【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.7切线长定理【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.7切线长定理【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 08:56:33 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
7 切线长定理
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O 和⊙O 外一点P，你能够过点P 画出⊙O 的切线吗？
1.猜想：图中的线段PA 与PB 有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
新课精讲
探索新知
1
知识点
切线长定理
P
B
C
O
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.
思考：切线长和切线的区别和联系？
探索新知
归 纳
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.
探索新知
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
P
A
B
O
请你们结合图形用数学语言表达定理
PA、PB 分别切⊙O 于A、B，连结PO
PA = PB
∠OPA=∠OPB
探索新知
如图 ，在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=10, BC=24， ⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O 的半径.
例1
探索新知
解：
连接OD，OE，OF，则OD =OE=OF,设OD=r.
在△ABC 中，AC=10， BC=24，
∴AB = = 26.
∵ ⊙O 分别与AB，BC，AC 相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE ⊥ BC，OF ⊥ AC，BD = BE，
AD = AF，CE=CF.
探索新知
又∵ ∠ C=90°,
∴四边形OECF 为正方形.
∴ CE=CF=r.
∴ BE = 24-r， AF=10-r.
∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r + 10-r = 34-2r.
而AB = 26，
∴ 34 -2r = 26.
∴ r = 4，
即⊙O 的半径为4.
典题精讲
已知⊙O 的半径为3 cm，点P 和圆心O 的距离为
6 cm. 过点P 画⊙O 的两条切线，
求这两条切线的切线长.
如图，PA，PB 为⊙O 的切线．
由题意可知OA＝3 cm，PO＝6 cm，OA⊥PA，∴PA＝ (cm)．
又由切线长定理知PA＝PB，
∴PB＝33 cm.
解：
典题精讲
2 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
典题精讲
如图，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是( )
A．PA＝PB
B．OP 垂直平分AB
C．∠OPA＝∠OPB
D．PA＝AB
3
D
典题精讲
如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
4
C
探索新知
2
知识点
切线长定理的应用
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A，B，BC 为⊙O 的直径，连接AB，AC，OP.
求证：
(1)∠APB＝2∠ABC；
(2)AC∥OP.
例2
探索新知
(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也
可用同位角相等来证．
导引：
探索新知
(1)∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B，
∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
PA＝PB，
∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.
又∵PB 是⊙O 的切线，∴OB⊥PB.
∴∠ABP＋∠ABC＝90°.
∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，
即∠APB＝2∠ABC.
证明：
探索新知
(2)∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.
由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
探索新知
总 结
切线长定理的内容揭示两个方面：
一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；
二是与圆心的连线平分两切线的夹角．
这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了大量的条件．
典题精讲
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若P 为切点，测得PA＝5 cm，则铁环的半径是________．
1
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M，切点为N，则DM 的长为( )
B.
C. D.
2
A
典题精讲
如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP 交⊙O 于点C，点D 是优弧AC上不与点A、点C 重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
3
C
典题精讲
如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C 是劣弧AB 上一点，过点C 的切线分别交PA，PB 于点M，N，若⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则△PMN 的周长为( )
A．4
B．6
C．4
D．6
4
C
易错提醒
既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．矩形或菱形
C
易错点：变式应用切线长定理时因考虑不全而致错.
学以致用
小试牛刀
如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点，CD 切⊙O 于点E，AD 与CD 相交于点D，BC 与CD 相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD 2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝ CD · OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是( )
A．①②⑤
B．②③④
C．③④⑤
D．①④⑤
1
A
小试牛刀
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝25°
C．∠OBP＝65°
D．∠AOP＝65°
2
C
小试牛刀
3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D，点E 是BD 的中点，连接CE.
(1)求证：CE 是⊙O 的切线；
(2)若AC＝4，BC＝2，求BD 和CE 的长．
小试牛刀
如图，连接OC.
∵BD 是⊙O 的切线，
∴∠ABD＝90°.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°.
∵点E 是BD 的中点，
∴CE＝ BD＝BE.
∴∠BCE＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABC＝90°，
(1)证明：
小试牛刀
∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠A.
∴∠BCE＝∠A.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.
∴∠ACO＝∠BCE.
∴∠BCE＋∠BCO＝90°，
即∠OCE＝90°.
∴CE⊥OC.∴CE 是⊙O 的切线．
小试牛刀
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝
∵tan A＝
∴BD＝
(2)解：
小试牛刀
4 如图，⊙O 与Rt△ABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C，D，与边BC 相交于点F，OA 与CD 相交于点E，连接FE 并延长交AC 边于点G.
(1)求证：DF∥AO；
(2)若AC＝6，AB＝10，求CG 的长．
小试牛刀
如图，连接OD.
∵AB 与⊙O 相切于点D，AC 与⊙O 相切于点C，
∴AC＝AD.∵OC＝OD，
∴OA 是线段CD 的垂直平分线．
∴OA⊥CD.
易知CF 是⊙O 的直径，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO.
(1)证明：
小试牛刀
如图，过点E 作EM⊥OC 于M，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝
∵AD＝AC＝6，
∴BD＝AB－AD＝4.
易证△BDF∽△BCD，
∴
∴BF＝
(2)解：
小试牛刀
∴CF＝BC－BF＝6，OC＝OF＝ CF＝3.
∴OA＝
易证OC 2＝OE OA，∴OE＝ ∵EM∥AC，
∴
∴OM＝ ，EM＝
∴FM＝OF＋OM＝
易知
∴CG＝
小试牛刀
5 已知：AB 为⊙O 的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD 与BE 相交于点C，弦DE 在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O 的切线DF 交BC 于点F.
(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；
(2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等，并说明理由．
小试牛刀
如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.
∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.
∴△ODE 是等边三角形．
∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.
∴△AOD 和△BOE 是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.
(1)证明：
小试牛刀
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.
∴△CDE 是等边三角形．
∵DF 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DF.
∴∠EDF＝90°－60°＝30°.
∴∠DFE＝90°.
∴DF⊥CE.
∴CF＝EF.
小试牛刀
相等．理由如下：
当点E 运动至与点B 重合时，BC 是⊙O 的切线，
∵⊙O 的切线DF 交BC 于点F，
∴BF＝DF.
∴∠BDF＝∠DBF.
∵AB 是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∴∠FDC＝∠C.
∴DF＝CF.
∴BF＝CF.
(2)解：
课堂小结
课堂小结
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
同学们，
下节课见！
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7 切线长定理
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知⊙O 和⊙O 外一点P，你能够过点P 画出⊙O 的切线吗？
1.猜想：图中的线段PA 与PB 有什么关系？
2.图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？
新课精讲
探索新知
1
知识点
切线长定理
P
B
C
O
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长.
思考：切线长和切线的区别和联系？
探索新知
归 纳
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量.
探索新知
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
P
A
B
O
请你们结合图形用数学语言表达定理
PA、PB 分别切⊙O 于A、B，连结PO
PA = PB
∠OPA=∠OPB
探索新知
如图 ，在 Rt△ABC 中， ∠C=90°，AC=10, BC=24， ⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O 的半径.
例1
探索新知
解：
连接OD，OE，OF，则OD =OE=OF,设OD=r.
在△ABC 中，AC=10， BC=24，
∴AB = = 26.
∵ ⊙O 分别与AB，BC，AC 相切于点D，E，F，
∴OD⊥AB，OE ⊥ BC，OF ⊥ AC，BD = BE，
AD = AF，CE=CF.
探索新知
又∵ ∠ C=90°,
∴四边形OECF 为正方形.
∴ CE=CF=r.
∴ BE = 24-r， AF=10-r.
∴ AB = BD + AD = BE+AF =24-r + 10-r = 34-2r.
而AB = 26，
∴ 34 -2r = 26.
∴ r = 4，
即⊙O 的半径为4.
典题精讲
已知⊙O 的半径为3 cm，点P 和圆心O 的距离为
6 cm. 过点P 画⊙O 的两条切线，
求这两条切线的切线长.
如图，PA，PB 为⊙O 的切线．
由题意可知OA＝3 cm，PO＝6 cm，OA⊥PA，∴PA＝ (cm)．
又由切线长定理知PA＝PB，
∴PB＝33 cm.
解：
典题精讲
2 下列说法正确的是( )
A．过任意一点总可以作圆的两条切线
B．圆的切线长就是圆的切线的长度
C．过圆外一点所画的圆的两条切线长相等
D．过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径
C
典题精讲
如图，PA 切⊙O 于A，PB 切⊙O 于B，连接OP，AB.下列结论不一定正确的是( )
A．PA＝PB
B．OP 垂直平分AB
C．∠OPA＝∠OPB
D．PA＝AB
3
D
典题精讲
如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P＝40°，则∠ACB 的大小是( )
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
4
C
探索新知
2
知识点
切线长定理的应用
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A，B，BC 为⊙O 的直径，连接AB，AC，OP.
求证：
(1)∠APB＝2∠ABC；
(2)AC∥OP.
例2
探索新知
(1)由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
而要证∠APB＝2∠ABC，即证明∠ABC＝
∠APB＝∠BPO，利用同角的余角相等可证；
(2)证明AC∥OP，可用AC⊥AB，OP⊥AB，也
可用同位角相等来证．
导引：
探索新知
(1)∵PA，PB 分别切⊙O 于点A，B，
∴由切线长定理知∠BPO＝∠APO＝ ∠APB，
PA＝PB，
∴PO⊥AB，∴∠ABP＋∠BPO＝90°.
又∵PB 是⊙O 的切线，∴OB⊥PB.
∴∠ABP＋∠ABC＝90°.
∴∠ABC＝∠BPO＝ ∠APB，
即∠APB＝2∠ABC.
证明：
探索新知
(2)∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB.
由(1)知OP⊥AB，∴AC∥OP.
探索新知
总 结
切线长定理的内容揭示两个方面：
一是切线长相等，揭示线段之间的数量关系；
二是与圆心的连线平分两切线的夹角．
这两个方面的内容为证明线段之间的关系或者角之间的关系提供了大量的条件．
典题精讲
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个含有30°角的三角尺和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若P 为切点，测得PA＝5 cm，则铁环的半径是________．
1
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC 分别与⊙O 相切于E，F，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M，切点为N，则DM 的长为( )
B.
C. D.
2
A
典题精讲
如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP 交⊙O 于点C，点D 是优弧AC上不与点A、点C 重合的一个动点，连接AD，CD.若∠APB＝80°，则∠ADC 的度数是( )
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
3
C
典题精讲
如图，从⊙O 外一点P 引圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，点C 是劣弧AB 上一点，过点C 的切线分别交PA，PB 于点M，N，若⊙O 的半径为2，∠P＝60°，则△PMN 的周长为( )
A．4
B．6
C．4
D．6
4
C
易错提醒
既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．矩形或菱形
C
易错点：变式应用切线长定理时因考虑不全而致错.
学以致用
小试牛刀
如图，AB 为半圆O 的直径，AD，BC 分别切⊙O 于A，B 两点，CD 切⊙O 于点E，AD 与CD 相交于点D，BC 与CD 相交于点C，连接OD，OC，对于下列结论：①OD 2＝DE·CD；②AD＋BC＝CD；③OD＝OC；④S梯形ABCD＝ CD · OA；⑤∠DOC＝90°.其中正确的结论是( )
A．①②⑤
B．②③④
C．③④⑤
D．①④⑤
1
A
小试牛刀
如图，PA，PB 是⊙O 的切线，且∠APB＝50°，下列结论不正确的是( )
A．PA＝PB
B．∠APO＝25°
C．∠OBP＝65°
D．∠AOP＝65°
2
C
小试牛刀
3 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D，点E 是BD 的中点，连接CE.
(1)求证：CE 是⊙O 的切线；
(2)若AC＝4，BC＝2，求BD 和CE 的长．
小试牛刀
如图，连接OC.
∵BD 是⊙O 的切线，
∴∠ABD＝90°.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°.
∵点E 是BD 的中点，
∴CE＝ BD＝BE.
∴∠BCE＝∠CBE.
∵∠CBE＋∠ABC＝90°，
(1)证明：
小试牛刀
∠A＋∠ABC＝90°，∴∠CBE＝∠A.
∴∠BCE＝∠A.
∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A.
∴∠ACO＝∠BCE.
∴∠BCE＋∠BCO＝90°，
即∠OCE＝90°.
∴CE⊥OC.∴CE 是⊙O 的切线．
小试牛刀
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝
∵tan A＝
∴BD＝
(2)解：
小试牛刀
4 如图，⊙O 与Rt△ABC 的直角边AC 和斜边AB 分别相切于点C，D，与边BC 相交于点F，OA 与CD 相交于点E，连接FE 并延长交AC 边于点G.
(1)求证：DF∥AO；
(2)若AC＝6，AB＝10，求CG 的长．
小试牛刀
如图，连接OD.
∵AB 与⊙O 相切于点D，AC 与⊙O 相切于点C，
∴AC＝AD.∵OC＝OD，
∴OA 是线段CD 的垂直平分线．
∴OA⊥CD.
易知CF 是⊙O 的直径，
∴∠CDF＝90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO.
(1)证明：
小试牛刀
如图，过点E 作EM⊥OC 于M，
∵AC＝6，AB＝10，
∴BC＝
∵AD＝AC＝6，
∴BD＝AB－AD＝4.
易证△BDF∽△BCD，
∴
∴BF＝
(2)解：
小试牛刀
∴CF＝BC－BF＝6，OC＝OF＝ CF＝3.
∴OA＝
易证OC 2＝OE OA，∴OE＝ ∵EM∥AC，
∴
∴OM＝ ，EM＝
∴FM＝OF＋OM＝
易知
∴CG＝
小试牛刀
5 已知：AB 为⊙O 的直径，AB＝2，弦DE＝1，直线AD 与BE 相交于点C，弦DE 在⊙O上运动且保持长度不变，⊙O 的切线DF 交BC 于点F.
(1)如图①，若DE∥AB，求证：CF＝EF；
(2)如图②，当点E 运动至与点B 重合时，试判断CF 与BF 是否相等，并说明理由．
小试牛刀
如图，连接OD，OE.
∵AB＝2，∴OA＝OD＝OE＝OB＝1.
∵DE＝1，∴OD＝OE＝DE.
∴△ODE 是等边三角形．
∴∠ODE＝∠OED＝60°.
∵DE∥AB，
∴∠AOD＝∠ODE＝60°，∠EOB＝∠OED＝60°.
∴△AOD 和△BOE 是等边三角形．
∴∠OAD＝∠OBE＝60°.
(1)证明：
小试牛刀
∴∠CDE＝∠OAD＝60°，∠CED＝∠OBE＝60°.
∴△CDE 是等边三角形．
∵DF 是⊙O 的切线，
∴OD⊥DF.
∴∠EDF＝90°－60°＝30°.
∴∠DFE＝90°.
∴DF⊥CE.
∴CF＝EF.
小试牛刀
相等．理由如下：
当点E 运动至与点B 重合时，BC 是⊙O 的切线，
∵⊙O 的切线DF 交BC 于点F，
∴BF＝DF.
∴∠BDF＝∠DBF.
∵AB 是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
∴∠FDC＝∠C.
∴DF＝CF.
∴BF＝CF.
(2)解：
课堂小结
课堂小结
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
同学们，
下节课见！
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