【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.5确定圆的条件【优质课件】

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5 确定圆的条件
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1、过一点可以作几条直线？
2、过几点可确定一条直线？
过几点可以确定一个圆呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
确定圆的条件
经过一个已知点A 能确定一个圆吗？
A
经过一个已知点能作无数个圆.
你怎样画这个圆？
探索新知
经过两个已知点A、B 能确
定一个圆吗
A
B
它们的圆心都在线段AB 的中垂线上.
经过两个已知点A、B
所作的圆的圆心在怎
样的一条直线上？
经过两个已知点A、B 能作无数个圆
探索新知
A
B
C
过如下三点能不能做圆？为什么？
不在同一直线上的三点确定一个圆
探索新知
如图①是一个残破的圆轮，李师傅想要再浇铸一个
同样大小的圆轮，你能想办法帮助李师傅吗？
例1
导引：
可先在圆弧上任意取三个点，然后作出两条弦，分别作
这两条弦的垂直平分线即可确定圆轮所在圆的圆心．
探索新知
解：
如图②：
(1)在圆轮所在的圆弧上任取三
点A，B，C，并连接AB，BC；
(2)分别作AB，BC 的垂直平分线
DE，FG，DE，FG 相交于点O；
(3)以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，⊙O 就是圆轮所在的圆．
探索新知
总 结
经过不在同一条直线上的三点A，B，C 作圆，圆心O 是线段AB，BC 的垂直平分线的交点，再以OA (或OB，OC )为半径作圆即可，这样的圆只能作一个．
典题精讲
如图，点A，B，C 在同一条直线上，点D 在直线AB 外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是(　　)
A．1　　
B．2
C．3　　
D．4
1
C
典题精讲
已知AB＝4 cm，则过点A，B 且半径为3 cm的圆有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2
B
下列说法中正确的是(　　)
A．两个点确定一个圆
B．三个点确定一个圆
C．四个点确定一个圆
D．不共线的三个点确定一个圆
3
C
典题精讲
如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(　　)
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
4
B
探索新知
2
知识点
三角形的外接圆、外心
已知△ABC，用直尺和圆规作出过点A、B、C 的圆.
A
B
C
O
探索新知
定 义
经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.
探索新知
如图：⊙O 是△ABC 的外接圆， △ABC 是⊙O 的内接三角形，点O 是△ABC 的外心.
外心是△ABC 三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.
C
A
B
O
探索新知
三角形外接圆的作法：
(1)作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点；
(2)以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可．
探索新知
如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC 外接圆的圆心坐标是(　　)
A．(2，3)　　　
B．(3，2)　　　
C．(1，3)　　　
D．(3，1)
例2
D
探索新知
导引：
由A (1，4)，B (5，4)可知AB∥x 轴，△ABC 的外接圆
圆心在线段AB 的垂直平分线上，所以圆心的横坐标
应为 ＝3；同理，圆心还应在线段AC 的垂直平
分线上，其纵坐标应为 ＝1.
探索新知
总 结
根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．
探索新知
如图1，△ABC 内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，求⊙O 的半径．
例3
图1
探索新知
导引：
要求⊙O 的半径，已知弦AB 的长，需以AB 为边与
⊙O 的半径(或直径)构成等腰直角三角形，因此有
两个切入点．方法一：如图2，连接OA，OB，利
用圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝90°，再利用
勾股定理求出半径；方法二：
如图2，作直径AD，连接BD，
利用同弧所对的圆周角相等，得
∠D＝∠C＝45°，再利用勾股
定理可求出半径．
图2
探索新知
解：
方法一：如图1，连接OA，OB，设⊙O 的半径为r，
∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°.
∴OA2＋OB 2＝AB 2，即r 2＋r 2＝42.
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O 的半径为2 .
图1
探索新知
方法二：如图2，作直径AD，连接BD，设⊙O 的半径为r.
∵AD 为⊙O 的直径，
∴∠ABD＝90°.
又∵∠D＝∠C＝45°，∴∠DAB＝45°.
∴BD＝AB＝4.
在Rt△ABD 中，AB 2＋BD 2＝AD 2，即42＋42＝(2r )2
解得r1＝2 ，r2＝－2 (不符合题意，舍去)．
∴⊙O 的半径为2 .
图2
探索新知
总 结
求三角形的外接圆半径时，最常用的办法是作出圆心与三角形顶点的连线(即半径)，延长使这条半径变为直径，将求半径转化为直角三角形中求边的长．
典题精讲
已知下面的三个三角形，分别作出它们的外接圆. 它们外心的位置有怎样的特点？
1
解：作图略．经观察发现：锐角三角形的外心在三角形的内部；
直角三角形的外心在斜边的中点处；钝角三角形的外心在三
角形的外部．　
典题精讲
下列说法中，真命题的个数是(　　)
①任何三角形有且只有一个外接圆；
② 任何圆有且只有一个内接三角形；
③三角形的外心不一定在三角形内；
④三角形的外心到三角形三边的距离相等；
⑤经过三点确定一个圆．
A．1 B．2 C．3 D．4
2
B
典题精讲
如图，AC，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F，下列三角形中，外心不是点O 的是(　　)
A．△ABE
B．△ACF
C．△ABD
D．△ADE
3
B
典题精讲
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，3)，点B 的坐标为(2，1)，点C 的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知△ABC 的外心坐标应是(　　)
A．(0，0)
B．(1，0)
C．(－2，－1)
D．(2，0)
4
C
典题精讲
小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为(　　)
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
5
B
易错提醒
若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则△ABC 的面积为(　　)
A．2＋ B.
C．2＋ 或2－ D．4＋2 或2－
易错点：忽视三角形的外心与三角形的位置关系，出现漏解
C
易错提醒
由题意可得，存在两种情况，当△ABC 为钝角三角形时，如图中的△A1BC，
当△ABC 为锐角三角形时，
如图中的△A2BC.
连接A1A2，交BC 于D.
∵A1B＝A1C，A2B＝A2C，
∴A1A2垂直平分BC.∴A1A2为⊙O 的直径，BD＝CD＝1.∵∠BOC＝60°，OB＝OC，
易错提醒
∴△OBC 为等边三角形．∴OB＝OC＝BC＝2.
∴OD＝
∴S△ BC＝
S△ BC＝
∴△ABC 的面积为2－ 或2＋
故选C.
学以致用
小试牛刀
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB＝AB，则PA 的长为(　　)
A．5
B.
C．5
D．5
1
D
小试牛刀
如图，点A，B，C 均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C 三点外还能
经过的格点数为_______．
2
5
小试牛刀
3 如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点D，∠ABC 的平分线交AD 于点E，
(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC 的外接圆的半径．
小试牛刀
∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，∠BAE＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴∠DBC＝∠BAE，
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，
∠DEB＝∠ABE＋∠BAE，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DE＝DB；
(1)证明：
小试牛刀
连接CD，如图所示．
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD.
∴CD＝BD＝4.
∵∠BAC＝90°，
∴BC 是直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BC＝
∴△ABC 的外接圆的半径＝
(2)解：
小试牛刀
4 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P 是斜边BC 上一点(不与B，C 重合)，PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．
(1)求证：△APE 是等腰直角三角形；
(2)若⊙O 的直径为2，求PC 2＋PB 2的值．
小试牛刀
∵AB＝AC，∠BAC ＝90°，
∴∠C＝∠ABC＝45°.
∴∠AEP＝∠ABP＝45°.
∵PE 是⊙O 的直径，∴∠PAE＝90°，
∴∠APE＝∠AEP＝45°.
∴AP＝AE.
∴△PAE 是等腰直角三角形．
(1)证明：
小试牛刀
如图，作PM⊥AC 于M，PN⊥AB 于N，
则四边形PMAN 是矩形，∴PM＝AN，
易知△PCM，△PNB 都是等腰直角三角形，
∴PC＝ PM，PB＝ PN.
∴PC 2＋PB 2＝2(PM 2＋PN 2)
＝2(AN 2＋PN 2)
＝2PA2
＝PE 2
＝22
＝4.
(2)解：
小试牛刀
5 如图，已知△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，弦CE⊥AB 于点F，C 是AD 的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC 于点P，Q，
求证：点P 是△ACQ 的外心．
小试牛刀
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°.
∵AB⊥CE，AB 是直径，∴AC＝AE.
又∵AC＝CD，
∴CD＝AE.
∴∠ACP＝∠CAP.
∴AP＝PC.又∠QCP＋∠ACP＝∠CAP＋∠CQP＝90°，
∴∠PCQ＝∠CQP. ∴CP＝PQ.
∴CP＝AP＝PQ，即P 是Rt△ACQ 的外心．
证明：
小试牛刀
6 已知⊙O 是正三角形ABC 的外接圆．
(1)如图①，若PC 为⊙O 的直径，连接AP，BP，
求证：AP＋BP＝PC.
(2)如图②，若点P 是弧AB 上任意一点，连接AP，BP，CP，那么结论AP＋BP＝PC 还成立吗？请说明理由．
小试牛刀
∵△ABC 为正三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴∠APC＝∠BPC＝60°.
∵PC 为⊙O 的直径，
∴∠PAC＝∠PBC＝90°.
∴∠ACP＝∠BCP＝30°.
∴AP＝BP＝ PC.
∴AP＋BP＝PC.
(1)证明：
小试牛刀
成立．
理由：如图，在PC 上取一点D，使PD＝PA，连接AD.
∵∠APD＝∠ABC＝60°，
∴△APD 为等边三角形．
∴AD＝AP，∠PAD＝60°.
又∵∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AB＝AC，
∴△APB ≌ △ADC，
∴PB＝DC，
∴AP＋BP＝PD＋DC＝PC.
(2)解：
课堂小结
课堂小结
(1)只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.
(2)经过一个已知点能作无数个圆.
(3)经过两个已知点A、B 能作无数个圆！这些圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上.
(4)不在同一直线上的三个点确定一个圆.
(5)外接圆，外心的概念.
同学们，
下节课见！
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