【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.1圆【优质课件】

(共49张PPT)
1 圆
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
圆是常见的图形，生活中的许多物体都给我们以圆的形象（如图）.
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆的定义
问 题（一）
我们在小学已经对圆有了初步认识，如图，观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
探索新知
归 纳
在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆．其固定的端点 O 叫做圆心线段 OA 叫做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O ”．
探索新知
问 题（二）
从画圆的过程可以看出什么呢？
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.
在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另
一个端点A 所形成的图形叫做圆．
圆心为O、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定
长r 的点组成的图形．
思考：
解答：
动态：
静态：
探索新知
归 纳
圆心为O、半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合．
确定一个圆的两个要素：圆心、半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
探索新知
下列说法中，错误的有(　　)
(1)经过点P 的圆有无数个；
(2)以点P 为圆心的圆有无数个；
(3)半径为3 cm且经过点P 的圆有无数个；
(4)以点P 为圆心，3 cm为半径的圆有无数个．
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
确定一个圆必须有两个条件，即圆心和半径，只满足一个条
件或不满足任何一个条件的圆都有无数个，由此可知(1)(2)
正确；(3)半径确定，但圆心不确定，仍有无数个圆；(4)圆
心和半径都确定的圆有且只有一个(唯一)．
导引：
例1
A
探索新知
总 结
(1)圆的两种定义中确定圆的条件是相同的，即圆心和半径．两者缺一不可；
(2)“点在圆上”和“圆过点”表示的意义都是：这个点在圆周上．
特别提醒：圆是“圆周”，而非“圆面”．
典题精讲
体育老师想利用一根3 m长的绳子在操场上画一个半径为3 m的圆，你能帮他想想办法吗？
1
将绳子的一端A 固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A 点在地上旋转一周，则B 点经过的路线就是一个半径为3 m的圆．
解：
下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是(　　)
A．菱形、平行四边形
B．矩形、正方形
C．正方形、菱形
D．矩形、平行四边形
2
B
典题精讲
下列关于圆的叙述中正确的是(　　)
A．圆是由圆心唯一确定的
B．圆是一条封闭的曲线
C．平面上到定点的距离小于或等于定长的所有点组成圆
D．圆内任意一点到圆心的距离都相等
平面内已知点P，以P 为圆心，3 cm为半径作圆，这样的圆可以作(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
3
4
B
A
探索新知
2
知识点
与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做弦，
经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．
注意：
1.弦和直径都是线段.
2.直径是弦，是经过圆心的特殊弦，是
圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
C
A
·
O
B
探索新知
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．如图，以A、B
为端点的弧记作 AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧
都叫做半圆．
⌒
·
C
O
A
B
探索新知
·
C
O
A
B
圆心O
直径AB
弦AC
优弧ABC，记作
劣弧AC，记作
O′
半径OO′
探索新知
等圆与等弧：
能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
探索新知
以下命题：①半圆是弧，但弧不一定是半圆；②过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径；③弦是直径；④直径是圆中最长的弦；⑤直径不是弦；⑥优弧大于劣弧； ⑦以O 为圆心可以画无数个圆. 正确的个数为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4
例2
C
探索新知
①弧分为劣弧、半圆、优弧三种，所以半圆是弧，但弧不一
定是半圆，故正确；②过圆上任意一点可以作无数条弦，故
错误；③直径是过圆心的特殊弦，但弦不一定是直径，故错
误；④圆有无数条弦，过圆心的弦最长，即直径是圆中最长
的弦，故正确；⑤直径是过圆心的弦，故错误；⑥在同圆或
等圆中，优弧大于劣弧，故错误；⑦以一个点为圆心，若不
指明半径，可画出无数个大小不等的同心圆，故正确．
导引：
探索新知
直径是过圆心的弦，因此直径是弦，但弦不一定是直径；在提到“弦”时，如果没有特别说明，不要忘记直径这种特殊的弦．
弦是圆上两点间的线
段，有无数条；弧是
圆上两点间的部分，
弧是曲线，弧也有无
数条．
每条弧对一条弦；而每条弦所对的弧有两条：优弧、劣弧或两个半圆.
弦与直径间的关系：
弦与弧之间的关系：
探索新知
如图 ，已知⊙O上有A，B，C 三个点，
以其中两个点为端点的弧共有_____条，
弦共有____条．
例3
由弧的概念知以A，B，C 中任意两个点为端点的弧有，
共6条；由弦的概念知以A，
B，C 中任意两个点为端点的弦有AB，BC，AC，共3条．
导引：
6
3
探索新知
总 结
圆上的任意两点分圆为两条弧：
一条优弧、一条劣弧或两个半圆，本题容易忽视圆中的优弧而造成得到3条弧的错误答案；在同圆中每段弧对应一条弦，而每条弦对应两条弧：一条优弧、一条劣弧或两个半圆．
典题精讲
下列说法中，正确的是(　　)
①弦是直径；②半圆是弧；③过圆心的线段是直径；④半圆是最长的弧；⑤直径是圆中最长的弦．
A．②③ B．③⑤ C．④⑤ D．②⑤
1
D
点A，C 为半径是3的圆周上两点，点B 为AC 的中点，以线段BA，BC 为邻边作菱形ABCD，顶点D 恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为(　　)
A. 或2 B. 或2
C. 或2 D. 或2
2
︵
D
典题精讲
如图，点A，B，C 在⊙O 上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B 等于(　　)
A．100°
B．72°
C．64°
D．36°
3
C
探索新知
3
知识点
点与圆的位置关系
如图所示， ⊙O 是一个半径为r 的圆.在圆内、 圆外、圆上分别取一点，点到圆心的距离为d， 你能用r 与 d 的大小关系刻画它们的位置特征吗？
.
O
探索新知
设⊙O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP = d，则有：
点P 在圆外 d＞r；
点P 在圆上 d=r；
点P 在圆内 d＜r.
符号“ ”读作“等价于”，
它表示从符号“ ”的左
端可以推出右端，从右端也可以推出左端.
探索新知
归 纳
点与圆的位置关系有三种：
点在圆外、点在圆上、点在圆内.
探索新知
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，∠A＝30°，AC＝3 cm.以C 为圆心， cm为半径画⊙C，请指出点A，B，D 与⊙C 的位置关系．
例4
探索新知
要判断点A，B，D 与⊙C 的位置关系，只需求出点A，B，
D 到点C 的距离，即AC，BC，CD 的长，并和半径
cm比较大小，进而得出结果．
解：
导引：
在Rt△ACD 中，∵∠A＝30°，∴CD＝ AC＝ ×3＝
1.5(cm)．∵CD＝1.5 cm＜ cm，∴点D 在⊙C 内部．
在Rt△ABC 中，∵∠A＝30°，∴BC＝AC · tan 30°＝
3× ＝ (cm)．∴点B 在⊙C上．∵AC＝3 cm＞
cm，∴点A 在⊙C 外部．
探索新知
总 结
判断一个点与圆的位置关系，只需求出这个点到圆心的距离，然后和半径比较大小即可得解．
典题精讲
小明和小华正在练习投铅球，铅球场地分为五个区域：4m以内，4 5m，5 6m，6 7m，7m以 外.
小明投了 5.2 m，小华投了 6.7 m，他们投的球分别落在哪个区域内？
1
小明投的球落在5～6 m的区域内，小华投的球落在6～7 m的区域内．
解：
典题精讲
在公园的O 处附近有E，F，G，H 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H 四棵树中需要被移除的为(　　)
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
2
A
典题精讲
如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP，OM. 若⊙O 的半径为2，OP＝4，则线段OM 的最小值是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
3
B
易错提醒
若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为(　　)
A. B.
C. D．a＋b或a－b
易错点：考虑问题不全面而致错
C
学以致用
小试牛刀
如图，已知AC 是⊙O 的直径，点B 在圆周上(不与点A，C 重合)，点D 在AC 的延长线上，连接BD 交⊙O 于点E，若∠AOB＝3∠ADB，则(　　)
A．DE＝EB
B. DE＝EB
C. DE＝DO
D．DE＝OB
1
D
小试牛刀
如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以长BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A 处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(　　)
A．3 m　　
B．5 m　　
C．7 m　　
D．9 m
2
A
小试牛刀
3 设AB＝4 cm，作出满足下列要求的图形．
(1)到点A 的距离等于3 cm的所有点组成的图形，到点B 的距离等于2 cm的所有点组成的图形；
(2)到点A 的距离等于3 cm，且到点B 的距离等于2 cm的所有点组成的图形；
(3)到点A 的距离小于3 cm，且到点B 的距离小于2 cm的所有点组成的图形；
(4)到点A 的距离大于3 cm，且到点B 的距离小于2 cm的所有点组成的图形．
小试牛刀
(1)如图①，到点A 的距离等于3 cm的所有点组成的图形是以点A 为圆心，3 cm为半径的圆，到点B 的距离等于2 cm的所有点组成的图形是以点B 为圆心，2 cm为半径的圆．
解：
小试牛刀
(2)如图②，以点A 为圆心，3 cm为半径的⊙A 与以点B 为圆心，2 cm为半径的⊙B 的交点，即C，D 两点．
(3)如图③，以点A为圆心，3 cm为半径的⊙A 的内部与以点B 为圆心，2 cm为半径的⊙B 的内部的公共部分(不包括边界的阴影部分)即为所求．
(4)如图④，以点A 为圆心，3 cm为半径的⊙A 的外部与以点B为圆心，2 cm为半径的⊙B 的内部的公共部分(不包括边界的阴影部分)即为所求．
小试牛刀
4 如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDEF 是正方形．
(1)求证：OC＝OF；
(2)在正方形CDEF 的右侧有一正方形FGHK，点G 在AB上，点H 在半圆上，点K 在EF上．若正方形CDEF 的边长为2，求正方形FGHK 的面积．
小试牛刀
如图，连接OD，OE，则OD＝OE.
又∠OCD＝∠OFE＝90°，DC＝EF，∴Rt△ODC ≌ Rt△OEF (HL)，∴OC＝OF.
如图，连接OH，
∵CF＝EF＝2，OC＝OF，∴OF＝1，
∴OH 2＝OE 2＝OF 2＋EF 2＝12＋22＝5.
设FG＝GH＝x，∵OG 2＋GH 2＝OH 2，
∴(x＋1)2＋x 2＝5，∴x 2＋x－2＝0，
解得x1＝1，x2＝－2(舍去)．
∴S正方形FGHK＝12＝1.
(1)证明：
(2)解：
小试牛刀
5 如图，已知矩形ABCD 的边AB＝3 cm，AD＝4 cm，
(1)若以点A 为圆心，4 cm为半径作⊙A，则点B，C，D 和⊙A 的位置关系如何？
(2)若以点A 为圆心作⊙A，使B，C，D 三点中至少有一点在⊙A 内且至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是多少？
小试牛刀
(1)∵AB＝3 cm＜4 cm，
∴点B 在⊙A 内．
∵AD＝4 cm，∴点D 在⊙A上．
如图，连接AC，∵∠B＝90°，
∴AC＝
∵5 cm＞4 cm，∴点C 在⊙A 外．
(2)由题可知点B 一定在⊙A 内，点C 一定在⊙A 外，
∴AB＜r＜AC，即3 cm＜r＜5 cm.
∴满足条件的⊙A 的半径r 的取值范围是3 cm＜r＜5 cm.
解：
小试牛刀
6 如图，在城市A 的正北方向50 km的B 处有一座无线电信号发射塔．已知该发射塔发射的无线电信号的有效半径为100 km，AC 是一条从A城直达C 城的公路，从A 城发往C 城的班车速度为60 km/h.
(1)当班车从A 城出发开往C 城时，某人立即打开无线电收音机，班车行驶了0.5 h的时候，接收信号最强．信号最强时班车到发射塔的距离是多少千米？
(离发射塔越近，信号越强)
(2)班车从A 城到C 城共行驶2 h，请你
判断到C 城后还能接收到信号吗？请
说明理由．
小试牛刀
(1)设班车行驶了0.5 h的时候到达点M，连接BM. 根据此时接收信号最强，可知BM⊥AC. 而AM＝0.5×60＝30(km)，
AB＝50 km，所以BM＝40 km.
即信号最强时班车到发射塔的距离是40 km.
(2)能．理由：
因为AC＝60×2＝120(km)，AM＝30 km，
所以MC＝AC－AM＝120－30＝90(km)．
连接BC.因为BM＝40 km，所以在Rt△BMC 中，
由勾股定理得BC＝
因为 <100，所以到C 城后能接收到信号．
解：
课堂小结
课堂小结
1.理解圆的定义要注意两层含义：
(1)静态定义
(2)动态定义．
2.与圆有关的概念
弦与直径，弧、半圆、优弧、劣弧，等圆与等弧，
3.点和圆的位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）