【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.6直线和圆的位置关系 第四课时【优质课件】

(共47张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第4课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
1. 切线的性质是什么？
2. 切线的判定方法有哪些？
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形内切圆及相关概念
已知：△ABC (如图).
求作： ⊙ I，使它与△ ABC 的三边都相切.
A
B
C
探索新知
作法：
1.作∠B ， ∠C 的平分线BE 和CF，交点为I，如图.
2.过I 作BC 的垂线，垂足为D.
3.以I 为圆心，以ID 为半径作⊙I. ⊙I 就是所求的圆.
探索新知
归 纳
由以上的作图过程可知，BE 和CF 只有一个交点I，并且I 到 △ABC 三边的距离相等.
定义：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
探索新知
下列关于三角形的内心和外心的说法中，正确的说法为（ ）
①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.②③④
例1
C
探索新知
由三角形内心的定义以及三角形内心是三个角平分线的交点，三角
形外心的定义与三角形的外心是三边中垂线的交点的知识，分析求
解即可求得答案．
解答：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；是三角形的内心的
定义，故正确；②∵三角形内切圆与各边都相切，∴由切线长定理
可得：三角形的内心是三个角平分线的交点；故正确；③∵三角形
的外心是三角形外接圆的圆心，∴三角形的外心到三个顶点的距离
相等；故错误；④三角形的外心是三边中垂线的交点，正确．∴正
确的说法为：①②④.
导引：
探索新知
总 结
此题考查了三角形内心与外心的知识．此题难度不大，熟练掌握定义与性质是关键．
典题精讲
如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆.三角形的内心是否都在三角形内部？
1
解：图略．三角形的内心都在三角形的内部．
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
典题精讲
下列说法错误的是(　　)
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
2
C
典题精讲
如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的(　　)
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
3
B
典题精讲
如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，点O 是(　　)
A．△ACD 的外心
B．△ABC 的外心
C．△ACD 的内心
D．△ABC 的内心
4
B
典题精讲
下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I 是△ABC 的内心，则AI 平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
5
B
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠A＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为(　　)
A．114°
B．122°
C．123°
D．132°
6
C
探索新知
2
知识点
三角形内切圆的性质
图形 ⊙O 的名称 △ABC 的名称 圆心O 的确定 “心”的性质 “心”的位置
△ABC的内切圆 ⊙O 的外切三角形 三角形三条角平分线的交点 到三角形的三条边的距离相等 一定在三角形内部
探索新知
如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC 的度数为(　　)
A．130°　　
B．100°　　
C．50°　　
D．65°
例2
由题意知BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB )＝ ×(180°
－80°)＝50°.∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
导引：
A
探索新知
如图，是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形ABC，两直角边AC，BC 的长度分别为6 m和8 m，若按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则输油中心O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，输油中心O 为点)是(　　)
A．2 m　　　
B．3 m　　　
C．6 m　　　
D．9 m
例3
C
探索新知
根据△ABC 的面积＝△AOB 的面积＋△BOC 的面积＋
△AOC 的面积即可求解．在Rt△ABC 中，∵AC＝6 m，BC
＝8 m，∴AB＝ ＝10(m)．∵输油
中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r m，又∵△ABC
的面积＝△AOB 的面积＋△BOC 的面积＋△AOC 的面积，
即 AC·BC＝ AB·r＋ BC·r＋ AC·r，∴6×8＝10r＋8r
＋6r，解得r＝2.故输油中心O 到三条支路的管道总长是
2×3＝6(m)．
导引：
探索新知
总 结
直角三角形内切圆的半径的求法：
①r＝ (S 为直角三角形的面积，l 为直角三角形的周长)；
②r＝ (a＋b－c )，其中c 为斜边．
典题精讲
以边长为3，4， 5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别是多少？
1
如图，在△ABC 中，
∵AC 2＋BC 2＝32＋42＝25，
AB 2＝52＝25，
∴AC 2＋BC 2＝AB 2.
∴△ACB 是直角三角形，且∠ACB＝90°.
过点C 作CD⊥AB 于点D，
解：
典题精讲
∵S△ABC＝ AC·BC＝ AB·CD.
∴3×4＝5·CD. ∴CD＝ .
若以点A 为圆心作⊙A 和BC 边相切，
∵BC⊥AC，∴此时半径为AC＝3；
若以点B 为圆心作⊙B 和AC 边相切，
∵AC⊥BC，∴此时半径为BC＝4；
若以点C 为圆心作⊙C 和AB 边相切，
∵CD⊥AB，∴此时半径为CD＝ .
典题精讲
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步(如图)，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)
A．3步 B．5步
C．6步 D．8步
2
C
典题精讲
在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是(　　)
A. B．1
C．2 D.
3
B
已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　　)
A. B.
C. D.
4
C
易错提醒
如图，在△ABC 中，点I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D 和BC 交于点E.求证：DI＝DB.
易错点：混淆外心与内心的概念.
易错提醒
如图，连接BI.
∵点I 是△ABC 的内心，
∴BI 平分∠ABC.∴∠ABI＝∠CBI.
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠DAC 与∠DBC 均为DC 所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠DBC.
∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC，
∴∠BID＝∠IBD.
∴DI＝DB.
证明：
︵
易错提醒
三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易混淆三角形的内心与外心的概念，造成证明错误．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
如图，正三角形ABC 的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(　　)
A．2
B．3
C.
D．2
1
D
小试牛刀
如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是(　　)
A.
B.
C.
D．
2
B
小试牛刀
如图，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC，BC 分别相交于点E，F，则(　　)
A．EF＞AE＋BF
B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF
D．EF≤AE＋BF
3
C
小试牛刀
4 如图，以点O 为圆心的圆与△ABC 的三边分别交于点E，F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O 是△ABC 的内心．
小试牛刀
如图，过点O 作OD⊥AB 于点D，
OP⊥BC 于点P，OQ⊥AC 于点Q，
连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.
∵EF＝GH＝MN，
OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝ON，
∴△OEF ≌ △OGH ≌ △OMN.
∴OD＝OP＝OQ.
∴点O 是△ABC 的内心．
证明：
小试牛刀
5 阅读下列材料：
海伦公式：S＝ (其中a，b，c 是三角形的三边长，p＝ ，S 为三角形的面积)．　
根据上述材料，解答下列问题：
如图，在△ABC 中，BC＝5，AC＝6，AB＝9.
(1)用海伦公式求△ABC 的面积；
(2)求△ABC 的内切圆半径r .
小试牛刀
(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9，
∴p＝
∴S△ABC＝
故△ABC 的面积是10 .
(2)∵S△ABC＝ r (AB＋BC＋AC )，
∴10 ＝ r (9＋5＋6)．
解得r＝
故△ABC 的内切圆半径r＝
解：
小试牛刀
6 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于D 点，连接BD 并延长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.
(1)求证：DB＝DE；
(2)求证：直线CF 为⊙O 的切线．
小试牛刀
(1)∵E 是△ABC 的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，
∠DBE＝∠EBC＋∠DBC，
∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.
证明：
小试牛刀
(2)如图，连接CD.
∵∠DAB＝∠DAC，
∴BD＝CD. ∴BD＝CD.
∵BD＝DF，
∴CD＝DB＝DF.
∴∠DBC＝∠DCB，∠DCF＝∠DFC.
∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DCF＝∠DFC＝45°.
∴∠BCF＝90°，即BC⊥CF.
∴直线CF 是⊙O 的切线．
小试牛刀
7 已知△ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F，若EF＝DE，如图①.
(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；
(2)设AE 与DF 相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM 的长．
小试牛刀
(1)△ABC 为等腰三角形．
证明：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F，
∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF＋∠FCE＝180°，∠DOE＋∠DBE＝180°.
∵EF＝DE，∴∠EOF＝∠DOE.
∴∠FCE＝∠DBE.∴AB＝AC.
∴△ABC 为等腰三角形；
解：
小试牛刀
(2)连接OB，OC，OD，OF，如图所示．
易知在等腰三角形ABC 中，AE⊥BC，
∴E 是BC 的中点，即BE＝CE.
∵在Rt△AOF 和Rt△AOD 中，
OF＝OD，
OA＝OA，
∴Rt△AOF ≌ Rt△AOD.
∴AF＝AD，
同理Rt△COF ≌ Rt△COE，CF＝CE＝2，
小试牛刀
Rt△BOD ≌ Rt△BOE，BD＝BE.
∴BD＝CF，
∴DF∥BC.
∴
∵AE＝
∴AM＝
课堂小结
课堂小结
内切圆：与三角形的三边都相切的圆有且只有一个,我们称这个圆为三角形的内切圆.
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心.
同学们，
下节课见！
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