【班海精品】北师大版（新）九年级下-1.1锐角三角函数 第一课时【优质课件】

(共45张PPT)
1 锐角三角函数
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
梯子是我们日常生活中常见的物体.
在图1-1中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
你有几种判断方法？
情景导入
(2)在图1-2中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
新课精讲
探索新知
1
知识点
正切的定义
想一想
如图1-3，小明想通过测量
B1C1及AC1，算出它们的比，
来说明梯子的倾斜程度；而
小亮则认为，通过测量B2C2
及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？
探索新知
(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？
有什么关系
如果改变B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论
探索新知
归 纳
改变点B 的位置， 的值始终不变。
探索新知
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°
我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的正切，
记作tanA，即
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
则tan A＝________．
由正切定义可知tan A＝ 在本题中已知两边之比，可运
用参数法，由 可设BC＝15a，AB＝17a，从而可
用勾股定理表示出第三边AC＝8a，再用正切的定义求解得
tan A＝
导引：
探索新知
总 结
直角三角形中求锐角正切值的方法：
(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；
(2)若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利
用勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解．
探索新知
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝________．
根据题意得∠BCD＝∠CAB，
所以tan ∠BCD＝tan ∠CAB＝
导引：
探索新知
总 结
直接求某个锐角的正切值有困难时，可以考虑利用中间量进行转化，可以是相等的角作为中间量，还可以利用相似，得到相等的比作为中间量．
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A 的值是( )
A. B.
C. D.
1
A
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B的值是( )
A. B. 3
C. D.
2
D
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC∶AC＝1∶3，则tan B 的值是(　　)
3
C.
D.
3
A
典题精讲
一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来的2倍，
那么它的两个锐角的正切值(　　)
A．都没有变化 　　　　　
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 　　　　　
D．不能确定是否发生变化
A
探索新知
2
知识点
正切的应用
议一议
在图1 -3中，梯子的倾斜程度与tanA 有关系吗
探索新知
总 结
tanA 的值越大，梯子越陡.
1. 当梯子与地面所成的角为锐角A 时，
tan A＝ tan A 的值越大，梯子越陡．
因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度．
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
解：甲梯中，
乙梯中，
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
探索新知
例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
探索新知
总 结
(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角较大的物体，就说它放得更“陡”．
(2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
典题精讲
解： ∵△ABC 是等腰三角形，
BD⊥AC，
∴D 是AC 的中点．
∴DC＝AD＝ AC＝2.
在Rt△BCD 中，tan C＝ ＝ ＝ .
如图， △ABC 是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗？
1
B
C
典题精讲
2 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是(　　)
A．2
B.
C.
D.
D
典题精讲
在Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，且CD＝2，
BD＝8，则tan A 的值是(　　)
A．2 B．4
C. D.
B
探索新知
3
知识点
坡度(坡角)与正切的关系
探究
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB 的垂直高度与水平宽度AE 的长度之比是α 的什么三角函数？
α
A
C
B
D
E
坡面AB 与水平面的夹角叫做坡角.
探索新知
坡度的定义：
坡面的垂直高度与水平宽度之比
叫做坡度，记作 i .
α
A
B
E
h
l
坡度的概念，一要记住是一个比值而不是角度， 二要明确坡度其实就是坡角的正切．
探索新知
例4 以下对坡度的描述正确的是(　　 )
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
D．坡度是指斜坡的高度与斜坡长度的比
错解分析：概念不清，误以为坡度是一个角度，而猜测
坡度即为倾斜角的度数．
B
典题精讲
解：由勾股定理可知，
AC＝ ＝ ≈192.289(m)，
∴tan ∠BAC＝ ≈ ≈0.286.
所以，山的坡度大约是0.286.
如图，某人从山脚下的点A 走了 200 m 后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55 m，求山的坡度（结果精确到0.001).
1
B
典题精讲
如图，梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A. 关于∠A 的正切值与梯子的倾斜程度的关系，下列叙述正确的是(　　)
A．tan A 的值越大，梯子越缓
B．tan A 的值越小，梯子越陡
C．tan A 的值越大，梯子越陡
D．梯子的陡缓程度与∠A 的正切值无关
2
C
典题精讲
3 如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中AD∥BC.
若两斜坡的坡度均为i＝2∶3，顶宽是3 m，路基高是
4 m，则路基的下底宽是(　　)
A．7 m B．9 m C．12 m D．15 m
D
易错提醒
在等腰三角形ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，则tan B＝________.
易错点：忽略求正切值的前提.
学以致用
小试牛刀
如图，BD 是菱形ABCD 的对角线，CE⊥AB 于点E，交BD 于
点F，且点E 是边AB 的中点，则tan∠BFE 的值是(　　)
A.
B．2
C.
D.
D
小试牛刀
如图，点A (t，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，
tan α＝ ，则t 的值是(　　)
A．1
B．1.5
C．2
D．3
C
小试牛刀
在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，a，b，c
满足(2b) 2＝4(c－a)(c＋a)，且5a－3c＝0，求tan A＋tan B 的值．
∵(2b)2＝4(c－a)(c＋a)，
∴a 2＋b 2＝c 2. ∴∠C＝90°.
又∵5a－3c＝0，∴5a＝3c.
设a＝3k，则c＝5k. ∴b＝4k.
∴tan A＋tan B＝
解：
小试牛刀
如图，CD 是一个平面镜，光线从点A 射入经CD 上的点E 反射
后照射到点B. 设入射角为α (入射角等于反射角)，AC⊥CD，
BD⊥CD，垂足分别为C，D. 若AC＝3，BD＝6，CD＝12.求
tan α 的值．
小试牛刀
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ACE＝∠BDE＝90°.
又∵入射角等于反射角，
∴∠A＝∠B＝α.
∴△ACE∽△BDE.
∴
∵AC＝3，BD＝6，CD＝12，∴CE＝4.
∴tan α＝tan A＝
解：
小试牛刀
5 如图，在△ABC 中，∠C＝150°，AC＝4，tan B＝
(1)求BC 的长；
(2)利用此图形求tan 15°的值(结果精确到0.1，参考数据： ≈1.4， ≈1.7， ≈2.2)．
小试牛刀
(1)过点A 作AD⊥BC，交BC 的延长线于点D，如图所示．
在Rt△ADC 中，AC＝4，∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°.
∴AD＝ AC＝2，CD＝
在Rt△ABD 中，tan B＝
∴BD＝16. ∴BC＝BD－CD＝16－
解：
小试牛刀
(2)在BC 边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图所示．
∵∠ACB＝150°，∴∠AMC＝∠MAC＝15°，tan 15°＝tan ∠AMD＝
小试牛刀
某宾馆在重新装修，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯．如果主楼梯的坡度为1∶ ，且楼梯的竖直高度为3 m，
如图所示．
(1)至少需要多长的地毯？(结果保留一位小数)
(2)若所铺设的地毯每平方米售价30元，主楼梯的宽度为2 m，你作为经理给采购人员至少多少元钱去购买地毯？
小试牛刀
(1)∵主楼梯的坡度为1∶ ，
∴
∵BC＝3 m，
∴AB＝ m.
∴AB＋BC＝3＋ ≈ 8.2(m)．
答：至少需要8.2 m的地毯．
(2)8.2×2×30＝492(元)．
答：给采购人员至少492元钱去购买地毯．
解：
课堂小结
课堂小结
正切：∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，
记作tan A， 即tan A＝
A
B
C
∠A 的对边a
┌
斜边c
∠A 的邻边b
坡度(坡角)与正切的关系：
坡度就是坡角的正切．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）