之
间，右边的公共点横坐标在3和4之间．
(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：
因此x＝－1.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的一个近似根．
x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
探索新知
(2)另一根可以类似地求出：
因此x＝3.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的另一个近似根．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
探索新知
解：先把方程化成x 2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数 y＝x 2和
y＝－2x＋3的图象，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x 2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
例2 利用函数的图象，求方程x 2＋2x－3＝0的根．
探索新知
总 结
利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax 2＋bx＋c＝0化为ax 2＝－bx－c 的形式；
(2)在同一坐标系中画出y＝ax 2与y＝－bx－c 的图象；
(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax 2＋bx＋c＝0的根．
典题精讲
1 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二
次方程ax 2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
D
典题精讲
2 如图是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象，图象上有两点
分别为A (2.18，－0.61)，B (2.68，0.44)，则方程ax 2＋
bx＋c＝0的一个解只可能是( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.55
D
典题精讲
下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值：
3
那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
C
探索新知
2
知识点
利用二次函数的图象解一元二次不等式
根据图象可直观地回答使得y 的值大于、等于或小
于零时x 的取值(范围)，具体如下表所述：
图象 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
探索新知
例3 画出抛物线y＝－x 2＋4x＋5，观察抛物线，回答下列问题：
(1)x 为何值时，函数值y＞0？
(2)x 为何值时，函数值y＝0？
(3)x 为何值时，函数值y＜0？
导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x 轴和y 轴
的交点，当函数值y＞0时，对应图象上的点在x 轴上方；当函
数值y＝0时，对应图象上的点位于x 轴上；当函数值y＜0时，
对应图象上的点在x 轴的下方．
探索新知
解：∵y＝－x 2＋4x＋5＝－(x 2－4x )＋5＝－(x 2－4x＋4)＋9＝
－(x－2)2＋9.∴抛物线的顶点坐标
为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x 2＋4x＋5＝0，即x 2－4x－5＝
0，∴x1＝5，x2＝－1. ∴抛物线与x
轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y 轴的
交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为
(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图
象．观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0
探索新知
总 结
(1)作抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (b 2－4ac＞0)一般采用“五点法”，而这“五点”一般为抛物线顶点，与x 轴的两交点，与y 轴的交点及它关于对称轴的对称点．
(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线在x 轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x 轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x 轴的公共点，对应的函数值等于0.
探索新知
例4 抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x 轴的
一个交点A 在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，
则下列结论：①4ac－b 2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；
④点M (x1，y1)，N (x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2.
正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
探索新知
导引：观察图象可知二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数解，
所以Δ＝b 2－4ac >0，即4ac－b 2<0，故①正确；因为抛物线的对
称轴为直线x＝－1，所以－ ＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正
确；由二次函数图象的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点位于(0，
0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；
由于二次函数在对称轴两侧的增减性不一样，当x1当－1y2；当x1＜－1＜x2且－1－x1＝x2－(－1)时，y1
＝y2，所以④错误．所以此题正确的结论有3个．故选C.
典题精讲
如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 交于A (－1，p)，B (4，q)两点，则关于x 的不等式mx＋n＞ax 2＋bx＋c 的解集是_______________．
1
x＜－1或x＞4
典题精讲
如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A．b 2＞4ac
B．ax 2＋bx＋c ≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)
在抛物线上，则m＞n
D．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
2
C
易错提醒
用图象法求x 2－x＋ ＝0的解．
易错点：不考虑方程根的情况盲目作图象而致错
画出抛物线y＝x 2－x＋ (如图)．由图象可知抛物线与x 轴的交点为( ，0)，所以原方程的解为x1＝x2＝
解：
学以致用
小试牛刀
已知一次函数y1＝4x，二次函数 y2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2 B．y1≥y2
C．y1＜y2 D．y1≤y2
1
D
小试牛刀
小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x 2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
2
小试牛刀
(1)公式法：
∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b 2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
∴
即x1＝ x2＝ .
解：
小试牛刀
(2)解法二：利用二次函数图象与x 轴的交点求解．如图①，把方
程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数 y＝___________的图象与x
轴交点的横坐标x1，x2，
则x1，x2就是方程的解．
x 2－x－1
小试牛刀
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝
________的图象与直线
y＝_______的交点的横坐标；
②在图②中画出这两个函数
的图象，用x1，x2在x 轴上
标出方程的解．
x 2－x
1
②略．
解：
小试牛刀
3 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax 2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax 2＋bx＋c >0的解集；
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x
的取值范围；
(4)若方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.
小试牛刀
(1)x1＝1，x2＝3.
(2)1＜x＜3.
(3)x＞2.
(4)∵方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，
∴抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与直线y＝k 有两个交点．
∴k＜2.
解：
小试牛刀
根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式－2x 2－4x ≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y＝－2x 2－4x，并在下面的坐标系中(如图①)画出二次函数 y＝－2x 2－4x 的图象(只画出图象即可)；
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x 2－4x＝0的解为_________________，并用锯齿线标示出函数y＝－2x 2－4x 的图象中y ≥0的部分；
x1＝0，x2＝－2
小试牛刀
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式
－2x 2－4x ≥0的解集为__________________．
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x 2－2x＋1＜4的解集．
①构造函数，在图②中画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集．
－2≤x≤0
小试牛刀
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x 的不等式ax 2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．
小试牛刀
(1)①图略．②图略．
(2)①构造二次函数 y＝x 2－2x＋1，并画出图象(图略)．
②当 y＝4时，求得方程x 2－2x＋1＝4的解为x1＝3，x2＝－1；图略．
③借助图象，直接写出不等式x 2－2x＋1＜4的解集为－1＜x＜3.
(3)①当b 2－4ac＞0时，
解集为x＞
②当b 2－4ac＝0时，
解集为
③当b 2－4ac＜0时，解集为全体实数．
解：
小试牛刀
5 已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0)的图象与x 轴交于A (x1，0)，B (x2，0)(x1＜x2)两点，与y 轴交于点C，x1，x2是方程x 2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC ∶S△ACD；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
小试牛刀
(1)解方程x 2＋4x－5＝0，得x1＝－5，x2＝1.
∴A 点的坐标为(－5，0)，B 点的坐标为(1，0)．
则抛物线为y＝a (x＋5)(x－1)＝ax 2 ＋4ax－5a，
可得D 点的坐标为(－2，－9a)，C 点的坐标为(0，－5a)．
依题意画出图形，如图所示，
则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，
过点D 作DE⊥y 轴于点E，
则DE＝2，OE＝9a，
CE＝OE－OC＝4a.
解：
小试牛刀
∴S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC
＝ (DE＋OA) OE－ DE CE－ OA OC
＝ ×(2＋5)×9a－ ×2×4a－ ×5×5a
＝15a，
S△ABC＝ ×6×5a＝15a.
∴S△ABC∶S△ACD＝1∶1.
小试牛刀
(2)∵∠ADC＝90°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2.
即52＋(5a)2＝(5－2)2＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，
即72a 2＝12.则a＝±
∵a＞0，∴a＝ .
故二次函数的表达式为y＝ (x＋5)(x－1)，
即y＝ x 2＋ x－
课堂小结
课堂小结
利用图象求一元二次方程的根的方法：
直接画出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为
(1)作出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象；
(2)观察图象与x 轴交点的个数；
(3)若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根．
课堂小结
图象 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
同学们，
下节课见！
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5 二次函数与一元二次方程
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x 2+2x-10=0的根吗？
如图是函数 y =x 2+2x-10的图象.由图象可知方程有两个根，一个在-5和-4之间，另一个在2和3之间.
(1)先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索：
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
情景导入
因此，x =-4.3是方程的一个近似根.
另一个根可以类似地求出：
因此，x =2.3是方程的另一个近似根.
用一元二次方程的求根公式验证一下，
看是否有相同的结果.
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
新课精讲
探索新知
1
知识点
利用二次函数的图象解一元二次方程
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象；
(2)确定二次函数的图象与x 轴交点的个数，看交点的横坐
标在哪两个整数之间；
探索新知
(3)列表，在两个整数之间取值，并用计算器算出对应的y 值，当x 由x1变到x2，对应的y 值出现y1＞0，y2＜0(或y1＜0，y2＞0)且|y1|≠|y2|时，x1，x2中必有一个是方程的近似根，再比较|y1|和|y2|，若|y1|＜|y2|，则x1是方程的近似根；若|y1|＞|y2|，则x2是方程的近似根．
探索新知
导引：当 y＝－x 2＋2x－3的函数值为－8时，对应点的横
坐标即为一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的根，如
图所示．
例1 利用二次函数的图象求一元二次方程－x 2＋2x－3＝－8的近似根．
探索新知
解：在平面直角坐标系内作函数 y＝－x 2＋2x－3的图象，如图，由图
象可知方程－x 2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x 2＋2x－3与直
线y＝－8的公共点的横坐标，左边的公共点横坐标在－1与－2之
间，右边的公共点横坐标在3和4之间．
(1)先求在－1和－2之间的根，利用计算器进行探索：
因此x＝－1.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的一个近似根．
x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
探索新知
(2)另一根可以类似地求出：
因此x＝3.4是方程－x 2＋2x－3＝－8的另一个近似根．
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
探索新知
解：先把方程化成x 2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数 y＝x 2和
y＝－2x＋3的图象，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x 2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
例2 利用函数的图象，求方程x 2＋2x－3＝0的根．
探索新知
总 结
利用图象交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax 2＋bx＋c＝0化为ax 2＝－bx－c 的形式；
(2)在同一坐标系中画出y＝ax 2与y＝－bx－c 的图象；
(3)观察图象：两图象的公共点情况即为方程的根的情况，如有公共点，则公共点的横坐标即为ax 2＋bx＋c＝0的根．
典题精讲
1 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二
次方程ax 2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
D
典题精讲
2 如图是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象，图象上有两点
分别为A (2.18，－0.61)，B (2.68，0.44)，则方程ax 2＋
bx＋c＝0的一个解只可能是( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.55
D
典题精讲
下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值：
3
那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
C
探索新知
2
知识点
利用二次函数的图象解一元二次不等式
根据图象可直观地回答使得y 的值大于、等于或小
于零时x 的取值(范围)，具体如下表所述：
图象 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
探索新知
例3 画出抛物线y＝－x 2＋4x＋5，观察抛物线，回答下列问题：
(1)x 为何值时，函数值y＞0？
(2)x 为何值时，函数值y＝0？
(3)x 为何值时，函数值y＜0？
导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x 轴和y 轴
的交点，当函数值y＞0时，对应图象上的点在x 轴上方；当函
数值y＝0时，对应图象上的点位于x 轴上；当函数值y＜0时，
对应图象上的点在x 轴的下方．
探索新知
解：∵y＝－x 2＋4x＋5＝－(x 2－4x )＋5＝－(x 2－4x＋4)＋9＝
－(x－2)2＋9.∴抛物线的顶点坐标
为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x 2＋4x＋5＝0，即x 2－4x－5＝
0，∴x1＝5，x2＝－1. ∴抛物线与x
轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y 轴的
交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为
(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图
象．观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0
探索新知
总 结
(1)作抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (b 2－4ac＞0)一般采用“五点法”，而这“五点”一般为抛物线顶点，与x 轴的两交点，与y 轴的交点及它关于对称轴的对称点．
(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，抛物线在x 轴上方的部分，对应的函数值大于0；抛物线在x 轴下方的部分，对应的函数值小于0；抛物线与x 轴的公共点，对应的函数值等于0.
探索新知
例4 抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x 轴的
一个交点A 在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图所示，
则下列结论：①4ac－b 2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；
④点M (x1，y1)，N (x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2.
正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
探索新知
导引：观察图象可知二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数解，
所以Δ＝b 2－4ac >0，即4ac－b 2<0，故①正确；因为抛物线的对
称轴为直线x＝－1，所以－ ＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正
确；由二次函数图象的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点位于(0，
0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；
由于二次函数在对称轴两侧的增减性不一样，当x1
＝y2，所以④错误．所以此题正确的结论有3个．故选C.
典题精讲
如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 交于A (－1，p)，B (4，q)两点，则关于x 的不等式mx＋n＞ax 2＋bx＋c 的解集是_______________．
1
x＜－1或x＞4
典题精讲
如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A．b 2＞4ac
B．ax 2＋bx＋c ≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)
在抛物线上，则m＞n
D．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－1
2
C
易错提醒
用图象法求x 2－x＋ ＝0的解．
易错点：不考虑方程根的情况盲目作图象而致错
画出抛物线y＝x 2－x＋ (如图)．由图象可知抛物线与x 轴的交点为( ，0)，所以原方程的解为x1＝x2＝
解：
学以致用
小试牛刀
已知一次函数y1＝4x，二次函数 y2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2 B．y1≥y2
C．y1＜y2 D．y1≤y2
1
D
小试牛刀
小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程x 2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
2
小试牛刀
(1)公式法：
∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b 2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
∴
即x1＝ x2＝ .
解：
小试牛刀
(2)解法二：利用二次函数图象与x 轴的交点求解．如图①，把方
程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数 y＝___________的图象与x
轴交点的横坐标x1，x2，
则x1，x2就是方程的解．
x 2－x－1
小试牛刀
(3)解法三：利用两个函数图象的交点求解．
①把方程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝
________的图象与直线
y＝_______的交点的横坐标；
②在图②中画出这两个函数
的图象，用x1，x2在x 轴上
标出方程的解．
x 2－x
1
②略．
解：
小试牛刀
3 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程ax 2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax 2＋bx＋c >0的解集；
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x
的取值范围；
(4)若方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.
小试牛刀
(1)x1＝1，x2＝3.
(2)1＜x＜3.
(3)x＞2.
(4)∵方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，
∴抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 与直线y＝k 有两个交点．
∴k＜2.
解：
小试牛刀
根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式－2x 2－4x ≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数 y＝－2x 2－4x，并在下面的坐标系中(如图①)画出二次函数 y＝－2x 2－4x 的图象(只画出图象即可)；
②求得界点，标示所需：当y＝0时，求得方程－2x 2－4x＝0的解为_________________，并用锯齿线标示出函数y＝－2x 2－4x 的图象中y ≥0的部分；
x1＝0，x2＝－2
小试牛刀
③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式
－2x 2－4x ≥0的解集为__________________．
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x 2－2x＋1＜4的解集．
①构造函数，在图②中画出图象；
②求得界点，标示所需；
③借助图象，写出解集．
－2≤x≤0
小试牛刀
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方程的求根公式，直接写出关于x 的不等式ax 2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集．
小试牛刀
(1)①图略．②图略．
(2)①构造二次函数 y＝x 2－2x＋1，并画出图象(图略)．
②当 y＝4时，求得方程x 2－2x＋1＝4的解为x1＝3，x2＝－1；图略．
③借助图象，直接写出不等式x 2－2x＋1＜4的解集为－1＜x＜3.
(3)①当b 2－4ac＞0时，
解集为x＞
②当b 2－4ac＝0时，
解集为
③当b 2－4ac＜0时，解集为全体实数．
解：
小试牛刀
5 已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0)的图象与x 轴交于A (x1，0)，B (x2，0)(x1＜x2)两点，与y 轴交于点C，x1，x2是方程x 2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC ∶S△ACD；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
小试牛刀
(1)解方程x 2＋4x－5＝0，得x1＝－5，x2＝1.
∴A 点的坐标为(－5，0)，B 点的坐标为(1，0)．
则抛物线为y＝a (x＋5)(x－1)＝ax 2 ＋4ax－5a，
可得D 点的坐标为(－2，－9a)，C 点的坐标为(0，－5a)．
依题意画出图形，如图所示，
则OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，
过点D 作DE⊥y 轴于点E，
则DE＝2，OE＝9a，
CE＝OE－OC＝4a.
解：
小试牛刀
∴S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC
＝ (DE＋OA) OE－ DE CE－ OA OC
＝ ×(2＋5)×9a－ ×2×4a－ ×5×5a
＝15a，
S△ABC＝ ×6×5a＝15a.
∴S△ABC∶S△ACD＝1∶1.
小试牛刀
(2)∵∠ADC＝90°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2.
即52＋(5a)2＝(5－2)2＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，
即72a 2＝12.则a＝±
∵a＞0，∴a＝ .
故二次函数的表达式为y＝ (x＋5)(x－1)，
即y＝ x 2＋ x－
课堂小结
课堂小结
利用图象求一元二次方程的根的方法：
直接画出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象，则图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为
(1)作出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图象；
(2)观察图象与x 轴交点的个数；
(3)若图象与x 轴有交点，估计出图象与x 轴交点的横坐标即可得到一元二次方程的近似根．
课堂小结
图象 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
同学们，
下节课见！
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