【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.4圆周角和圆心角的关系 第一课时【优质课件】

(共52张PPT)
4 圆周角和圆心角的关系
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
什么是圆心角？它具有哪些性质？
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆周角的定义
图中∠ACB 的顶点和边有哪些特点？
A
O
B
C
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．如：∠ACB．
探索新知
圆周角的特征：
①角的顶点在圆上；
②角的两边都与圆相交，这两个特征是判定圆周角不可缺少的条件．
探索新知
如图，下列各角是圆周角的是(　　)
A．∠AOD　
B．∠AOC　
C．∠BAD　
D．∠BOD
可根据圆周角的定义进行判断，显然∠AOD，∠AOC，∠BOD 均是圆心角，只有∠BAD 符合圆周角的两个特征．
导引：
例1
C
探索新知
总 结
判断一个角是否为圆周角，关键是看这个角是否具备圆周角的两个特征：
(1)角的顶点在圆上；
(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可．
典题精讲
下列四个图中，∠x 为圆周角的是(　　)
1
C
典题精讲
如图，图中的圆周角共有______个，其中 所
对的圆周角是______________， 所对的圆周
角是______________．
2
4
∠C 与∠D
∠A 与∠B
探索新知
2
知识点
圆周角和圆心角的关系
如图，∠ AOB = 80°.
(1)请你画出几个 所对的圆周角，这几
个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.
(2 )这些圆周角与圆心角∠ AOB 的大小有什么关系？你是
怎样发现的？与同伴进行交流.
在图中，改变∠ AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？
做一做
O
A
B
探索新知
归 纳
圆周角定理：
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.
探索新知
1. 圆周角定理的证明：
已知：如图，∠ C 是 所对的圆周角， ∠ AOB 是
所对的圆心角.
求证： ∠ C= ∠ AOB
分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：
探索新知
(1)圆心O 在∠ C 的一条边上，如图 (1).
∵ ∠ AOB 是△AOC 的外角，∴ ∠ AOB = ∠ A + ∠ C.
∵ OA = OC，∴ ∠ A = ∠ C.
∴ ∠ AOB = 2 ∠ C，
即 ∠ C = ∠ AOB.
请你完成图 (2)和图 (3)两种情况的证明.
证明：
(1)圆心O 在∠ C 的一条边上，如图 (1)；
(2)圆心O 在∠ C 的内部，如图 (2)；
(3)圆心O 在∠ C 的外部，如图 (3).
在三种位置关系中，我们选择(1)给出证明，其他情况可以
转化为(1)的情况进行证明.
探索新知
如图，A，B，C，D 是同一圆上的点，∠1＝68°，∠A＝40°，则∠D＝________．
例2
由圆周角定理的推论1可知
∠C＝∠A＝40°，由三角
形的外角性质得
∠D＝∠1－∠C＝68°－40°
＝28°.
导引：
28°
探索新知
总 结
本题应用转化思想，利用“同弧所对的圆周角相等”将已知角转化为与要求的角在同一个三角形中的角，然后利用三角形的外角性质求解．
探索新知
如图，在⊙O 中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC，∠EBC 和∠ADC 之间的度数关系．
例3
解题的关键是分清同弧所对的圆
心角和圆周角，如 所对的圆
心角是∠AOC，所对的圆周角是∠ABC，
所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周
角是∠ADC.
导引：
探索新知
∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.
∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，
∴∠ADC＝ ∠α＝105°.
∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，
∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC 与∠ADC 相等．
又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，
∴∠ABC 和∠ADC 互补．
解：
典题精讲
如图，在⊙O 中，∠O = 50°，求∠A 的度数.
1
解：∵∠BAC 与∠BOC
所对的弧都是 ，
∴∠BAC＝ ∠BOC＝ ×50°
＝25°.
O
A
B
C
典题精讲
将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B 的读数分别为100°，150°，则∠ACB＝________．
2
25°
典题精讲
如图，点A，B，C 都在⊙O上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB 的度数是(　　)
A．26°
B．30°
C．32°
D．64°
3
C
典题精讲
如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(　　)
A．AD＝2OB
B．CE＝EO
C．∠OCE＝40°
D．∠BOC＝2∠BAD
4
D
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，∠CDB＝30°，⊙O 的半径为5 cm，则圆心O 到弦CD 的距离为(　　)
A. cm
B．3 cm
C．3 cm
D．6 cm
5
A
探索新知
3
知识点
同弧或等弧所对的圆周角
想一想
在如图的射门游戏中，当球员在B ，D，E 处射门时，所形成的三个张角∠ ABC， ∠ ADC， ∠ AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
探索新知
归 纳
推论 同弧或等弧所对的圆周角相等.
探索新知
如图，在⊙O 中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2 cm.
(1)求∠BAC 的度数；
(2)求⊙O 的周长．
例4
(1)观察图形发现∠BAC 与∠BDC 为同弧所对的圆周角，
故∠BAC＝∠BDC＝60°；(2)要求圆的周长，需先求出
半径，可利用垂径定理，即连接OA，作OE ⊥AC 于点E，
构造直角三角形求出半径．
导引：
探索新知
解：
(1)在⊙O 中，∠BDC 与∠BAC 均为 所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠BDC＝60°.
(2)∵∠ACB＝60°，又由(1)知∠BAC＝60°，
∴△ABC 为等边三角形．连接OA，作OE ⊥AC 于点E，
如图所示．
∵OE⊥AC，AC＝2 cm，∴AE＝ cm.
在Rt△AOE 中，∠AOE＝∠ABC＝60°，
∴∠OAE＝30°. ∴OE＝ OA.
又∵OE 2＋AE 2＝OA 2，∴OA＝2 cm.
∴⊙O 的周长为2π×2＝4π(cm)．
探索新知
总 结
同一条弧所对的圆周角有无数个，它们都相等，这里特别要注意不要误认为 “同弦所对的圆周角”相等 , 因为一条弦(非直径)所对的圆周角的大小有两种．
典题精讲
如图，哪个角与∠BAC 相等？你还能找到哪些相等的角？
1
解：∠BDC＝∠BAC，如图，
相等的角还有∠ADB＝∠ACB，
∠ACD＝∠ABD，
∠CAD＝∠CBD，
∠1＝∠2，∠3＝∠4.
A
B
C
D
典题精讲
如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，∠CAB＝36°，则∠BCD 的大小是(　　)
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
2
B
典题精讲
如图，在⊙O 中，AB＝BC，点D 在⊙O上，∠CDB＝25°，则∠AOB＝(　　)
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
3
︵
︵
B
典题精讲
如图，在⊙O 中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，则∠ADC 的度数为(　　)
A．30°
B．35°
C．45°
D．70°
4
B
易错提醒
如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD 的长为(　　)
A．2 B．4 C．4 D．8
易错点：忽视勾股定理的应用而致错
C
学以致用
小试牛刀
如图，B，C 是⊙A上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E，F 两点，与线段AC 交于点D. 若∠BFC＝20°，则∠DBC＝(　　)
A．30°
B．29°
C．28°
D．20°
1
A
小试牛刀
如图，A，B，C 是⊙O上的三点，且四边形ABCO 是平行四边形，OF⊥OC 交⊙O 于点F，则∠BAF 等于(　　)
A．12.5°
B．15°
C．20°
D．22.5°
2
B
小试牛刀
3 如图，在⊙O 中，弦AB，CD 垂直相交于点E.
求证：∠BOC＋∠AOD＝180°.
小试牛刀
连接AC，因为圆周角∠BAC 与圆心角∠BOC 同是BC 所对的角，所以∠BOC＝2∠BAC.
因为圆周角∠ACD 与圆心角∠AOD 同是AD 所对的角，所以∠AOD＝2∠ACD.
在Rt△ACE 中，∠BAC＋∠ACD＝90°，
所以∠BOC＋∠AOD＝2∠BAC＋2∠ACD＝2(∠BAC＋∠ACD )＝2×90°＝180°.
证明：
小试牛刀
4 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是AE 的中点，CD⊥AB 于点D，交AE 于点F，连接AC，求证：AF＝CF.
小试牛刀
方法一：连接BC，如图①.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，
即∠ACF＋∠BCD＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°.
∴∠B＝∠ACF.又∵点C 是AE 的中点，
∴AC＝CE.∴∠B＝∠CAE.∴∠ACF＝∠CAE.∴AF＝CF.
方法二：如图②，延长CD 交⊙O 于点H.
∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴AC＝AH.
又∵点C 是AE 的中点，∴AC＝CE.
∴AH＝CE.∴∠ACF＝∠CAF. ∴AF＝CF.
证明：
小试牛刀
方法三：连接OC，如图③.
∵AC＝CE，OC 过圆心，∴CO⊥AE.
∴∠COD＋∠OAE＝90°.
∵CD⊥OA，∴∠DOC＋∠DCO＝90°.
∴∠DCO＝∠DAE.
∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.
∴∠FCA＝∠CAF. ∴AF＝CF.
小试牛刀
5 如图，AB 为⊙O 的一条弦，点C 是劣弧AB 的中点，E 是优弧AB 上一点，点F 在AE 的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB 于点D.
(1)求证：CE∥BF；
(2)若线段BD 的长为2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶ ，求△BCD 的面积(注：根据圆的对称性可知OC⊥AB )．
小试牛刀
∵AC＝CB，∴∠AEC＝∠CEB.
∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB.
∵∠AEB 为△BEF 的外角，
∴∠AEB＝∠EBF＋∠EFB，
即2∠CEB＝2∠EBF.
∴∠CEB＝∠EBF，∴CE∥BF.
(1)证明：
小试牛刀
如图，设AB 交OC 于点G.
∵CE∥BF，∴
∵EA∶EB＝3∶1，
BE＝EF，∴
∵DB＝2，∴AD＝6.
∵∠AEC＝∠CEB，∠A＝∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，
∴
∴CB＝2
(2)解：
小试牛刀
∵CO⊥AB，∴BG＝(6＋2)÷2＝4.
∴CG＝
∴S△BCD＝ BD CG＝ ×2×2＝2.
小试牛刀
6 如图，⊙O 的半径为1，A，P，B，C 是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC 的形状：______________.
(2)试探究线段PA，PB，PC 之间的数量关系，并说明理由．
(3)当点P 位于AB 的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．
等边三角形
小试牛刀
(2)PA＋PB＝PC.
理由：如图①，在PC 上截取PD＝PA，连接AD.
∵∠APC＝60°，
∴△PAD 是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°.
∵∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC. ∴∠PAB＝∠DAC.
又∵AB＝AC，∠ABP＝∠ACD，∴△PAB ≌ △DAC.
∴PB＝DC.∵PD＋DC＝PC，∴PA＋PB＝PC.
解：
小试牛刀
(3)当点P 为AB 的中点时，四边形APBC 的面积最大．
如图②，过点P 作PE⊥AB，垂足为E，过点C 作CF⊥AB，垂足为F.
∵△ABC 是等边三角形，
∴点F 为AB 的中点，且CF 过圆心O.
∵S△PAB＝ AB PE，S△ABC＝ AB CF，
∴S四边形APBC＝ AB (PE＋CF)．
当点P 为AB 的中点时，点E 与点F 重合，PE＋CF＝PC，PC 为⊙O 的直径．∴此时四边形APBC 的面积最大．
易求得AB＝ ，∴S四边形APBC＝ ×2× ＝
课堂小结
课堂小结
(1)一个概念（圆周角）；
(2)一个定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的
圆心角的一半；
(3)一个推论：同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相
等. 相等的圆周角所对的弧相等；
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）