【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.4圆周角和圆心角的关系 第三课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.4圆周角和圆心角的关系 第三课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？
探索新知
1
知识点
圆内接多边形
圆内接多边形：
在圆内相异n 个点，按顺（或逆）时针的方向连接相邻的各点，可形成一个n 边形，此n 边形叫作此圆的圆内接多边形，此圆为多边形的外接圆.圆心为此n 边形的外心.外心到圆内接多边形各顶点的距离皆等长(即外接圆的半径)
探索新知
下面，我们探究四边形与圆的关系.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆.
.
O
C
A
B
D
探索新知
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
定义
探索新知
如果圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD 一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
例1
分析：由圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆
的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得
四边形ABCD 的四个内角都是直角，即可判定四
边形ABCD 一定是矩形.
解：∵圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆的
圆心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD 一定是矩形. 故选B.
B
典题精讲
下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
1
B
典题精讲
下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
2
A
下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
3
C
探索新知
2
知识点
圆内接四边形对角互补
(1)如图1，A，B，C，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径， ∠ BAD 与∠ BCD 之间有什么关系？为什么？
(2)如图2，点C 的位置发生了变化， ∠ BAD 与∠ BCD 之间的关系 还成立吗？为什么？
.
O
C
A
B
D
图1
.
O
C
A
B
D
图2
探索新知
归 纳
推论 圆内接四边形的对角互补.
探索新知
下面我们对它进行证明.
已知：如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.
求证：∠BCD+∠BAD= 180°，
∠ABC+∠ADC= 180°.
.
O
C
A
B
D
探索新知
证明：如图，连接OB，OD.
∵ 与 所对的圆心角之和为360°，
∠BCD 和∠BAD 分别为 和 所对的
圆周角，
∴∠BCD+∠BAD= 180°.
同理可证，∠ABC+∠ADC=180°.
.
O
C
A
B
D
探索新知
如图，两圆相交于A，B 两点，小圆
经过大圆的圆心O，点C，D 分别在
两圆上，若∠ADB＝100°，则
∠ACB 的度数为( )
A．35° B．40° C．50° D．80°
例2
要求∠ACB 的度数，即需要求出∠AOB 的度数(一条弧所对的
圆周角等于它所对的圆心角的一半)，这样就产生辅助线AO，
BO，如图，连接AO，BO.在小圆中，∠AOB 是圆内接四边形
AOBD 中∠ADB 的对角，因此∠AOB＝180°－∠ADB＝
180°－100°＝80°，所以∠ACB＝ ∠AOB＝40°.
导引：
B
典题精讲
在圆内接四边形ABCD 中，对角∠A 与∠C 的度数之比是4：5，求∠C 的度数.
1
设∠A＝4x °，则∠C＝5x °.
∵∠A＋∠C＝180°，
∴4x °＋5x °＝180°.
∴x＝20.
∴∠C＝5×20°＝100°
解：
典题精讲
在圆内接四边形ABCD 中，若∠A＝70°，则∠C 等于( )
A．20° B．30° C．70° D．110°
下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
3
D
B
典题精讲
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
4
C
典题精讲
如图，两圆相交于A，B 两点，小圆经过大圆圆心O，点C，D 分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB 的度数为( )
A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
5
B
探索新知
3
知识点
圆内接四边形的外角等于其内对角
想一想
如图， ∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，
∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
.
O
C
A
B
D
E
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
探索新知
已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B 两点，
经过点A 的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B
的直线与两圆分别交于点E，点F. 若CD∥EF，求证：
(1)四边形CEFD 是平行四边形；
(2) .
例3
探索新知
(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB，由圆内接
四边形的性质，知：∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝
180°，可得∠E＋∠F＝180°，进而可得CE∥DF，
由此得证．(2)由四边形CEFD 是平行四边形，得CE＝
DF.由于⊙O1和⊙O2是两个等圆，因此 .
导引：
探索新知
解：
(1)连接AB，如图.
∵四边形ABEC 是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD＝∠E.
又∵四边形ADFB 是⊙O2的内接四边形，
∴∠BAD＋∠F＝180°.∴∠E＋∠F＝180°.∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，
∴四边形CEFD 是平行四边形．
(2)由(1)得：四边形CEFD 是平行四边形，∴CE＝DF.
又∵⊙O1和⊙O2是两个等圆，
∴ .
探索新知
总 结
连接两圆共同的弦(如本题中连接AB )是解答这类问题的重要辅助线，它将两圆的有关角联系在一起，起到一种桥梁作用．
典题精讲
如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝________．
1
105°
典题精讲
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC 的大小为( )
A．130°
B．100°
C．65°
D．50°
2
C
典题精讲
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 为AB 延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC 等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°
3
C
典题精讲
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC 的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
4
C
易错提醒
已知△ABC 内接于⊙O，OD⊥AC 于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B 的度数为( )
A．16° B．32°
C．16°或164° D．32°或148°
易错点：画图时考虑不全而漏解
D
学以致用
小试牛刀
如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或150°
1
C
小试牛刀
如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O 的半径长为( )
A.
B.
C.
D.
2
D
小试牛刀
3 如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB 上一点，∠BMO＝120°，求⊙C 的半径及点B 的坐标．
小试牛刀
由题意知四边形AOMB 为⊙C 的内接四边形，
∴∠BAO＝180°－∠BMO＝180°－120°＝60°.
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABO 中，易知OA＝3，得AB＝2OA＝6.
∴AC＝BC＝3，OB＝
∴⊙C 的半径为3，点B 的坐标是(－3 ，0)．
解：
小试牛刀
4 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB 是⊙O 的直径．
小试牛刀
(1)四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD
＝180°－130°－25°＝25°.
∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，
∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC
＝180°－50°－40°＝90°.
∴AB 是⊙O 的直径．
证明：
小试牛刀
5 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E，且DC＝DE.
(1)求证：∠A＝∠AEB；
(2)连接OE，交CD 于点F，OE⊥CD，求证：△ABE 是等边三角形．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A＝∠DCE.
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB.
∴∠A＝∠AEB.
证明：
小试牛刀
(2)∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE 是等腰三角形．
∵OE⊥CD，∴CF＝DF.
∴OE 是CD 的垂直平分线．
∴ED＝EC.
又∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC.
∴△DCE 是等边三角形．
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE 是等边三角形．
小试牛刀
6 如图，已知四边形ABCD 内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若圆O 的半径为3，求BC 的长．
小试牛刀
∵四边形ABCD 内接于圆O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°.
∴∠DCB＝∠DBC＝75°.
∴BD＝CD.
(1)证明：
小试牛刀
∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°.如图，连接OB，OC，
由圆周角定理，得∠BOC＝60°.
∴BC 的长等于圆O 的周长的
∴BC的长为 ×2π×3＝π.
(2)解：
课堂小结
课堂小结
圆内接四边形的角的“两种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，
则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内
接四边形的外角等于其内对角．
同学们，
下节课见！
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4 圆周角和圆心角的关系
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？
探索新知
1
知识点
圆内接多边形
圆内接多边形：
在圆内相异n 个点，按顺（或逆）时针的方向连接相邻的各点，可形成一个n 边形，此n 边形叫作此圆的圆内接多边形，此圆为多边形的外接圆.圆心为此n 边形的外心.外心到圆内接多边形各顶点的距离皆等长(即外接圆的半径)
探索新知
下面，我们探究四边形与圆的关系.
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆.
.
O
C
A
B
D
探索新知
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
定义
探索新知
如果圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD 一定是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
例1
分析：由圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆
的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得
四边形ABCD 的四个内角都是直角，即可判定四
边形ABCD 一定是矩形.
解：∵圆内接四边形ABCD 的对角线交点恰好是该圆的
圆心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD 一定是矩形. 故选B.
B
典题精讲
下列说法正确的是( )
A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形
B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆
C．任意一个四边形都有外接圆
D．一个圆只有唯一一个内接四边形
1
B
典题精讲
下列多边形中一定有外接圆的是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
2
A
下列命题中，不正确的是( )
A．矩形有一个外接圆
B．弦的垂直平分线一定平分弦所对的弧
C．菱形有一个外接圆
D．任何一个三角形都有一个外接圆
3
C
探索新知
2
知识点
圆内接四边形对角互补
(1)如图1，A，B，C，D 是⊙O 上的四点，AC 为⊙O 的直径， ∠ BAD 与∠ BCD 之间有什么关系？为什么？
(2)如图2，点C 的位置发生了变化， ∠ BAD 与∠ BCD 之间的关系 还成立吗？为什么？
.
O
C
A
B
D
图1
.
O
C
A
B
D
图2
探索新知
归 纳
推论 圆内接四边形的对角互补.
探索新知
下面我们对它进行证明.
已知：如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形.
求证：∠BCD+∠BAD= 180°，
∠ABC+∠ADC= 180°.
.
O
C
A
B
D
探索新知
证明：如图，连接OB，OD.
∵ 与 所对的圆心角之和为360°，
∠BCD 和∠BAD 分别为 和 所对的
圆周角，
∴∠BCD+∠BAD= 180°.
同理可证，∠ABC+∠ADC=180°.
.
O
C
A
B
D
探索新知
如图，两圆相交于A，B 两点，小圆
经过大圆的圆心O，点C，D 分别在
两圆上，若∠ADB＝100°，则
∠ACB 的度数为( )
A．35° B．40° C．50° D．80°
例2
要求∠ACB 的度数，即需要求出∠AOB 的度数(一条弧所对的
圆周角等于它所对的圆心角的一半)，这样就产生辅助线AO，
BO，如图，连接AO，BO.在小圆中，∠AOB 是圆内接四边形
AOBD 中∠ADB 的对角，因此∠AOB＝180°－∠ADB＝
180°－100°＝80°，所以∠ACB＝ ∠AOB＝40°.
导引：
B
典题精讲
在圆内接四边形ABCD 中，对角∠A 与∠C 的度数之比是4：5，求∠C 的度数.
1
设∠A＝4x °，则∠C＝5x °.
∵∠A＋∠C＝180°，
∴4x °＋5x °＝180°.
∴x＝20.
∴∠C＝5×20°＝100°
解：
典题精讲
在圆内接四边形ABCD 中，若∠A＝70°，则∠C 等于( )
A．20° B．30° C．70° D．110°
下列命题：①圆内接平行四边形是矩形；②圆内接矩形是正方形；③圆内接菱形是正方形；④任意四边形一定有外接圆．其中真命题有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
3
D
B
典题精讲
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADC 的大小为( )
A．45°
B．50°
C．60°
D．75°
4
C
典题精讲
如图，两圆相交于A，B 两点，小圆经过大圆圆心O，点C，D 分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB 的度数为( )
A．35°
B．40°
C．50°
D．80°
5
B
探索新知
3
知识点
圆内接四边形的外角等于其内对角
想一想
如图， ∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角，
∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？
.
O
C
A
B
D
E
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
探索新知
已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B 两点，
经过点A 的直线与两圆分别交于点C，点D，经过点B
的直线与两圆分别交于点E，点F. 若CD∥EF，求证：
(1)四边形CEFD 是平行四边形；
(2) .
例3
探索新知
(1)已知CD∥EF，需证CE∥DF；连接AB，由圆内接
四边形的性质，知：∠BAD＝∠E，∠BAD＋∠F＝
180°，可得∠E＋∠F＝180°，进而可得CE∥DF，
由此得证．(2)由四边形CEFD 是平行四边形，得CE＝
DF.由于⊙O1和⊙O2是两个等圆，因此 .
导引：
探索新知
解：
(1)连接AB，如图.
∵四边形ABEC 是⊙O1的内接四边形，∴∠BAD＝∠E.
又∵四边形ADFB 是⊙O2的内接四边形，
∴∠BAD＋∠F＝180°.∴∠E＋∠F＝180°.∴CE∥DF.
又∵CD∥EF，
∴四边形CEFD 是平行四边形．
(2)由(1)得：四边形CEFD 是平行四边形，∴CE＝DF.
又∵⊙O1和⊙O2是两个等圆，
∴ .
探索新知
总 结
连接两圆共同的弦(如本题中连接AB )是解答这类问题的重要辅助线，它将两圆的有关角联系在一起，起到一种桥梁作用．
典题精讲
如图，四边形ABCD 是圆内接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝________．
1
105°
典题精讲
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，则∠DAC 的大小为( )
A．130°
B．100°
C．65°
D．50°
2
C
典题精讲
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 为AB 延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC 等于( )
A．20°
B．40°
C．80°
D．100°
3
C
典题精讲
如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC 的度数为( )
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
4
C
易错提醒
已知△ABC 内接于⊙O，OD⊥AC 于点D，如果∠COD＝32°，那么∠B 的度数为( )
A．16° B．32°
C．16°或164° D．32°或148°
易错点：画图时考虑不全而漏解
D
学以致用
小试牛刀
如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是( )
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．30°或150°
1
C
小试牛刀
如图，已知⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，O 为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O 的半径长为( )
A.
B.
C.
D.
2
D
小试牛刀
3 如图，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内OB 上一点，∠BMO＝120°，求⊙C 的半径及点B 的坐标．
小试牛刀
由题意知四边形AOMB 为⊙C 的内接四边形，
∴∠BAO＝180°－∠BMO＝180°－120°＝60°.
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30°.
在Rt△ABO 中，易知OA＝3，得AB＝2OA＝6.
∴AC＝BC＝3，OB＝
∴⊙C 的半径为3，点B 的坐标是(－3 ，0)．
解：
小试牛刀
4 如图，四边形ABCD 内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB 是⊙O 的直径．
小试牛刀
(1)四边形ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD
＝180°－130°－25°＝25°.
∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，
∠B＝50°，∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC
＝180°－50°－40°＝90°.
∴AB 是⊙O 的直径．
证明：
小试牛刀
5 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E，且DC＝DE.
(1)求证：∠A＝∠AEB；
(2)连接OE，交CD 于点F，OE⊥CD，求证：△ABE 是等边三角形．
小试牛刀
(1)∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠A＝∠DCE.
∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB.
∴∠A＝∠AEB.
证明：
小试牛刀
(2)∵∠A＝∠AEB，
∴△ABE 是等腰三角形．
∵OE⊥CD，∴CF＝DF.
∴OE 是CD 的垂直平分线．
∴ED＝EC.
又∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC.
∴△DCE 是等边三角形．
∴∠AEB＝60°，
∴△ABE 是等边三角形．
小试牛刀
6 如图，已知四边形ABCD 内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.
(1)求证：BD＝CD；
(2)若圆O 的半径为3，求BC 的长．
小试牛刀
∵四边形ABCD 内接于圆O，
∴∠DCB＋∠BAD＝180°.
∵∠BAD＝105°，
∴∠DCB＝180°－105°＝75°.
∴∠DCB＝∠DBC＝75°.
∴BD＝CD.
(1)证明：
小试牛刀
∵∠DCB＝∠DBC＝75°，
∴∠BDC＝30°.如图，连接OB，OC，
由圆周角定理，得∠BOC＝60°.
∴BC 的长等于圆O 的周长的
∴BC的长为 ×2π×3＝π.
(2)解：
课堂小结
课堂小结
圆内接四边形的角的“两种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，
则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内
接四边形的外角等于其内对角．
同学们，
下节课见！
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