【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.6直线和圆的位置关系 第三课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.6直线和圆的位置关系 第三课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
6 直线和圆的位置关系
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.切线的性质是什么？
回顾旧知
相交、相切、相离
性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：如图所示，
∵直线l 切☉O 于T，∴OT ⊥ l.
新课精讲
探索新知
1
知识点
切线的判定定理
如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线
l⊥OA，则圆心O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O
有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
l
O
A
探索新知
例1 如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，
BD＝OB，点C 在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC 是⊙O 的切线．
导引：
因为点C 在圆上，所以连接OC，
证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD，
只需证△OCD 为直角三角形．
探索新知
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC 是⊙O 的切线．
探索新知
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
典题精讲
下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1
C
典题精讲
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 与⊙O 相切于点A 的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC 是⊙O 的直径
2
A
典题精讲
如图所示，PA 与⊙O 相切于点A，PO 交⊙O 于点C，点B是优弧CA 上一点，若∠P＝26°，则∠ABC 的度数为( )
A．26°
B．64°
C．32°
D．90°
3
C
探索新知
2
知识点
切线的性质和判定的应用
如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C，AB 交⊙O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.
(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC 的长；
(2)求证：DE 是⊙O 的切线．
例2
(1)已知BC 是⊙O 的直径，可连接CD，构造直径
所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE 是⊙O 的切线，而点D 在圆上，可联想
到连接OD，设法证DE⊥OD 即可．
导引：
探索新知
(1) 连接CD，如图.
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，
∵AD＝DB，
∴AC＝BC＝2OC＝10.
解：
探索新知
(2) 连接OD，如图.
∵∠ADC＝90°，E 为AC 的中点，
∴DE＝EC＝ AC，∴∠1＝∠2，
∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，
∵AC 切⊙O 于点C，∴AC⊥OC，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE 是⊙O 的切线．
证明：
探索新知
总 结
看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：
①有切点，连半径，证垂直；
②无切点，作垂线，证相等．
典题精讲
如图，P 是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：
甲：以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，
交⊙O 于B 点，则直线BP 即为所求．
乙：过点A 作直线MN⊥OP，以点O 为
圆心，OP 为半径画弧，交射线AM 于
点B，连接OB，交⊙O 于点C，直线CP 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两人都正确 D．两人都错误
1
C
典题精讲
如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)
B．点(2，3)
C．点(5，1)
D．点(6，1)
2
C
典题精讲
如图，已知在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC 的角平分线交AC 于D，以D 为圆心，DA 为半径作圆，与射线BD 交于点E，F.有下列结论：①△ABC 是直角三角形；②⊙D 与直线BC 相切；③点E 是线段BF 的黄金分割点；④tan ∠CDF＝2.
其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
3
A
易错提醒
如图，点O 为∠MPN 的平分线上一点，以点O 为圆心的⊙O 与PN 相切于点A. 求证：PM 为⊙O 的切线．
易错点：判定直线与圆相切时理由不充分.
易错提醒
如图，连接OA，过点O 作OB⊥PM 于点B.
∵PN 与⊙O 相切于点A，
∴OA⊥PN.
∵点O 在∠MPN 的平分线上，
OB⊥PM，
∴OB＝OA.
∴点O 到直线PM 的距离等于⊙O 的半径．
∴PM 为⊙O 的切线．
证明：
易错提醒
易错总结：
利用切线的判定定理需满足两个条件：
(1)经过半径外端，
(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”．
学以致用
小试牛刀
如图，点P 在⊙O 的直径BA 延长线上，PC 与⊙O 相切，切点为C，点D 在⊙O上，连接PD、BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
①PD 与⊙O 相切；②四边形PCBD 是菱形；
③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
其中，正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1
A
小试牛刀
如图，AB 是⊙O 的直径，线段BC 与⊙O 的交点D 是BC 的中点，DE⊥AC 于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是( )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ AC；④DE 是⊙O 的切线．
A．1 B．2
C．3 D．4
2
D
小试牛刀
3 如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC＝∠A，连接OE 并延长与圆相交于点F，与BC 相交于点C.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为6，BC＝8，
求弦BD 的长．
小试牛刀
连接OB，如图所示．
∵E 是弦BD 的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，BF＝DF＝ BD.
∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC.
∴∠OBE＋∠DBC＝90°.
∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB.
∴BC 是⊙O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝
∵△OBC 的面积＝ OC BE＝ OB BC，
∴BE＝
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD 的长为9.6.
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆．
(1)求证：AB 为半圆O 的切线；
(2)如果tan∠CAO＝ ，求cos B 的值．
小试牛刀
如图，作OM⊥AB 于点M，
∵AO 平分∠BAC，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM.
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴AB 是⊙O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
∵∠ACB＝90°，∴AC 是⊙O 的切线．∴AC＝AM.
在Rt△ACO 中，tan∠CAO＝
∴AC＝AM＝3.
设BM＝x，OB＝y，则y 2－x 2＝1①.
∵cos B＝
∴
∴x 2＋3x＝y 2＋y ②.
由①②可以得到 y＝3x－1，
(2)解：
小试牛刀
∴(3x－1)2－x 2＝1.
∴x＝ (x＝0不合题意，舍去)．
∴y＝
∴cos B＝
小试牛刀
5 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD＝BC，延长AD 到E，且有∠EBD＝∠CAB.
(1)求证：BE 是⊙O 的切线；
(2)若BC＝ ，AC＝5，求⊙O 的直径AD 及切线BE 的长．
小试牛刀
如图①，连接OB，∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD.
∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD.
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°.
∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO.
∴∠EBD＝∠ABO.
∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD
＝∠ABD＝90°.
∵点B 在⊙O上，
∴BE 是⊙O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
如图②，
设⊙O 的半径为R，连接CD 交OB 于点F，
∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°.
∵BC＝BD，∴OB⊥CD.∴OB∥AC.
∵OA＝OD，∴OF＝
∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB.
又∵∠EBD＝∠CAB，∴△EBD∽△BAC.
∴
∵∠OBE＝∠OFD＝90°，
(2)解：
小试牛刀
∴DF∥BE.
∴
∴R＝3(R＝－ 舍去)．∴AD＝2R＝6.
∴AB＝
∵
小试牛刀
6 如图，AN 是⊙M 的直径，NB∥x 轴，AB 交⊙M 于点C.
(1)若点A (0，6)，N (0，2)，∠ABN＝30°，求点B 的坐标；
(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．
小试牛刀
∵A (0，6)，N (0，2)，∴AN＝4.
∵∠ABN＝30°，又易知∠ANB＝90°，
∴AB＝2AN＝8.
∴由勾股定理得NB＝
∴B (4 ，2)．
(1)解：
小试牛刀
如图，连接MC，NC.
∵AN 是⊙M 的直径，
∴∠ACN＝90°.
∴∠NCB＝90°.
在Rt△NCB 中，D 为NB 的中点，
∴CD＝ NB＝ND.∴∠CND＝∠NCD.
∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC.
∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，
即MC⊥CD. ∴直线CD 是⊙M 的切线．
(2)证明：
课堂小结
课堂小结
切线的三种判定方法：
(1)定义；
(2)数量关系；
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．
同学们，
下节课见！
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6 直线和圆的位置关系
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.切线的性质是什么？
回顾旧知
相交、相切、相离
性质：圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言：如图所示，
∵直线l 切☉O 于T，∴OT ⊥ l.
新课精讲
探索新知
1
知识点
切线的判定定理
如图，在⊙O 中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线
l⊥OA，则圆心O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O
有什么位置关系？
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
l
O
A
探索新知
例1 如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，
BD＝OB，点C 在圆上，∠CAB＝30°.
求证：DC 是⊙O 的切线．
导引：
因为点C 在圆上，所以连接OC，
证明OC⊥CD，而要证OC⊥CD，
只需证△OCD 为直角三角形．
探索新知
证明：如图，连接OC，BC.
∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝30°，∴BC＝ AB＝OB.
又∵BD＝OB，∴BC＝BD＝OB＝ OD，
∴∠OCD＝90°.
∴DC 是⊙O 的切线．
探索新知
切线的判定方法有三种：
①直线与圆有唯一公共点；
②直线到圆心的距离等于该圆的半径；
③切线的判定定理．即
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
典题精讲
下列四个命题：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中是真命题的是( )
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1
C
典题精讲
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，下列选项中，能使过点A 的直线EF 与⊙O 相切于点A 的条件是( )
A．∠EAB＝∠C
B．∠EAB＝∠BAC
C．EF⊥AC
D．AC 是⊙O 的直径
2
A
典题精讲
如图所示，PA 与⊙O 相切于点A，PO 交⊙O 于点C，点B是优弧CA 上一点，若∠P＝26°，则∠ABC 的度数为( )
A．26°
B．64°
C．32°
D．90°
3
C
探索新知
2
知识点
切线的性质和判定的应用
如图，已知BC 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点C，AB 交⊙O 于点D，E 为AC 的中点，连接DE.
(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC 的长；
(2)求证：DE 是⊙O 的切线．
例2
(1)已知BC 是⊙O 的直径，可连接CD，构造直径
所对的圆周角，结合AD＝DB，可得AC＝BC；
(2)要证DE 是⊙O 的切线，而点D 在圆上，可联想
到连接OD，设法证DE⊥OD 即可．
导引：
探索新知
(1) 连接CD，如图.
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，
∵AD＝DB，
∴AC＝BC＝2OC＝10.
解：
探索新知
(2) 连接OD，如图.
∵∠ADC＝90°，E 为AC 的中点，
∴DE＝EC＝ AC，∴∠1＝∠2，
∵OD＝OC，∴∠3＝∠4，
∵AC 切⊙O 于点C，∴AC⊥OC，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴DE 是⊙O 的切线．
证明：
探索新知
总 结
看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：
①有切点，连半径，证垂直；
②无切点，作垂线，证相等．
典题精讲
如图，P 是⊙O 外一点，OP 交⊙O 于点A，OA＝AP.甲、乙两人想作一条过点P 且与⊙O 相切的直线，其作法如下：
甲：以点A 为圆心，AP 长为半径画弧，
交⊙O 于B 点，则直线BP 即为所求．
乙：过点A 作直线MN⊥OP，以点O 为
圆心，OP 为半径画弧，交射线AM 于
点B，连接OB，交⊙O 于点C，直线CP 即为所求．
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确
C．两人都正确 D．两人都错误
1
C
典题精讲
如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )
A．点(0，3)
B．点(2，3)
C．点(5，1)
D．点(6，1)
2
C
典题精讲
如图，已知在△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，作∠ABC 的角平分线交AC 于D，以D 为圆心，DA 为半径作圆，与射线BD 交于点E，F.有下列结论：①△ABC 是直角三角形；②⊙D 与直线BC 相切；③点E 是线段BF 的黄金分割点；④tan ∠CDF＝2.
其中正确的结论有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
3
A
易错提醒
如图，点O 为∠MPN 的平分线上一点，以点O 为圆心的⊙O 与PN 相切于点A. 求证：PM 为⊙O 的切线．
易错点：判定直线与圆相切时理由不充分.
易错提醒
如图，连接OA，过点O 作OB⊥PM 于点B.
∵PN 与⊙O 相切于点A，
∴OA⊥PN.
∵点O 在∠MPN 的平分线上，
OB⊥PM，
∴OB＝OA.
∴点O 到直线PM 的距离等于⊙O 的半径．
∴PM 为⊙O 的切线．
证明：
易错提醒
易错总结：
利用切线的判定定理需满足两个条件：
(1)经过半径外端，
(2)与这条半径垂直，这两个条件缺一不可．证明一条直线是圆的切线时，当直线和圆未明确是否有公共点时，应“作垂线，证半径”，而本题易错解为“连半径，证垂直”．
学以致用
小试牛刀
如图，点P 在⊙O 的直径BA 延长线上，PC 与⊙O 相切，切点为C，点D 在⊙O上，连接PD、BD，已知PC＝PD＝BC.下列结论：
①PD 与⊙O 相切；②四边形PCBD 是菱形；
③PO＝AB；④∠PDB＝120°.
其中，正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
1
A
小试牛刀
如图，AB 是⊙O 的直径，线段BC 与⊙O 的交点D 是BC 的中点，DE⊥AC 于点E，连接AD，则下列结论中正确的个数是( )
①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；
③OA＝ AC；④DE 是⊙O 的切线．
A．1 B．2
C．3 D．4
2
D
小试牛刀
3 如图，△ABD 是⊙O 的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点C 是⊙O 外一点且∠DBC＝∠A，连接OE 并延长与圆相交于点F，与BC 相交于点C.
(1)求证：BC 是⊙O 的切线；
(2)若⊙O 的半径为6，BC＝8，
求弦BD 的长．
小试牛刀
连接OB，如图所示．
∵E 是弦BD 的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，BF＝DF＝ BD.
∴∠BOE＝∠A，∠OBE＋∠BOE＝90°.
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC.
∴∠OBE＋∠DBC＝90°.
∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB.
∴BC 是⊙O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，
∴OC＝
∵△OBC 的面积＝ OC BE＝ OB BC，
∴BE＝
∴BD＝2BE＝9.6，
即弦BD 的长为9.6.
(2)解：
小试牛刀
4 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC 的平分线交BC于点O，OC＝1，以点O 为圆心，OC 为半径作半圆．
(1)求证：AB 为半圆O 的切线；
(2)如果tan∠CAO＝ ，求cos B 的值．
小试牛刀
如图，作OM⊥AB 于点M，
∵AO 平分∠BAC，OC⊥AC，OM⊥AB，
∴OC＝OM.
又∵OC 是⊙O 的半径，
∴AB 是⊙O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
∵∠ACB＝90°，∴AC 是⊙O 的切线．∴AC＝AM.
在Rt△ACO 中，tan∠CAO＝
∴AC＝AM＝3.
设BM＝x，OB＝y，则y 2－x 2＝1①.
∵cos B＝
∴
∴x 2＋3x＝y 2＋y ②.
由①②可以得到 y＝3x－1，
(2)解：
小试牛刀
∴(3x－1)2－x 2＝1.
∴x＝ (x＝0不合题意，舍去)．
∴y＝
∴cos B＝
小试牛刀
5 如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD＝BC，延长AD 到E，且有∠EBD＝∠CAB.
(1)求证：BE 是⊙O 的切线；
(2)若BC＝ ，AC＝5，求⊙O 的直径AD 及切线BE 的长．
小试牛刀
如图①，连接OB，∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD.
∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD.
∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°.
∵OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO.
∴∠EBD＝∠ABO.
∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD
＝∠ABD＝90°.
∵点B 在⊙O上，
∴BE 是⊙O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
如图②，
设⊙O 的半径为R，连接CD 交OB 于点F，
∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°.
∵BC＝BD，∴OB⊥CD.∴OB∥AC.
∵OA＝OD，∴OF＝
∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB.
又∵∠EBD＝∠CAB，∴△EBD∽△BAC.
∴
∵∠OBE＝∠OFD＝90°，
(2)解：
小试牛刀
∴DF∥BE.
∴
∴R＝3(R＝－ 舍去)．∴AD＝2R＝6.
∴AB＝
∵
小试牛刀
6 如图，AN 是⊙M 的直径，NB∥x 轴，AB 交⊙M 于点C.
(1)若点A (0，6)，N (0，2)，∠ABN＝30°，求点B 的坐标；
(2)若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．
小试牛刀
∵A (0，6)，N (0，2)，∴AN＝4.
∵∠ABN＝30°，又易知∠ANB＝90°，
∴AB＝2AN＝8.
∴由勾股定理得NB＝
∴B (4 ，2)．
(1)解：
小试牛刀
如图，连接MC，NC.
∵AN 是⊙M 的直径，
∴∠ACN＝90°.
∴∠NCB＝90°.
在Rt△NCB 中，D 为NB 的中点，
∴CD＝ NB＝ND.∴∠CND＝∠NCD.
∵MC＝MN，∴∠MCN＝∠MNC.
∵∠MNC＋∠CND＝90°，∴∠MCN＋∠NCD＝90°，
即MC⊥CD. ∴直线CD 是⊙M 的切线．
(2)证明：
课堂小结
课堂小结
切线的三种判定方法：
(1)定义；
(2)数量关系；
(3)位置关系(切线的判定定理)：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在切线的三种判定方法中，常用的是后两种判定方法，在判定圆的切线时，往往需要添加辅助线．
同学们，
下节课见！
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