【班海精品】北师大版（新）九年级下-2.5二次函数与一元二次方程 第一课时【优质课件】

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5 二次函数与一元二次方程
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
一元二次方程根的判别式：
式子b -4ac 叫做方程ax 2+bx+c =0(a≠0)根的判别式，通
常用希腊字母Δ表示.
(1)当Δ>0时，方程ax 2+bx+c =0(a≠0)有两个不等的实数根.
(2)当Δ=0时，方程ax 2+bx+c =0(a≠0)有两个相等的实数根.
(3)当Δ<0时，方程ax 2+bx+c =0(a≠0)无实数根.
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数与一元二次方程之间的关系
1.一次函数 y =kx+b 与一元一次方程 kx+b=0有什么关系？
2.你能否用类比的方法猜想二次函数 y =ax 2+bx+c 与一元二次方程 ax 2+bx+c =0的关系？
探索新知
问 题
以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位：s)之间具有关系：
h= 20t–5t 2 .
考虑下列问题:
（1）球的飞行高度能否达到 15 m 若能，需要多少时间
（2）球的飞行高度能否达到 20 m 若能，需要多少时间
（3）球的飞行高度能否达到 20.5 m 为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间
探索新知
分析：由于小球的飞行高度h 与飞行时间t 有函数关系h＝20t－5t 2，所以可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h 的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h 的值．
解：（1）当h=15时，20t-5t 2=15，
t 2-4t+3=0，
t1=1，t2=3.
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
（2）当h=20时，20t-5t 2=20，
探索新知
t 2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，20t-5t 2=20.5，
t 2-4t+4.1=0，
因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.
故球的飞行高度达不到20.5m.
探索新知
（4）当h=0时，20t-5t 2=0，
t 2-4t =0，
t1=0，t2=4.
当球飞行0s 和4s 时，它的高度为0m，
即0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面.
探索新知
归 纳
从以上可以看出：
已知二次函数 y 的值为m，求相应自变量x 的值，就是求相应一元二次方程的解.
例如，已知二次函数 y =-x 2+4x 的值为3，求自变量x 的值.就是求方程3=-x 2+4x 的解.
例如，解方程x 2-4x+3=0，就是已知二次函数 y =x 2-4x+3的值为0，求自变量x 的值.
探索新知
归 纳
二次函数与一元二次方程的关系：
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探索新知
解：令y＝0 , 则3x 2－8x＋4＝0 , 解方程得：x1＝ , x2＝2.
∴抛物线 y＝3x 2－8x＋4与x 轴的两个公共点的坐标
为 ，(2，0)．
例1 求抛物线 y＝3x 2－8x＋4与x 轴的两个公共点的坐标．
导引：要求抛物线 y＝3x 2－8x＋4与x 轴的公共点坐标即需
求y＝0时对应的x 的值；可令y＝0，根据3x 2－8x＋
4＝0的根来确定抛物线与x 轴的公共点的横坐标．
探索新知
总 结
本例将求抛物线与x 轴的公共点这个几何问题转化为求一元二次方程的根的问题来解决，它充分体现了由形到数的转化思想．
典题精讲
一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h (m)可以用公式h = －4.9t 2 ＋19.6t 来表示，其中t (s)表示足球被踢出后经过的时间.
(1)画出函数h = －4.9t 2 ＋19.6t 的图象；
(2)当t =1, t =2时，足球距地面的高度分别是多少？
(3)方程－4.9t 2 ＋19.6t = 0, －4.9t 2 ＋19.6t = 14.7的根的实际意义分别是什么？ 你能在图象上表示出来吗？
1
典题精讲
(1)函数h＝－4.9t 2＋19.6t 的图象如图．
(2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7；
当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
解：
典题精讲
(3)方程－4.9t 2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距地面的高度为0 m时经过的时间；方程－4.9t 2＋19.6t＝14.7的根的实际意义是当足球距地面的高度为14.7 m时经过的时间．方程－4.9t 2＋19.6t＝0的根在图象上表示出来如图中O，A 两点；方程－4.9t 2＋19.6t＝14.7的根在图象上表示出来如图中M，N 两点．
典题精讲
观察图象(如图)填空：
2
典题精讲
(1)二次函数 y＝x 2＋x－2的图象与x 轴有______个交点，则一元二次方程x 2＋x－2＝0的根的判别式Δ________0；
(2)二次函数 y＝x 2－6x＋9的图象与x 轴有_____个交点，则一元二次方程x 2－6x＋9＝0的根的判别式Δ_______0；
(3)二次函数 y＝x 2－x＋1的图象与x 轴_______公共点，则一元二次方程x 2－x＋1＝0的根的判别式Δ_____0.
两
＞
一
＝
没有
＜
典题精讲
小兰画了一个函数 y＝x 2＋ax＋b 的图象如图，则关于x 的
方程x 2＋ax＋b＝0的解是(　　)
A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
D
典题精讲
若二次函数 y＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程 a (x－2)2＋1＝0的实数根为(　　)
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝－2，x2＝6
C．x1＝ ，x2＝
D．x1＝－4，x2＝0
4
A
探索新知
2
知识点
二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系
二次函数 y =x 2+x-2，y =x 2-6x+9，y =x 2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x 轴有几个交点？
(2)一元二次方程 x 2+x-2=0 ，x 2-6x+9=0有几个根？
验证一下一元二次方程x 2–x+1=0有根吗？
(3)二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方
程ax 2+bx+c =0的根有什么关系？
探索新知
（1）2个，1个，0个.
（2）2个根，2个相等的根，无实数根.
（3）
二次函数 y =x 2+x-2 y =x 2-6x+9 y =x 2-x+1
与x 轴交点坐标 (-2，0)，(1，0) (3，0) 无交点
相应方程的根 x1=-2，x2=1 x1=x2=3 无实根
解：
探索新知
归 纳
通过二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象可知，
(1)如果抛物线y =ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax 2+bx+c =0的一个根.
探索新知
(2)抛物线y =ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴的位置关系与一元
二次方程ax 2+bx+c =0(a≠0)的根的关系：
抛物线 y=ax 2+bx+c (a≠0) 与x 轴的公共点的个数 一元二次方程ax 2+bx+c =0
(a≠0)的根的情况
b 2-4ac>0 有两个 有两个不相等的实数根
b 2-4ac=0 有一个 有两个相等的实数根
b 2-4ac<0 没有公共点 没有实数根
探索新知
例2 若抛物线 y＝x 2＋bx＋c 与x 轴只有一个公共点，且过点
A (m，n)，B (m＋6，n)，则n＝_____．
导引：∵抛物线 y＝x 2＋bx＋c 与x 轴只有一个公共点，∴当x
＝－ 时，y＝0，且b 2－4c＝0，即b 2＝4c.又∵抛物
线过点A (m，n)，B (m＋6，n)，∴点A，B 关于直线x
＝－ 对称．
将A点坐标代入抛物线对应的函数表达式，得n＝
＋c＝－ b 2＋c＋9，∵b 2＝4c，
∴n＝－ ×4c＋c＋9＝9.
9
典题精讲
下列抛物线中，与x 轴有两个交点的是(　　)
A．y＝3x 2－5x＋3
B．y＝4x 2－12x＋9
C．y＝x 2－2x＋3
D．y＝2x 2＋3x－4
1
D
抛物线 y＝x 2＋bx＋1与x 轴只有一个公共点，则b 等于(　　)
A．2 B．－2
C．±2 D．0
2
C
典题精讲
已知函数 y＝ax 2－2ax－1(a 是常数，a≠0)，下列结论正确的是(　　)
A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)
B．当a＝－2时，函数图象与x 轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x 轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y 随x 的增大而增大
3
D
典题精讲
如图，抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 的顶点为B (－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b 2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(　　)个．
A．1
B．2
C．3
D．4
4
B
易错提醒
若函数 y＝x 2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(　　)
A．b＜1且b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1 D．b＜1
易错点：混淆“与x 轴交点”与“与坐标轴交点”而致错
A
学以致用
小试牛刀
抛物线 y＝x 2－1向下平移8个单位长度后与x 轴的两个交点之间的距离为(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
1
B
小试牛刀
已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：
2
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
x －1 0 1 3
y －3 1 3 1
B
小试牛刀
3 如图，已知抛物线 y＝－x 2＋mx＋3与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C 点，点B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线y＝－ x＋3交于C，D 两点．连接BD，AD.
(1)求m 的值；
(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP
＝4S△ABD，求点P 的坐标．
小试牛刀
(1)∵抛物线y＝－x 2＋mx＋3过点B (3，0)，
∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2.
(2)由
得
∴D ，∵S△ABP＝4S△ABD，
解：
y＝－x 2＋2x＋3，
y＝－ x＋3，
x1＝0，
y1＝3，
x2＝
y2＝－
小试牛刀
∴ AB×| yP |＝4× AB×
∴| yP |＝9，即yP＝±9，当 y＝9时，－x 2＋2x＋3＝9，无实数解；
当 y＝－9时，－x 2＋2x＋3＝－9，
解得x1＝1＋ ，x2＝1－
∴点P的坐标为(1＋ ，－9)或(1－ ，－9)．
小试牛刀
4 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k 为常数．
(1)求证：无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知函数 y＝x 2＋(k－5)x＋1－k 的图象不经过第三象限，求k 的取值范围；
(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k 的最大整数值．
小试牛刀
(1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4(1－k )＝k 2－6k＋21
＝(k－3)2＋12＞0，
∴无论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意知抛物线开口方向向上，
∵Δ＝(k－3)2＋12＞0，
∴抛物线与x 轴有两个交点，
设抛物线与x 轴的交点的横坐标分别为x1，x2，
∵抛物线不经过第三象限，
∴x1＋x2＝5－k＞0，x1 x2＝1－k≥0，
解得k≤1，即k 的取值范围是k≤1；
解：
小试牛刀
(3)解：设方程的两个根分别是x1′，x2′，
根据题意，得(x1′－3)(x2′－3)＜0，
即x1′ x2′－3(x1′＋x2′)＋9＜0，
又x1′＋x2′＝5－k，x1′ x2′＝1－k，
代入得，1－k－3(5－k)＋9＜0，
解得k＜
则k 的最大整数值为2.
小试牛刀
5 已知二次函数的表达式为y＝x 2＋mx＋n.
(1)若这个二次函数的图象与x 轴交于点A (1，0)，点B (3，0)，求实数m，n 的值；
(2)若△ABC 是有一个内角为30°的直角三角形，∠C 为直角，sin A，cos B 是方程x 2＋mx＋n＝0的两个根，求实数m，n 的值．
小试牛刀
(1)将点A (1，0)，B (3，0)的坐标分别代入 y＝x 2＋mx＋n 中，
得 解得
(2)当∠A＝30°时，sin A＝cos B＝
∴－m＝ ＋ ，n＝ ×
∴m＝－1，n＝
当∠B＝30°时，sin A＝cos B＝
∴－m＝ ＋ ，n＝ ×
∴m＝－ ，n＝
综上所述，m＝－1，n＝ 或m＝－ ，n＝
解：
1＋m＋n＝0，9＋3m＋n＝0，
m＝－4，
n＝3，
小试牛刀
6 如图，抛物线 y＝x 2－3x＋ 与x 轴相交于A，B 两点，与y轴相交于点C，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 相交于点E.
(1)求直线BC 对应的函数表达式；
(2)当线段DE 的长度最大时，
求点D 的坐标．
小试牛刀
(1)∵抛物线 y＝x 2－3x＋ 与x 轴相交于A，B 两点，与y 轴相交于点C，
∴令y＝0，得x＝ 或x＝
令x＝0，得y＝
∴A（ ，0），B（ ，0），C（0， ）.
设直线BC 对应的函数表达式为y＝kx＋h，
则有 解得
∴直线BC 对应的函数表达式为y＝－ x＋　
解：
k＋h＝0，
h＝
k＝－
h＝
小试牛刀
(2)设点D 的横坐标为m，则点D 的坐标为（m，m 2－3m＋ ），
点E 的坐标为（m，－ m＋ ），
设DE 的长度为d，
∵点D 是直线BC 下方抛物线上一点，
∴d＝－ m＋ －(m 2－3m＋ )．
整理得，d＝－m 2＋ m.
∵a＝－1<0，
∴当m＝－ ＝－ ＝ 时，
d最大＝ ∴点D 的坐标为
课堂小结
课堂小结
一元二次方程
二次函数
一元二次方程的根
与x 轴交点情况
y =0
解方程
图象
由“数”
到“形”
由“形”
到“数”
同学们，
下节课见！
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