【班海精品】北师大版（新）九年级下-1.4解直角三角形【优质课件】

(共48张PPT)
4 解直角三角形
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.图中∠A，∠B，a，b，c 即为直角三角形的五个元素.
锐角三角函数
情景导入
A
B
a
b
c
C
什么是解直角三角形
解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
新课精讲
探索新知
1
知识点
已知两边解直角三角形
在Rt△ABC 中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
探索新知
(1)三边之间的关系；
(2)两锐角之间的关系；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，
tan A＝
探索新知
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
探索新知
例1 在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边
分别为a，b，c，且a= b= 求这个三角形
的其他元素.
解：
在 Rt△ABC 中，a 2+b 2=c 2，
在 Rt△ABC 中，sinB =
∴∠B = 30°. ∴∠ A = 60°.
探索新知
例2 已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边
分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其
他元素．(角度精确到1′)
求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角
形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先
求∠B，因为 ＝sin B＝cos A.
导引：
探索新知
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
探索新知
例3 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，
b，c，且a＝1，b＝2.求这个三角形的其他元素．(角度精
确到1′，边长精确到0.01)
导引：
已知两边，根据勾股定理可求出第三边．求锐角，需要由边的比值，运用三角函数求得．
由勾股定理得
由tan A＝ ＝0.5，得∠A≈26°34′，
∴∠B＝90°－∠A≈63°26′.
解：
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A 的度数为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
1
D
2 在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A 的值，最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A 的值求出
B．计算sin A 的值求出
C．计算cos A 的值求出
D．先根据sin B 求出∠B，再利用90°－∠B 求出
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝(　　)
A.　 　　
B.　 　　
C.　 　　
D.
3
D
典题精讲
如图，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，CA 是∠BCD 的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝(　　)
A．
B．
C.
D.
4
B
探索新知
2
知识点
已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a 和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；②c =
若已知斜边c 和一个锐角A：① ∠ B=90°- ∠ A；②a=c · sin A ; ③b=c · cos A.
在沿Rt△ABC，∠C=90°，∠B = 25°
∴∠A=65°.
∵
∴
∵
∴
探索新知
例4 在Rt△ABC，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，
且b = 30，∠B = 25°求这个三角形的其他元素（边长精确到1).
解：
探索新知
总 结
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来.
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c · sin A＝100 · sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c · cos A＝100 · cos 26°44′≈89.31.
探索新知
例5 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A 得到∠B 的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
解：
导引：
典题精讲
在Rt△ABC 中，由勾股定理得c＝ ＝ .
∵sin A＝ ＝ ＝ ， ∴∠A≈27°.
∵∠C＝90°，
∴∠B＝90°－∠A≈63°.
1 在Rt△ABC 中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b， c，根据下列条件求出直角三角形的其他元素（角度精确到1° )：
(1) 已知 a = 4， b =8；
解：
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°.
∵sin B＝ ，b＝10，
∴c＝ ＝ ＝ .
由勾股定理得a＝ ＝ .
(2) 已知 b =10， ∠B＝60°；
解：
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°.
∵sin A＝ ，c＝20，
∴a＝c · sin A＝20×sin 60°＝20× ＝ .
由勾股定理得b＝ ＝10.
(3) 已知 c =20， ∠A＝60°；
解：
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC
的长是(　　)
A. B．4
C．8 D．4
2
D
3 在△ABC 中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a 等于(　　)
A. B. C．6 D.
B
探索新知
3
知识点
已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形
例6 如图，在△ABC 中，AB＝1，AC＝ sin B＝
求BC 的长．
要求的BC 边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B 的正弦值，作BC 边上的高，
将∠B 置于直角三角形中，利用解直角三角形就可
解决问题．
导引：
探索新知
如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB · sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝
解：
探索新知
总 结
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B 点作AC 的垂线，则∠B 的正弦值就无法利用．
典题精讲
1 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝6，则AB＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
D
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，tan C＝ AB＝6 cm.动点P 从点
A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s的速度移动，动点Q 从点B 开始沿
边BC 向点C 以2 cm/s的速度移动．若P，Q 两点分别从A，B 两点
同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是(　　)
A．18 cm2
B．12 cm2
C．9 cm2
D．3 cm2
C
易错提醒
在△ABC 中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA 的值．
易错点：受思维定式影响误以为∠C 的对边为斜边造成错误.
易错提醒
在Rt△ABC 中，∠B＝90°，
∴AC＝
∴tan A
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC 为斜边，而受习惯的影响，常误以为∠C 的对边AB 是斜边．因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
解：
学以致用
小试牛刀
如图，电线杆CD 的高度为h，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC 的长度为(A，D，B 在同一条直线上)(　　)
A.
B.
C.
D．h · cos α
1
B
小试牛刀
如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC 的值为(　　)
A．2＋
B．2
C．3＋
D．3
2
A
小试牛刀
3 如图，已知在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC 的长；
(2)若sin A＝ ，求AD 的长．
小试牛刀
(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝
∴∠E＝30°，BE＝6 tan 60°＝
∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝
∴CE＝ ＝8.
∴BC＝BE－CE＝ －8.
解：
小试牛刀
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x.
∴3x＝6，得x＝2，
∴BE＝8，AE＝10，
∴tan E＝
解得DE＝
∴AD＝AE－DE＝10－
小试牛刀
4 如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝ ，cosC＝ ，AC＝ .求：
(1)BC 的长；
(2)sin∠ADC 的值．
小试牛刀
(1)如图，过点A 作AE⊥BC 于点E. ∵cos C＝ ，∴∠C＝45°. 在Rt△ACE 中，CE＝AC cos C＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE 中，tan B＝ ，即 ，∴BE＝3AE＝3. ∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD＝ BC＝2. ∴DE＝CD－CE＝1. ∵ AE⊥BC，DE ＝AE， ∴∠ADC＝45°. ∴sin ∠ADC＝
解：
小试牛刀
如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC 长18 m，
中柱AD 高6 m，其中D 是BC 的中点，且AD⊥BC.
(1)求sin B 的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E 在AB 上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE 的长．
小试牛刀
(1)在Rt△ABD 中，∵BD＝DC＝ BC＝9 m，AD＝6 m，
∴AB＝
∴sin B＝
(2)∵EF∥AD，BE＝2AE，
∴∠BFE＝∠BDA，∠BEF＝∠BAD.
∴△BEF∽△BAD.
∴
∴EF＝4 m，BF＝6 m．∴DF＝3 m.
在Rt△DEF 中，DE＝
故支架DE 的长为5 m.
解：
小试牛刀
6 如图，全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换：
①
②
(1)如图①，△DEF 沿直线CB 向右平移(即点F 在线段CB上移动)，连接 AF，AD，BD ，请直接写出 S△ABC 与S四边形AFBD 的关系．
小试牛刀
(2)如图②，当点F 平移到线段BC 的中点时，如果四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请说明理由．
(3)在(2)的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，然后展开，连接 CG，请你画出图形，并求出sin ∠CGF 的值．
小试牛刀
(1)S△ABC＝S四边形AFBD
(2)△ABC 为等腰直角三角形，
即AB＝AC，∠BAC＝90°.
理由如下：
∵F 为BC 的中点，∴CF＝BF.
∵CF＝AD，∴AD＝BF.
又∵AD∥BF，∴四边形AFBD 为平行四边形．
∵AB＝AC，F 为BC 的中点，∴AF⊥BC.
∴四边形AFBD 为矩形．
解：
小试牛刀
∵∠BAC＝90°，F 为BC 的中点，
∴AF＝ BC＝BF.
∴四边形AFBD 为正方形.
(3)画出图形如图所示．
由(2)知，△ABC 为等腰直角三角形，AF⊥BC，
设CF＝k，则GF＝EF＝CB＝2k.
由勾股定理，得 CG＝ k.
∴sin∠CGF＝
课堂小结
课堂小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a 2+b 2=c 2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）