【班海精品】北师大版（新）九年级下-3.9弧长及扇形的面积【优质课件】

(共54张PPT)
9 弧长及扇形的面积
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？
下面我们就来学习本节内容.
新课精讲
探索新知
1
知识点
弧长公式
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A
被传送多少厘米？
(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被
传送多少厘米？
(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？
探索新知
归 纳
在半径为R 的圆中， n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为：
l=__________________.
探索新知
（1）半径为R 的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1° 圆心角所对的弧长是多少？
（4）n° 圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？
（5）n° 圆心角所对的弧长是多少？
（1）C =2πR
（2）360°
（3）
（4）n 倍
（5）
也可以用ABl 表示AB 的长.
n°
o
⌒
⌒
探索新知
1．弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
2．易错警示：在弧长公式 l＝ 中，n 表示1° 的n
倍，180表示1° 的180倍，n，180不带单位．
探索新知
制作弯形管道时，需要先按中心线计算 “展直长度”再下料.试计算如图所示的管道 的展直长度，即 的长（结果精确到0.1 mm).
例1
解：
R= 40mm，n = 110，所以
的长= 76.8 (mm).
因此，管道的展直长度约为76.8 mm.
探索新知
如图，⊙O 的半径为6 cm，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，则劣弧BC 的长为________．
例2
导引：
由切线性质可知∠OBA＝90°.因为∠A＝30°，所以
∠BOA＝60°，因为BC∥AO，所以∠CBO＝60°.又因
为OB＝OC，所以△OBC 为等边三角形，所以∠BOC＝60°，代入公式l＝ ＝2π(cm)．
2π cm
探索新知
总 结
求弧长需要两个条件：
(1)弧所在圆的半径；
(2)弧所对的圆心角．
当题中没有直接给出这两个条件时，则需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角、切线等求出圆的半径或弧所对的圆心角．
典题精讲
如图，某田径场的周长(内圈)为400 m，其中两个弯道内圈(半圆形)共长200 m，直线段共长200 m，而每条跑道宽约1 m (共6条跑道).
(1) 内圈弯道半径为多少米？(结果精确到0.1 m)
一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差多少米？(结果精确到0.1 m)
1
典题精讲
解：
(1)设内圈弯道的半径为r m．由题意知 ×2πr＝100.
解得r ≈31.8.∴内圈弯道的半径约为31.8 m.
(2)设外圈弯道的半径为R m．
∵共有6条跑道，故外圈弯道的半径R＝
∴一个外圈弯道的弧长为
×2πR＝πR＝π ＝(100＋6π)(m)．
∴一个内圈弯道与一个外圈弯道的长相差约
100＋6π－100＝6π≈18.8(m)．
典题精讲
在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
2
B
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则BC 的长等于(　　)
A. B.
C. D.
3
︵
A
典题精讲
如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则BD 的长为(　　)
A．π
B. π
C．2π
D．3π
4
︵
C
典题精讲
如图，在 ABCD 中，∠B＝70°，BC＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E，则DE 的长为(　　)
A. π
B. π
C. π
D. π
5
︵
B
探索新知
2
知识点
扇形面积公式
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着 一条长
3 m的绳子，绳子的另一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗只能绕柱子转过n°角，
那么它的最大活动区域有多大？
探索新知
1.半径为R 的圆，面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
1. S=πR 2
2. 360°
3.
若设⊙O 半径为R， n°的圆
心角所对的扇形面积为S，则
A
B
O
思考1：
探索新知
思考2：扇形面积的大小与哪些因素有关系？
扇形面积的大小与扇形的半径和圆心角有关.
探索新知
比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：
其中l 为扇形的弧长，R 为半径.
探索新知
扇形AOB 的半径为12 cm， ∠ AOB=120°，求
的长(结果精确到 0.1 cm)和扇形AOB 的面积(结果精
确到0.1 cm2).
例3
解：
的长= 25.1 ( cm).
S扇形= 150.7 (cm2 ).
因此， 的长约为25.1 cm，扇形AOB 的面积约为150.7 cm2.
探索新知
如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为(　　)
A．6　　　　
B．7　　　　
C．8　　　　
D．9
例4
D
探索新知
导引：
由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用
扇形的面积公式：S扇形DAB＝ lR，计算即可．
由条件可知：扇形的弧DCB 的长就是正方形的边BC 与
CD 长的和，为6，半径为3，则S扇形＝ ×6×3＝9.
探索新知
总 结
扇形的面积计算有两个公式：
1.当已知扇形的圆心角时，用公式S扇形＝ 较为简便；
2.当知道扇形的弧长时，用公式S扇形＝ lR 较为简便．
探索新知
如图，在⊙O 中，弦BC 垂直于半径OA，垂足为点E，D 是优弧BC 上的一点，∠ADB＝30°.
(1)求∠AOC 的度数；
(2)若弦BC＝6，求图中阴影部分的面积．
例5
探索新知
导引：
(1)根据垂径定理得到相等的弧，再由同圆或等圆中，
弧、圆心角、圆周角之间的关系求得∠AOC 的度数；
(2)先求出⊙O 的半径，再求出圆心角∠BOC 的度数，
利用面积差求出阴影部分的面积．
探索新知
解：
(1)∵弦BC 垂直于半径OA，∴BE＝CE， .
又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.
(2)∵BC＝6，∴CE＝ BC＝3.
在Rt△OCE 中，∠OCE＝30°，
设OE＝x，则OC＝2x，CE＝ x＝3，解得x＝ .
∴OE＝ ，OC＝2 . ∵ ，
∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴S阴影＝S扇形OBC－S△OBC
＝ ×π×(2 )2－ ×6× ＝4π－3 .
探索新知
总 结
本例中求弓形面积可转化为两个规则的基本图形(扇形、三角形)面积的差来解决．将所求面积转化为其他几个规则图形面积的和或差，是求阴影面积最常用的方法．
典题精讲
如图，水平放置的一个油管的横截面半径为12 cm，
其中有油的部分油面高 6cm，求截面上有油部分的
面积(结果精确到0.1 cm2).
1
.
0
A
B
典题精讲
解：
如图，连接OA，OB. 设OC⊥AB 于点C，交圆O 于点D.
∵CD＝6 cm，OD＝OA＝12 cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC 中，
AC＝
∴AB＝12 cm，cos ∠COA＝
∴∠COA＝60°. ∴∠AOB＝120°.
∴截面上有油部分的面积为S扇形AOB－S△AOB
＝ ≈88.4(cm2)．
典题精讲
如图，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．2＋π
B．2＋2π
C．4＋π
D．2＋4π
2
A
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，BT 是⊙O 的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是(　　)
A．2　　　
B. π　　　
C．1　　　
D. π
3
C
典题精讲
如图，正方形ABCD 内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．π＋1
B．π＋2
C．π－1
D．π－2
4
D
易错提醒
已知AB 所对的圆周角为30°，AB 所在圆的半径为30 cm，求AB 的长．
∵AB 所对的圆周角为30°，
∴AB 所对的圆心角为60°，
∴AB 的长l＝ ＝10π(cm)．
︵
︵
︵
解：
︵
︵
︵
易错点：对弧长公式及扇形面积公式中的n 的意义理解不
充分而致错.
易错提醒
在公式l＝ ，S扇形＝ 中，n° 是圆心角的度数，而题干给出的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要求出圆心角的度数后再代入公式计算．本题易错解为
AB 的长＝ ＝5π (cm)．
易错总结：
︵
学以致用
小试牛刀
如图，在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E 为圆心，OA，ED 长为半径画弧AF 和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π
B.
C．3＋π
D．8－π
1
D
小试牛刀
如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使AB 和AC 都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的(　　)
A．
B.
C．
D．
2
︵
︵
B
小试牛刀
方法1 用割补法求不规则图形的面积
3 如图，AB 为半圆O 的直径，AC 是⊙O 的一条弦，D 为BC的中点，作DE⊥AC，交AB 的延长线于点F，连接DA.
(1)求证：EF 为半圆O 的切线；
(2)若DA＝DF＝6 ，求阴影区域
的面积(结果保留根号和π)．
小试牛刀
如图，连接OD，
∵D 为BC 的中点，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO.
∴∠CAD＝∠ADO.
∵DE⊥AC，∴∠E＝90°.
∴∠CAD＋∠EDA＝90°，
即∠ADO＋∠EDA＝90°.
∴OD⊥EF.∴EF 为半圆O 的切线．
(1)证明：
小试牛刀
如图，连接OC 与CD，
∵DA＝DF，
∴∠BAD＝∠F.
∴∠BAD＝∠F＝∠CAD.
又∵∠BAD＋∠CAD＋∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°.
∵OC＝OA，
∴△AOC 为等边三角形．
∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°.
(2)解：
小试牛刀
∵OD⊥EF，∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°.
在Rt△ODF 中，DF＝6 ，
∴OD＝DF tan 30°＝6.
在Rt△AED 中，DA＝6 ，∠CAD＝30°，
∴DE＝DA sin 30°＝3 ，EA＝DA cos 30°＝9.
∵∠COD＝180°－∠AOC－∠DOF＝60°，
OC＝OD，∴∠DCO＝∠ODC＝60°.
∴CD∥AB.
小试牛刀
故S△ACD＝S△COD.
∴S阴影＝S△AED－S扇形COD
小试牛刀
方法2 用变换法求不规则图形的面积
4 如图，在⊙O 中，半径OA⊥OB，过OA 的中点C 作FD∥OB 交⊙O于 D，F 两点，且CD＝ ，以O 为圆心，OC 为半径作CE，交OB 于E 点．
(1)求⊙O 的半径OA 的长；
(2)计算阴影部分的面积．
小试牛刀
(1)连接OD，∵OA⊥OB，FD∥OB，
∴∠OCD＝90°.
设OC＝a，则OA＝2a＝OD.
在△OCD 中，由勾股定理，
得CD 2＋OC 2＝OD 2，即( )2＋a 2＝4a 2，
解得a1＝1，a2＝－1(舍去)．
∴半径OA 的长为2a＝2.
解：
小试牛刀
(2)S△OCD＝ OC CD＝
在Rt△OCD 中，∵OC＝1，OD＝2，
∴∠ODC＝30°.
又∵FD∥OB，∴∠DOB＝30°.
S阴影＝S△OCD＋S扇形OBD－S扇形OCE
小试牛刀
方法3 用整体思想求扇形的面积
5 如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为(　　)
A. π B．3π
C. π D．2π　　　　　　　　　　　　　　
C
小试牛刀
方法4 用替换法求不规则图形的面积
6 如图，在边长为a 的正方形ABCD 中，以点A 为圆心、AB 为半径画弧得到扇形ABD，分别以AB，AD 为直径的两个半圆交于点E，求图中阴影部分的面积．
小试牛刀
如图，连接AE，并延长交弧BD 于点F，连接BE.
由轴对称的性质可知S扇形ABF＝S扇形ADF，
S1＝S2＝S5，S3＝S4.
∵∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴S半圆形AB＝
S扇形ABF＝
∴S半圆形AB＝S扇形ABF，
∴S1＝S4＝S2＝S3＝S5.
解：
小试牛刀
又∵S1＋S5＝S半圆形AB－S△ABE＝
∴S阴影＝S1＋S2＋S3＋S4
＝2(S1＋S5)
课堂小结
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.弧长的计算公式l＝ 并运用公式进行计算.
2.扇形的面积公式S＝ 并运用公式进行计算.
3.弧长l 及扇形的面积S 之间的关系，
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）