【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.2圆的对称性【优质课件】

(共45张PPT)
2 圆的对称性
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
圆是中心对称图形吗？它的对称中心在哪里？
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心，
它具有旋转不变性.
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆的对称性
1．一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这就是圆的旋转不变性．
2．把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合，所以圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
探索新知
如图，在⊙O 中，将△AOB 绕圆心O 顺时针旋转150°，
得到△COD，指出图中相等的量．
例1
导引：
题中涉及的量有：弧、角、线段，
按圆的旋转不变性这一规律找相等的量．
相等的弧有： ；
相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，∠A
＝∠B＝∠C＝∠D；
相等的线段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD.
解：
探索新知
总 结
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有下列特性：
一是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持不变，因此本题圆中变换位置前后对应的弧、角、线段都相等．
典题精讲
日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例.
1
解：略.
下列图形：平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰三角形，这些图形中只是轴对称图形的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2
A
典题精讲
利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
(1) 是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2) 是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3) 既是轴对称图形又是中心对称图形.
3
解： (1)如图①②是轴对称图形但不是中心对称图形；
(2)如图③是中心对称图形但不是轴对称图形；
(3)如图④既是轴对称图形又是中心对称图形．
典题精讲
下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
4
D
探索新知
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
2
知识点
圆心角与所对的弧、弦之间的关系
探索新知
归 纳
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
探索新知
下列命题中，正确的是(　　)
①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②　　　 B．②和③　　　
C．①和③　　　 D．①②③
例2
C
探索新知
导引：
①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角，故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，若圆心角相等，则所对的弦相等，若圆心角不等，则所对的弦也不等，故正确．
探索新知
总 结
本题考查了对弧、弦、圆心角之间的关系的理解，对于圆中的一些易混易错结论应结合图形来解答．特别要注意：看是否有“在同圆或等圆中”这个前提条件．
典题精讲
下面四个图形中的角，是圆心角的是(　　)
1
D
典题精讲
如图，AB 为⊙O 的弦，∠A＝40°，则AB 所对的圆心角等于(　　)
A．40°
B．80°
C．100°
D．120°
2
︵
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C 为圆心，BC为半径的圆交AB 于点D，交AC 于点E，则BD 的度数为(　　)
A．25°
B．30°
C．50°
D．65°
3
︵
C
典题精讲
如图，圆O 过五边形OABCD 的四个顶点．若AD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则BC 的度数为何？(　　)
A．25°
B．40°
C．50°
D．55°
4
︵
︵
B
典题精讲
已知AB，CD 是⊙O 的直径，弦CE∥AB，∠COE＝40°，则BD 的度数是(　　)
A．70° B．110°
C．40° D．70°或110°
5
︵
D
探索新知
3
知识点
相等的圆心角、弧、弦的对应关系
如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A1OB1 的
位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
·
O
A
B
A1
B1
∵ ∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1 ，AB=A1B1 .
⌒
⌒
探索新知
如图，⊙O 与⊙O1是等圆，∠AOB =∠A1OB1=60°，请问上述结论还成立吗？为什么？
·
O
A
B
A1
·
O1
B1
·
探索新知
归 纳
弧、弦、圆心角之间的关系．
在同圆或等圆中：
(1)相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
(2)相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
(3)相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
探索新知
如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且
. BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？
例3
解：
BE=CE. 理由是
∵ ∠AOD=∠BOE，
∴
又∵
∴
∴ BE=CE.
典题精讲
已知A，B 是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C 是AB 的中点. 试确定四边形OACB 的形状，并说明理由.
1
如图，四边形OACB 是菱形．理由如下：连接OC.
∵C 是AB 的中点，
∴AC＝BC. ∴∠AOC＝∠BOC.
∵∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°.
又∵OB＝OC，OA＝OC，
∴△BOC 和△AOC 都是等边三角形．
∴OB＝BC＝CA＝AO. ∴四边形OACB 是菱形．
解：
︵
︵
︵
︵
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，若∠COA＝∠DOB＝60°，则与线段AO 的长度相等的线段有(　　)
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
2
D
典题精讲
在⊙O 中，圆心角∠AOB＝2∠COD，则AB 与CD 的关系是(　　)
A. AB＝2CD B. AB＞2CD
C. AB＜2CD D．不能确定
3
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
︵
A
在⊙O 中，M，N 分别为弦AB，CD 的中点，如果OM＝ON，那么在结论：①AB＝CD；②AB＝CD；③∠AOB＝∠COD 中，正确的是(　　)
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
4
︵
︵
D
易错提醒
如图，在⊙O 中，弦AB>CD，OM⊥AB，ON⊥CD，M，N 分别为垂足，那么OM，ON 的大小关系是(　　)
A．OM>ON 　　　　
B．OM＝ON
C．OMD．无法确定
易错点：对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
C
易错提醒
A或B
对于“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等”这一性质中反映的各组量之间的关系判断不准，从而导致错误．
错解：
诊断：
学以致用
小试牛刀
如图，在⊙O 中，点C 是AB 的中点，∠A＝50°，则∠BOC 等于(　　)
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
1
︵
A
小试牛刀
把一张圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC 的度数是(　　)
A．120°
B．135°
C．150°
D．165°
2
︵
C
小试牛刀
3 如图，AB 是⊙O 的直径，AC＝CD，∠COD＝60°.
(1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由．
(2)求证：OC∥BD.
小试牛刀
(1)△AOC 是等边三角形．理由如下：
∵AC＝CD，∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，∴△AOC 是等边三角形．
(2)证明：∵∠BOD＝180°－∠AOC－∠COD
＝180°－60°－60°＝60°.
OB＝OD，∴△OBD 为等边三角形．
∴∠D＝60°.∴∠D＝∠COD.
∴OC∥BD.
解：
小试牛刀
4 如图，在△AOB 中，AO＝AB，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交AB 于点D，交AO 于点E，AD＝BO.
试证明BD＝DE，并求∠A 的度数．
小试牛刀
设∠A＝x °.∵AD＝BO，OB＝OD，∴OD＝AD.
∴∠AOD＝∠A＝x °.
∴∠ABO＝∠ODB＝∠AOD＋∠A＝2x °.
∵AO＝AB，∴∠AOB＝∠ABO＝2x °.
从而∠BOD＝2x °－x °＝x °，
即∠BOD＝∠AOD.∴BD＝DE.
在△BOD 中，由三角形的内角和为180°，
得2x＋2x＋x＝180，
∴x＝36，则∠A＝36°.
解：
小试牛刀
5 如图，以 ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD，BC 于点E，F，延长BA 交⊙A于点G.
(1)求证：GE＝EF；
(2)若BF 的度数为50°，求∠C 的度数．
小试牛刀
如图，连接AF，则AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB.　
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF.
∴∠GAE＝∠EAF.∴GE＝EF.
∵BF 的度数为50°，
∴∠BAF＝50°.∴∠ABF＝∠AFB＝65°.
又∵AB∥CD，∴∠ABF＋∠C＝180°.
∴∠C＝180°－∠ABF＝115°.
(1)证明：
(2)解：
小试牛刀
6 如图，已知AD 是⊙O 的直径，AB，AC 是弦，且AB＝AC.
(1)求证：直径AD 平分∠BAC；
(2)若BC 经过半径OA 的中点E，点F 是CD 的中点，点G 是BF 的中点，⊙O 的半径为1.求GF 的长．
小试牛刀
如图，连接BD，CD.
∵AB＝AC，∴AB＝AC.
∵AD 是⊙O 的直径，
∴BD＝CD.
∴BD＝CD.
又∵AD＝AD，
∴△ABD ≌ △ACD.
∴∠BAD＝∠CAD.
∴直径AD 平分∠BAC.
(1)证明：
小试牛刀
如图，连接BO，CO，GO，FO.由(1)可知AD⊥BC，
又∵点E 是OA 的中点，∴BA＝OB＝AC＝OC＝OA.
∴∠BOA＝∠AOC＝60°.∵BD＝CD，
∴∠BOD＝∠COD＝180°－∠AOC＝120°.
又∵点F 是CD的中点，
∴∠COF＝∠FOD＝ ∠COD＝60°.
∴∠BOF＝180°.∴BF 是⊙O 的直径．
又∵点G 是BF 的中点，∴∠FOG＝90°.
∵⊙O 的半径是1，∴GF＝ OF＝
(2)解：
课堂小结
课堂小结
1. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，具有旋转不变性.
2. 弧、弦、圆心角之间的关系：
（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦相等.
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等.
同学们，
下节课见！
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