【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.4圆周角和圆心角的关系 第二课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.4圆周角和圆心角的关系 第二课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
1.什么叫做圆周角？
2.圆周角定理是什么？
3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
新课精讲
探索新知
1
知识点
直径所对的圆周角是直角
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结
直径所对的圆周角是直角.
探索新知
如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC＝BD，
若∠BOD＝65°，求∠A 的度数．
要求∠A 的度数，可将其转化为求
所对的圆心角的度数，这样就需要连
接OC 这条辅助线了．
导引：
例1
如图，连接OC，∵BC＝BD，
∴∠BOC＝∠BOD＝65°.
∴∠A＝ ∠BOC＝ ×65°＝32.5°.
解：
探索新知
总 结
同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系可以互相转化，当某个结论不好求时，可运用转化思想将其转化为求与之相关的另一结论．
典题精讲
如图， ⊙O 的直径AB = 10cm，C 为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC 的长.
1
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB 中，
sin ∠ABC＝ ，
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°
＝10× ＝5(cm)．
∴AC 的长为5 cm.
解：
.
O
C
A
B
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC 的度数是( )
A．75°
B．60°
C. 45°
D．30°
2
D
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD 为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
3
C
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，点C，D，E 在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为( )
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
4
B
典题精讲
如图，⊙O 的直径AB＝4，BC 切⊙O 于点B，OC 平行于弦AD，OC＝5，则AD 的长为( )
A.
B.
C.
D.
5
B
探索新知
2
知识点
直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC 是直径吗？为什么？
问 题
.
A
C
B
o
探索新知
归 纳
90°的圆周角所对的弦是直径.
探索新知
如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 是劣弧OB上一点，则∠ACB 等于( )
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
例2
由∠AOB 与∠ACB 是优弧AB 所对的圆周角，根据圆周
角定理，即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.
导引：
∵∠AOB 与∠ACB 是优弧AB 所对的圆周角，
∴∠AOB =∠ACB，
∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠ACB = 90°.
解：
B
探索新知
总 结
此题考查了圆周角定理，此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB 是优弧AB 所对的圆周角.
典题精讲
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么
1
题图(2)是半圆形．
∵90°的圆周角所对的弦是直径．
解：
典题精讲
下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
2
D
典题精讲
从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
3
B
典题精讲
如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴，y 轴分别交于点A，B，C 是劣弧OB上一点，则∠ACB 等于( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
4
B
易错提醒
已知在半径为4的⊙O 中，弦AB＝4 ，点P 在圆上，则∠APB＝___________．
易错点：求圆周角的度数时容易考虑不周全
60°或120°
易错提醒
如图，当点P (P1)在弦AB 所对的优弧上时，过点O 作OC⊥AB 于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝2 ，∠AOC＝∠BOC. 在Rt△OAC 中，OC＝
＝2＝ OA，所以∠OAC＝30°.所以∠AOB＝120°，所以∠AP1B＝60°.同理当点P (P2)在弦AB 所对的劣弧上时，∠AP2B＝120°.
易错提醒
对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P 在弦AB 所对的优弧上和点P 在弦AB 所对的劣弧上．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
如图，点P 在以AB 为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC 并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( )
①AC 垂直平分BF；②AC 平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF.
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
1
D
小试牛刀
如图，CD 是⊙O 的直径，CD＝4，∠ACD＝20°，点B 为弧AD 的中点，点P 是直径CD 上的一个动点，则PA＋PB的最小值为________．
2
2
小试牛刀
3 如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连接EB 交OD 于点F.
(1)求证：OD⊥BE；
(2)若DE＝ ，AB＝ ，求AE 的长．
小试牛刀
如图，连接AD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°.
∵AB＝AC，
∴DC＝DB.
∵OA＝OB，∴OD∥AC.
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴OD⊥BE.
(1)证明：
小试牛刀
设AE＝x，∵OD⊥BE，∴FE＝FB，BD＝ED.
∴BD＝ED＝
∵OF＝ AE＝ x，∴DF＝OD－OF＝ － x.
在Rt△DFB 中，BF 2＝DB 2－DF 2＝
在Rt△OFB 中，BF 2＝OB 2－OF 2＝
∴
解得x＝ ，即AE＝ .
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E，交AD 的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sin B＝ ，EF＝ ，求CD 的长．
小试牛刀
如图，连接DE，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠DEB＝90°，
∵E 是AB 的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠1＝∠F；
(1)证明：
小试牛刀
∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2
∴AB＝2AE＝4
在Rt△ABC 中，AC＝AB sin B＝4，
∴BC＝
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，
∵AC 2＋CD 2＝AD 2，
即42＋x 2＝(8－x )2，
∴x＝3，即CD＝3.
(2)解：
小试牛刀
5 如图，已知AB 是半径为1的⊙O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 的延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．
(1)求证：△DFB 是等腰三角形；
(2)若DA＝ AF，求证：CF⊥AB.
小试牛刀
(1)∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△AEF 为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°.
∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°.
∴△DFB 是等腰三角形．
证明：
小试牛刀
(2)如图，过点A 作AM⊥DF 于点M，设AF＝2a.
∵△AEF 是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝ a，∠AEF＝60°.
在Rt△DAM 中，AD＝ AF＝2 a，
AM＝ a，
∴DM＝
∴BF＝DF＝6a.
∴AB＝AF＋BF＝8a.
小试牛刀
在Rt△ABC 中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝4a.
∴CE＝AC－AE＝4a－2a＝2a.
∴CE＝EF.∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，
∴∠CFE＝30°.
∴∠AFC＝∠AFE＋∠EFC＝60°＋30°＝90°.
∴CF⊥AB.
小试牛刀
6 如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A (0，2)和点B (2 ，0)．
(1)求线段AB 的长及∠ABO 的大小．
(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB 是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP 的度数；若不存在，请说明理由．
小试牛刀
(1)∵ A (0，2)，B (2 ，0)，
∴OA＝2，OB＝2
在Rt△AOB 中，AB＝
如图，连接OC，∵∠AOB＝90°，
∴AB 为⊙C 的直径，点C 为AB 的中点．
∴AC＝OC＝ AB＝2＝OA.
∴△AOC 是等边三角形．
∴∠BAO＝60°.∴∠ABO＝30°.
解：
小试牛刀
(2)存在．如图，作OB 的垂直平分线MN，
交⊙C 于点M，N，交OB 于点D，连接OM，BM，ON，BN.
由垂径定理可得MN 必过点C，即MN 是⊙C 的直径．
∵MN 垂直平分OB，∴△OBM，△OBN 都是等腰三角形，
∴M，N 点均符合P 点的要求．
∵MN 是⊙C 的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠BAO＝60°，
∴△OBM 是等边三角形．
∴∠BOM＝60°.∴∠BON＝30°.
故存在符合条件的P 点，∠BOP 的度数为60°或30°.
课堂小结
课堂小结
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.
同学们，
下节课见！
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4 圆周角和圆心角的关系
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
1.什么叫做圆周角？
2.圆周角定理是什么？
3.圆周角定理的推论1的内容是什么？
新课精讲
探索新知
1
知识点
直径所对的圆周角是直角
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结
直径所对的圆周角是直角.
探索新知
如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC＝BD，
若∠BOD＝65°，求∠A 的度数．
要求∠A 的度数，可将其转化为求
所对的圆心角的度数，这样就需要连
接OC 这条辅助线了．
导引：
例1
如图，连接OC，∵BC＝BD，
∴∠BOC＝∠BOD＝65°.
∴∠A＝ ∠BOC＝ ×65°＝32.5°.
解：
探索新知
总 结
同圆或等圆中的弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系可以互相转化，当某个结论不好求时，可运用转化思想将其转化为求与之相关的另一结论．
典题精讲
如图， ⊙O 的直径AB = 10cm，C 为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC 的长.
1
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ACB 中，
sin ∠ABC＝ ，
∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30°
＝10× ＝5(cm)．
∴AC 的长为5 cm.
解：
.
O
C
A
B
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，若∠OBC＝60°，则∠BAC 的度数是( )
A．75°
B．60°
C. 45°
D．30°
2
D
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD 为( )
A．30°
B．50°
C．60°
D．70°
3
C
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，点C，D，E 在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为( )
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
4
B
典题精讲
如图，⊙O 的直径AB＝4，BC 切⊙O 于点B，OC 平行于弦AD，OC＝5，则AD 的长为( )
A.
B.
C.
D.
5
B
探索新知
2
知识点
直角所对的弦是直径
在如图中，圆周角∠A＝90°，弦BC 是直径吗？为什么？
问 题
.
A
C
B
o
探索新知
归 纳
90°的圆周角所对的弦是直径.
探索新知
如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 是劣弧OB上一点，则∠ACB 等于( )
A．80° B．90° C．100° D．无法确定
例2
由∠AOB 与∠ACB 是优弧AB 所对的圆周角，根据圆周
角定理，即可求得∠ACB =∠AOB= 90°.
导引：
∵∠AOB 与∠ACB 是优弧AB 所对的圆周角，
∴∠AOB =∠ACB，
∵ ∠AOB = 90°，∴ ∠ACB = 90°.
解：
B
探索新知
总 结
此题考查了圆周角定理，此题比较简单，解题的关键是观察图形，得到∠AOB 与∠ACB 是优弧AB 所对的圆周角.
典题精讲
小明想用直角尺检査某些工件是否恰好为半圆形.
下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么
1
题图(2)是半圆形．
∵90°的圆周角所对的弦是直径．
解：
典题精讲
下列结论正确的是( )
A．直径所对的角是直角
B．90°的圆心角所对的弦是直径
C．同一条弦所对的圆周角相等
D．半圆所对的圆周角是直角
2
D
典题精讲
从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )
3
B
典题精讲
如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴，y 轴分别交于点A，B，C 是劣弧OB上一点，则∠ACB 等于( )
A．80°
B．90°
C．100°
D．无法确定
4
B
易错提醒
已知在半径为4的⊙O 中，弦AB＝4 ，点P 在圆上，则∠APB＝___________．
易错点：求圆周角的度数时容易考虑不周全
60°或120°
易错提醒
如图，当点P (P1)在弦AB 所对的优弧上时，过点O 作OC⊥AB 于点C，连接OA，OB.由垂径定理可得AC＝2 ，∠AOC＝∠BOC. 在Rt△OAC 中，OC＝
＝2＝ OA，所以∠OAC＝30°.所以∠AOB＝120°，所以∠AP1B＝60°.同理当点P (P2)在弦AB 所对的劣弧上时，∠AP2B＝120°.
易错提醒
对于“图形不明确型”问题，在解答时一般要进行分类讨论．一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情况：顶点在优弧上的圆周角和顶点在劣弧上的圆周角，解题时要分情况求解，否则容易漏解．例如本题应分两种情况：点P 在弦AB 所对的优弧上和点P 在弦AB 所对的劣弧上．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
如图，点P 在以AB 为直径的半圆内，连接AP，BP，并延长分别交半圆于点C，D，连接AD，BC 并延长交于点F，作直线PF，下列说法一定正确的是( )
①AC 垂直平分BF；②AC 平分∠BAF；③FP⊥AB；④BD⊥AF.
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
1
D
小试牛刀
如图，CD 是⊙O 的直径，CD＝4，∠ACD＝20°，点B 为弧AD 的中点，点P 是直径CD 上的一个动点，则PA＋PB的最小值为________．
2
2
小试牛刀
3 如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连接EB 交OD 于点F.
(1)求证：OD⊥BE；
(2)若DE＝ ，AB＝ ，求AE 的长．
小试牛刀
如图，连接AD.
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°.
∵AB＝AC，
∴DC＝DB.
∵OA＝OB，∴OD∥AC.
∴∠OFB＝∠AEB＝90°，
∴OD⊥BE.
(1)证明：
小试牛刀
设AE＝x，∵OD⊥BE，∴FE＝FB，BD＝ED.
∴BD＝ED＝
∵OF＝ AE＝ x，∴DF＝OD－OF＝ － x.
在Rt△DFB 中，BF 2＝DB 2－DF 2＝
在Rt△OFB 中，BF 2＝OB 2－OF 2＝
∴
解得x＝ ，即AE＝ .
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 是BC 边上一点，以DB 为直径的⊙O 经过AB 的中点E，交AD 的延长线于点F，连接EF.
(1)求证：∠1＝∠F；
(2)若sin B＝ ，EF＝ ，求CD 的长．
小试牛刀
如图，连接DE，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴∠DEB＝90°，
∵E 是AB 的中点，
∴DA＝DB，
∴∠1＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠1＝∠F；
(1)证明：
小试牛刀
∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2
∴AB＝2AE＝4
在Rt△ABC 中，AC＝AB sin B＝4，
∴BC＝
设CD＝x，则AD＝BD＝8－x，
∵AC 2＋CD 2＝AD 2，
即42＋x 2＝(8－x )2，
∴x＝3，即CD＝3.
(2)解：
小试牛刀
5 如图，已知AB 是半径为1的⊙O 的直径，C 是圆上一点，D 是BC 的延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，交AB 于F 点，且△AEF 为等边三角形．
(1)求证：△DFB 是等腰三角形；
(2)若DA＝ AF，求证：CF⊥AB.
小试牛刀
(1)∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵△AEF 为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°.
∴∠B＝90°－∠CAB＝30°.
∵∠EFA＝∠B＋∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°.
∴△DFB 是等腰三角形．
证明：
小试牛刀
(2)如图，过点A 作AM⊥DF 于点M，设AF＝2a.
∵△AEF 是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AM＝ a，∠AEF＝60°.
在Rt△DAM 中，AD＝ AF＝2 a，
AM＝ a，
∴DM＝
∴BF＝DF＝6a.
∴AB＝AF＋BF＝8a.
小试牛刀
在Rt△ABC 中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝4a.
∴CE＝AC－AE＝4a－2a＝2a.
∴CE＝EF.∴∠ECF＝∠EFC.
∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，
∴∠CFE＝30°.
∴∠AFC＝∠AFE＋∠EFC＝60°＋30°＝90°.
∴CF⊥AB.
小试牛刀
6 如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A (0，2)和点B (2 ，0)．
(1)求线段AB 的长及∠ABO 的大小．
(2)在⊙C上是否存在一点P，使得△POB 是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP 的度数；若不存在，请说明理由．
小试牛刀
(1)∵ A (0，2)，B (2 ，0)，
∴OA＝2，OB＝2
在Rt△AOB 中，AB＝
如图，连接OC，∵∠AOB＝90°，
∴AB 为⊙C 的直径，点C 为AB 的中点．
∴AC＝OC＝ AB＝2＝OA.
∴△AOC 是等边三角形．
∴∠BAO＝60°.∴∠ABO＝30°.
解：
小试牛刀
(2)存在．如图，作OB 的垂直平分线MN，
交⊙C 于点M，N，交OB 于点D，连接OM，BM，ON，BN.
由垂径定理可得MN 必过点C，即MN 是⊙C 的直径．
∵MN 垂直平分OB，∴△OBM，△OBN 都是等腰三角形，
∴M，N 点均符合P 点的要求．
∵MN 是⊙C 的直径，∴∠MON＝90°.
∵∠BMO＝∠BAO＝60°，
∴△OBM 是等边三角形．
∴∠BOM＝60°.∴∠BON＝30°.
故存在符合条件的P 点，∠BOP 的度数为60°或30°.
课堂小结
课堂小结
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题.
同学们，
下节课见！
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