【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.3垂径定理【优质课件】

(共46张PPT)
3 垂径定理
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.
.
新课精讲
探索新知
1
知识点
垂径定理
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD，使CD丄 AB，垂足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
C
.
A
B
M
O
D
探索新知
归 纳
垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分
弦所对的弧.
探索新知
定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
用几何语言表述为：
如图，在⊙O 中，
探索新知
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
D
O
C
A
E
B
D
O
C
A
E
B
图1
图2
图3
图4
O
A
E
B
D
O
C
A
E
B
探索新知
如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O 的直径为(　　)
A．8　　　 B．10
C．16 D．20
例1
导引：
连接OC.根据垂径定理，知CE＝ CD＝6. 在Rt△OEC 中，设OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2.所以(x－2)2＋62＝x 2，解得x＝10，即直径AB＝20.
D
探索新知
总 结
　 本题运用构造法，连接半径，根据AB⊥CD，构造Rt△OEC，再运用方程思想，设未知数，运用垂径定理和勾股定理列方程进行求解．
探索新知
某市某居民区一处地下圆形管道破裂，修理人员准备更换一段新管道，如图①，污水面宽度为60 cm，水面至管道顶部的距离为10 cm，问修理人员应准备内径为多大的管道？
例2
探索新知
导引：
画出如图②所示的示意图，过圆心O 作OC⊥AB 于点D，交⊙O 于点C，连接OB，若设⊙O 的半径为r cm，在Rt△BOD 中，利用勾股定理列出关于r 的方程，继而解出r 的值．
探索新知
解：
如图②，弦AB 表示污水水面，点O 为圆心，圆形管道的内
径即为⊙O 的直径．设半径为r cm，过点O 作OC⊥AB 于点D，
与 交于点C，根据垂径定理知，点D 是AB 的中点，点
C 是 的中点，CD 就是污水水面至管道顶部的距离．由
题意可知：AB＝60 cm，CD＝10 cm，∴BD＝ AB＝30
cm，OD＝(r－10) cm. 在Rt△DOB 中，BD 2＋OD 2＝OB 2，即
302＋(r－10)2＝r 2，解得r＝50.∴2r＝2×50＝100(cm)．
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道．
探索新知
总 结
本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先正确画出图形，找出图中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用勾股定理求解．
典题精讲
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
1
典题精讲
解：
如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝ AB＝ ×37.4＝18.7(m)．
在Rt△ODA 中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R 2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
典题精讲
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
2
解：
相等．理由略．
如图，已知⊙O 的直径AB⊥CD 于点E，则下列结论中错误的是(　　)
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C.
D．△OCE ≌ △ODE
3
B
典题精讲
如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP 的长为(　　)
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
4
C
典题精讲
如图，已知⊙O 中，AB 是弦，半径OC⊥AB，垂足为点D. 要使四边形OACB 为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是(　　)
A．AD＝BD
B．OD＝CD
C．∠CAD＝∠CBD
D．∠OCA＝∠OCB
5
B
探索新知
2
知识点
垂径定理的推论
如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB 的直
径CD )， 交AB 于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
.
A
B
M
O
D
C
探索新知
归 纳
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分
弦所对的弧，即：如图，在⊙O 中，
探索新知
即：如图，在⊙O 中，
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O 中，
探索新知
下列说法正确的是(　　)
A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧
B．过弦的中点的直线一定经过圆心
C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过圆心
D．弦的垂线平分弦所对的弧
例3
C
探索新知
如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 ，点O 是 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E 为 上一点，且OE丄CD，垂足为F，EF =90m.求这段弯路的半径.
例4
探索新知
连接OC.设弯路的半径为R m，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF = CD = ×600 = 300 (m).
在Rt△OCF 中 ，根据勾股定理，得OC 2=CF 2+OF 2，
即R 2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
解：
典题精讲
如图，⊙O 的直径CD＝10 cm，AB 是⊙O 的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB 的长为(　　)
A．8 cm　　
cm　　
C．6 cm　　
D．2 cm
1
A
典题精讲
如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC 的长为(　　)
A.
B．3
C．2
D．4
2
C
典题精讲
如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(　　)
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1 m
3
B
易错提醒
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，CD⊥AB 于点E，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE. 其中，一定正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
易错点：被图形的表面现象所误导
C
易错提醒
D
根据垂径定理，可知①②③一定正确；因为CD 不一定平分OB，所以④不一定正确．本题的易错之处是对垂径定理理解不透，并且图形画得比较特殊，因而误认为CD 平分OB.
错解：
诊断：
学以致用
小试牛刀
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为(　　)
A.
B．2
C．2
D．8
1
C
小试牛刀
如图，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB，垂足为点C. 连接AO 并延长交⊙O 于点E.连接BE，CE，若AB＝8，CD＝2，则△BCE 的面积为(　　)
A．12
B．15
C．16
D．18
2
A
小试牛刀
3 已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C，D (如图)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
小试牛刀
如图，过点O 作OE⊥AB 于点E，
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.
如图，连接OA，OC，由(1)可知，
OE⊥AB 且OE⊥CD，
∵圆心O 到直线AB 的距离为6，∴OE＝6.
∴CE＝
AE＝
∴AC＝AE－CE＝8－2
(1)证明：
(2)解：
小试牛刀
4 如图，D 是⊙O 的弦BC 的中点，A 是⊙O上一点，OA与BC 交于点E，已知AO＝8，BC＝12.
(1)求线段OD 的长；
(2)当EO＝ BE 时，求ED 的长．
小试牛刀
(1)如图，连接OB.
∵OD 过圆心，且D 是弦BC 的中点，
∴OD⊥BC，BD＝ BC＝6.
在Rt△BOD 中，由勾股定理得OD 2＋BD 2＝BO 2，
∴OD 2＋62＝82.∴OD＝2
(2)设BE＝x，则EO＝ x，ED＝6－x.
在Rt△EOD 中，由勾股定理得OD 2＋ED 2＝EO 2，
∴(2 )2＋(6－x )2＝( x )2.
解得x1＝－16(舍去)，x2＝4. ∴ED＝2.
解：
小试牛刀
5 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E.
(1)当AB＝10，CD＝6时，求OE 的长；
(2)∠OCD 的平分线交⊙O 于点P，连接OP.
求证：OP∥CD.
小试牛刀
∵AB 为⊙O 的直径，且AB＝10，
∴AO＝OC＝5.
∵CD 为⊙O 的弦，且CD⊥AB，CD＝6，
∴CE＝3.
在Rt△OCE 中，OE＝
∵CP 平分∠OCD，
∴∠OCP＝∠DCP.
∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠OPC.
∴∠DCP＝∠OPC.
∴OP∥CD.
(2)证明：
(1)解：
小试牛刀
6 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD∥AB，且AB＝26 m，OE⊥CD于点E，水位正常时测得OE∶CD＝5∶24.
(1)求CD 的长；
(2)现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多
长时间桥洞会刚刚被灌满？
小试牛刀
(1)如图，连接OD.
∵直径AB＝26 m，
∴OD＝13 m.
∵OE⊥CD，∴DE＝ CD.
∵OE∶CD＝5∶24，
∴OE∶ED＝5∶12.
设OE＝5x m，则ED＝12x m，
在Rt△ODE 中，(5x )2＋(12x )2＝132，解得x＝1.
∴CD＝2DE＝2×12×1＝24(m)．
解：
小试牛刀
(2)由(1)得OE＝1×5＝5(m)，
延长OE 交⊙O 于点F，如图．
∴EF＝OF－OE＝13－5＝8(m)．
∴ ＝2(h)，即经过2 h桥洞会刚刚被灌满．
课堂小结
课堂小结
垂径定理：
(1) 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质：
①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．如果把其中的任意两条作为条件，其余三
条作为结论，组成的命题都是真命题．
同学们，
下节课见！
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