【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.8圆内接正多边形【优质课件】

(共45张PPT)
8 圆内接正多边形
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆内接正多边形及相关定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
正n 边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为：
探索新知
如图，在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径OC = 4， OG丄BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.
例1
探索新知
解：
连接OD. ∵六边形ABCDEF 为正六边形，
∴ ∠ COD = = 60°
∴ △COD 为等边三角形.
∴ CD = OC = 4.
在 Rt △ COG 中，OC = 4，CG= BC= ×4=2，
∴ OG =
∴正六边形的中心角为60°，边长为4，边心距为
探索新知
如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
求证：五边形ABCDE 是正五边形．
例2
导引：
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出
利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到
，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.
探索新知
解：
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A 对 ，
圆周角∠B 对 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴BC＝AE. 同理可证其余各边都相等．
∴五边形ABCDE 是正五边形．
探索新知
下列说法不正确的是(　　)
A．等边三角形是正多边形
B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
C．菱形不一定是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
例3
导引：
等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说法不正确. 答案：D
D
探索新知
总 结
正多边形的识别要从两个角度去看，
一是边都相等；
二是内角都相等．
典题精讲
分别求出半径为6 cm的圆内接正三角形的边长和边心距.
1
解：
设正六边形DFHKGE 的中心为O，连接OH，OK，则△OHK 为等边三角形．
由题意可得OH＝HK＝ BC＝2，∠OHK＝60°，∴S△OHK＝ HK · OH sin 60°
＝ ×2×2× ＝ .
又∵S正六边形＝6S△OHK，∴S正六边形＝6× ＝6 .
典题精讲
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(　　)
A．两角互余 B．两角互补
C．两角互余或互补 D．不能确定
2
3
A
B
典题精讲
若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(　　)
A． B．
C． D．1
4
A
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是(　　)
A．1∶ B．1∶2
C．2∶3 D．2∶π
5
B
典题精讲
正六边形ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是(　　)
A．
B. 2
C．
D．
6
B
典题精讲
如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若直线PA 与⊙O 相切于点A，则∠PAB 等于(　　)
A．30°
B．45°
C．150°
D．30°或150°
7
A
探索新知
2
知识点
圆内接正多边形的画法
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以，在半径为R 的圆上，依次截取等于R 的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形.
探索新知
作一个正三角形，使其半径为0.9 cm.
例4
导引：
先作出一个半径为0.9 cm的圆，再用量角器画出中心角为120°的角(2个)，依次连接与圆的交点即可；或将圆六等分，再依次连接相隔一个的等分点即可．
探索新知
解：
作法一：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)用量角器画∠AOB ＝∠BOC ＝120°；
(3)连接 AB，BC，CA.则△ABC 为所求作的正三角形，如图所示．
探索新知
作法二：
(1)作半径为0.9 cm的⊙O；
(2)作⊙O 的任一直径AB；
(3)分别以A，B 为圆心，以0.9 cm为半径作弧，交⊙O 于点C，F 和D，E；(4)连接AD，DE，EA.则△ADE 为所求作的正三角形，如图所示．
探索新知
总 结
解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．
探索新知
用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
例5
O
.
探索新知
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD 都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD 为⊙O 的内接正方形.
典题精讲
如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D 为圆心，OD 长为半径画圆弧，交⊙O 于B，C 两点；
(2)连接AB，BC，AC.△ABC 即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD 的中垂线，交⊙O 于B，C 两点；
(2)连接AB，AC.△ABC 即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
1
C
典题精讲
在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
2
解：
如图所示．
(答案不唯一)
易错提醒
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(　　)
A．2 B. C．1 D.
A
易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.
易错提醒
错解：B
诊断：
设正多边形的边数为n. 因为正多边形的内角和为(n－2)·180°，正多边形的外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错选B.
学以致用
小试牛刀
以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　)
A. B. C. D.
1
D
小试牛刀
如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　)
A．R 2－r 2＝a 2
B．a＝2R sin 36°
C．a＝2r tan 36°
D．r＝R cos 36°
2
A
小试牛刀
3 如图，点G，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG 交BH 于点P.
(1)求证：△ABG ≌ △BCH；
(2)求∠APH 的度数．
小试牛刀
∵六边形ABCDEF 为正六边形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°.
在△ABG 与△BCH 中，
AB＝BC，
∠ABC＝∠C，
BG＝CH，
∴△ABG ≌ △BCH.
(1)证明：
由(1)知△ABG ≌ △BCH，
∴∠BAG＝∠HBC.
∴∠APH＝∠ABP＋∠BAG＝∠ABP＋∠HBC＝∠ABC＝120°.
(2)解：
小试牛刀
4 作图与证明：
如图，已知⊙O 和⊙O 上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF；
(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF 的形状并加以证明．
小试牛刀
(1)如图①，首先作直径AD，然后分别以A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，分别交⊙O 于点B，F，C，E，连接AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形ABCDEF 即为所求．
解：
小试牛刀
(2)四边形BCEF 是矩形．
证明：如图②，连接OE.
∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴AB＝AF＝DE＝DC，FE＝BC.
∴AB＝AF＝DE＝DC.
∴BF＝CE.
∴BF＝CE.
∴四边形BCEF 是平行四边形．
小试牛刀
∵∠EOD＝ ＝60°，OE＝OD，
∴△EDO 是等边三角形．
∴∠OED＝∠ODE＝60°.
∴∠EDC＝∠FED＝2∠ODE＝120°.
又∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°.
∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°.
∴四边形BCEF 是矩形．
小试牛刀
5 如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB＝AD，∠C＝120°，点E 在AD 上．
(1)求∠AED 的度数；
(2)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE 恰好是⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．
小试牛刀
(1)如图，连接BD.
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD＋∠C＝180°.
∵∠C＝120°，∴∠BAD＝60°.
又∵AB＝AD，∴△ABD 是等边三角形．
∴∠ABD＝60°.
∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AED＋∠ABD＝180°.
∴∠AED＝120°.
解：
小试牛刀
(2)如图，连接OA.∵∠ABD＝60°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝120°.
又∵∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝30°，
∴n＝ ＝12.
小试牛刀
6 如图①②③④分别是⊙O 的内接正三角形、正四边形、正五边形、正n 边形，点M，N 分别从点B，C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动，AM 与BN 相交于点P.
小试牛刀
(1)图①中，∠APN＝________；
(2)图②中，∠APN＝________，
图③中，∠APN＝________；
(3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系(直接写答案)．
60°　
90°
108°
解：
课堂小结
课堂小结
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
把一个圆n (n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得到一个正n 边形. 我们把这个正n 边形叫做圆的内接正n 边形.
同学们，
下节课见！
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