【班海精品】北师大版（新）九年级下-1.1锐角三角函数 第二课时【优质课件】

(共43张PPT)
1 锐角三角函数
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A， 即tan A＝
A
B
C
∠A 的对边a
┌
斜边c
∠A 的邻边b
新课精讲
探索新知
1
知识点
正 弦
正弦：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的对
边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sin A，即
sin A＝
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC =200，
sinA= 0.6, 求BC 的长.
在Rt△ABC 中，
∵
即
∴BC =200×0.6=120.
解：
A
B
C
┌
典题精讲
把Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值(　　)
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
A
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A 的值为(　　)
A. B.
C. D.
B
典题精讲
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α 的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
C
探索新知
2
知识点
余弦
余弦：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 的邻
边与斜边的比叫做∠A 的余弦，
记作cos A，即cos A＝
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝
∴sin A＝ cos A＝
探索新知
例2 如图，在Rt△ABC 中，
∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
导引：在Rt△ABC 中，已知两直角边长，可先用勾股定理求
斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A 的值．
探索新知
总 结
在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往往借助勾股定理进行求解．
探索新知
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ BC＝40，
求△ABC 的周长和面积．
已知BC＝40，求△ABC 的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin A 的值可求出AB 的长，再
利用勾股定理求出AC 的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边
长乘积的一半．
导引：
探索新知
解：∵sin A＝ ∴AB＝
∵BC＝40，sin A＝ ，∴AB＝50.
又∵AC＝
∴△ABC 的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC 的面积为 BC·AC＝ ×40×30＝600.
探索新知
总 结
正弦的定义表达式sin A＝ 可根据解题需要变形为
BC＝AB sin A 或AB＝
余弦的定义表达式cos A＝ 也可变形为
AC＝AB cos A 或AB＝ .
典题精讲
如图，已知在Rt△ABC 中，∠C＝ 90°，AB＝5，BC＝3，则cos B 的值是(　　)　
A.
B.
C.
D.
A
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
A
典题精讲
已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果BC＝2，
∠A＝α，则AC 的长为(　　)
A．2sin α
B．2cos α
C．2tan α
D.
D
典题精讲
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么
cos α 的值是(　　)
　 A. B.
C. D.
D
探索新知
3
知识点
锐角三角函数的取值范围
锐角三角函数的取值范围：
在Rt△ABC 中，因为各边边长都是正数，且斜边边长
大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A＞0，
0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
探索新知
例4 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
求∠A，∠B 的三角函数值．
由已知AC 与BC 的长可确定∠A 与∠B 的正切，但要
确定∠A 与∠B 的正弦与余弦，根据定义必须确定
斜边AB 的长，这就需要先用勾股定理计算AB 的长．
导引：
探索新知
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5.
∴sin A＝ cos A＝
tan A＝ sin B＝
cos B＝ tan B＝
解：
探索新知
总 结
求一个直角三角形中锐角的三角函数值时，
①若已知两边长，先根据勾股定理求第三边长，然后根
据概念直接求；
②若已知两边的比，则设辅助未知数表示出两边长，然
后再用方法①求．
典题精讲
若α 是锐角，sin α＝3m－2，则m 的取值范围是(　　)
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D．m＞
如果0°＜∠A＜90°，并且cos A 是方程
(x－0.35)＝0的一个根，那么cos A＝_______．
A
0.35
易错提醒
已知x＝cos α (α 为锐角)满足方程2x 2－5x＋2＝0，求cos α 的值．
易错点：忽视锐角的余弦值的取值范围.
方程2x 2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
∵0＜cos α＜1，∴cos α＝
常见错解：方程2x 2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝
此时忽略了cos α (α 为锐角)的取值范围是0＜cos α＜1，而错得cos α＝2或cos α＝
解：
学以致用
小试牛刀
如图，在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°， AD⊥BC 于点D，
则下列结论不正确的是(　　)
A．sin B＝
B．sin B＝
C．sin B＝
D．sin B＝
C
小试牛刀
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝ ，
则斜边上的高等于(　　)
A. B.
C. D.
B
小试牛刀
3 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE.
(1)求证：△ABE ≌ △DFA；
(2)如果AD＝10，AB＝6，求sin ∠EDF 的值．
小试牛刀
(1) 在矩形ABCD 中，BC＝AD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE，AE＝BC，
∴∠AFD＝90°＝∠B，AE＝AD.
∴△ABE ≌ △DFA (AAS)．
证明：
小试牛刀
(2)由(1)知△ABE ≌ △DFA，∴AB＝DF＝6.
在Rt△ADF 中，AF＝
∴EF＝AE－AF＝AD－AF＝2.
在Rt△DFE 中，DE＝
∴sin ∠EDF＝
解：
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，sin A＝ ，BC＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E.求：
(1)线段CD 的长；
(2)cos∠ABE 的值．
小试牛刀
(1)在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，
sin A＝ ∴AB＝10.
∵D 是AB 的中点，∴CD＝ AB＝5.
(2)在Rt△ABC 中，∵AB＝10，BC＝8，
∴AC＝ ∵D 是AB 的中点，
∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC. ∴S△BDC＝ S△ABC，
即 CD BE＝ × AC BC.∴BE＝
在Rt△BDE 中，cos∠DBE＝
即cos∠ABE＝
解：
小试牛刀
5 在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是a，b，c，其中a，b 是关于x 的一元二次方程x 2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，且9c＝25a sin A.
(1)试判断△ABC 的形状；
(2)求△ABC 的三边长．
小试牛刀
(1)∵a，b 是关于x 的一元二次方程x 2－(c＋4)x＋4c＋8＝0的两个根，
∴a＋b＝c＋4，ab＝4c＋8.
∴a 2＋b 2＝(a＋b)2－2ab＝(c＋4)2－2(4c＋8)，
即a 2＋b 2＝c 2.
∴△ABC 为直角三角形．
∵(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝(c＋4)2－4(4c＋8)＝c 2－8c－ 16，不能确定(a－b)2的值是否为0，
∴不能确定a＝b，即△ABC 为直角三角形．
解：
小试牛刀
(2)∵△ABC 是直角三角形，
∴sin A＝
将其代入9c＝25a sin A，得9c＝25a
∴9c 2＝25a 2. ∴3c＝5a.
∴c＝
∴b＝
将b＝ c＝ 代入a＋b＝c＋4，解得a＝6.
∴b＝ ×6＝8，c＝ ×6＝10，
即△ABC 的三边长分别为6，8，10.
小试牛刀
6 如图，E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠得△BFE，点F 落在边AD 上．
(1)求证：△ABF∽△DFE；
(2)若sin∠DFE＝ ，求tan∠EBC 的值．
小试牛刀
(1) 由题意可得∠A＝∠D＝∠C＝∠BFE＝90°，
∴∠ABF＝90°－∠AFB，∠DFE＝180°－∠BFE－∠AFB＝90°－∠AFB.
∴∠ABF＝∠DFE.
∴△ABF∽△DFE.
证明：
小试牛刀
(2)由折叠可得FB＝BC，EF＝EC.
∵sin∠DFE＝13，
即EF＝3DE. ∴AB＝CD＝DE＋EC＝DE＋EF＝4DE，DF＝
∵△ABF∽△DFE，∴
即FB＝
又∵FB＝BC，EF＝EC，
∴tan ∠EBC＝
解：
课堂小结
课堂小结
锐角三角函数定义：
A
B
C
∠A 的对边a
┌
斜边c
∠A 的邻边b
锐角三角函数的取值范围：
对于锐角A，有tan A＞0，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
同学们，
下节课见！
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