【班海精品】北师大版（新）九年级下-1.3三角函数的计算【优质课件】

(共47张PPT)
3 三角函数的计算
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图，当登山缆车的吊箱经过点A 到达点B 时，它走过
了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α= 16°，
那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01 m)
情景导入
在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=ABsin 16°. 你知道sin16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
用计算器求已知锐角的三角函数值
计算器的使用方法：
(1)求整数度数的锐角三角函数值，在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有sin ，cos 和tan ，当我们计算整数度数的某锐角的三角函数值时，可选按这三个键之一，然后再从高位到低位依次按出表示度数的键，然后按＝键，屏幕上就会显示出结果．
探索新知
(2)求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用 度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数值时，同样先按sin ，cos 或tan 键，然后从高位到低位依次按出表示度的键，再按°′ ″键，然后，从高位到低位依次按出表示分的键，再按°′ ″键，然后，从高位到低位依次按出表示秒的键，再按°′ ″键，最后按＝键，屏幕上就会显示出结果．
探索新知
例1 用计算器计算：(结果精确到万分位)
(1)sin 26°≈ ；
(2) sin82°48′15″≈___________．
导引：
0.4384
0.9921
已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．
探索新知
总 结
(1)依次按sin2 6＝键，得到数据再精确到万分位即可；
(2)依次按sin8 2 °’ ” 48°’ ”15°’ ”＝键，得到数据再
精确到万分位即可．
探索新知
例2 已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若∠A＝23°，斜
边c＝14，求∠A 的对边a 的长．(结果精确到0.01)．
c 是斜边，而a 是∠A 的对边，故可利用∠A 的正弦求a.
由sin A＝ 则a＝c·sin A＝14sin 23°，利用计算器
计算得a≈5.47.
导引：
解：
探索新知
总 结
对于不是特殊角的三角函数，一般只能利用计算器进行计算．注意结果要符合题目的精确度要求．
典题精讲
1 用计算器求下列各式的值：
(1) sin 56°; (2) cos 20.5°；
(3) tan 44°59'59"; (4) sin 15°+ cos 61°+ tan 76°.
解：
(1) sin 56°≈0.829 0；
(2) cos 20.5°≈0.936 7；
(3) tan 44°59′59″≈1.000 0；
(4) sin 15°＋cos 61°＋tan 76°≈4.754 4.
典题精讲
2 —个人由山底爬到山顶，需先爬坡角为40°的山坡300 m，再爬
坡角为30°的山坡100 m，求山高（结果精确到0.1m).
解：
如图，过点C 作CE⊥AE 于点E，
过点B 作BF⊥AE 于点F，
过点B 作BD⊥CE 于点D，则BF＝DE.
在Rt△ABF 中，BF＝AB sin 40°；
在Rt△CDB 中，CD＝BC sin 30°.
∴CE＝CD＋DE＝CD＋BF＝BC sin 30°＋AB sin 40°＝100 sin 30°＋300 sin 40°≈242.8(m)．
所以，山高约242.8 m.
典题精讲
为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(　　)
A. 2ndF sin 0 · 2 5 ＝
B. Sin 2ndF 0 · 2 5 ＝
C. sin 0 · 2 5 ＝
D. 2ndF cos 0 · 2 5 ＝
3
A
典题精讲
利用计算器求sin 30°时，依次按键sin30°′″＝，则计算器上显示的结果是(　　)
A．0.5　 　 B．0.707　　
C．0.866　　 D．1
A
用计算器验证，下列等式正确的是(　　)
A．sin 18°24′＋sin 35°36′＝sin 54°
B．sin 65°54′－sin 35°54′＝sin 30°
C．2sin 15°30′＝sin 31°
D．sin 72°18′－sin 12°18′＝sin 47°42′
5
D
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝26°，BC＝5.若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是(　　)
A. 5 ÷ tan 2 6 ＝
B. 5 ÷ sin 2 6 ＝
C. 5 × cos 2 6 ＝
D. 5 × tan 2 6 ＝
6
D
探索新知
2
知识点
用计算器求已知三角函数值的对应角
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了 40 m长的斜道（如图).这条斜道的倾斜角是多少？
探索新知
总 结
如图，在Rt△ABC 中， 那么是多少度呢？要解决这个问题，我们可以借助科学计算器.
探索新知
1．已知三角函数值，用计算器求角度，需要用到sin ，cos ，tan 键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和 SHIFT 键．
2．具体操作步骤是：先按SHIFT 键，再按sin ，cos ，tan 键之一，再依次输入三角函数值，最后按＝键，则屏幕上就会显示出结果．
探索新知
例3 根据下列条件求锐角A 的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
导引：利用sin ，cos ，tan 键的第二功能计算，即先按SHIFT
键，再按sin或cos或tan键，然后输入三角函数值，最
后按＝键，即可显示结果．
探索新知
解：(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，再
按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(2)先按 SHIFT cos 0.2187＝键，显示：77.367 310 78，再
按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.
(3)先按 SHIFT tan 3.527＝键，显示：74.170 530 81，再
按°’”键,显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.
探索新知
总 结
由值求角，计算器显示的角度的单位是“度”，一般需要化为用“度、分、秒”表示的形式，用°’”键可实现两者间的转换．
典题精讲
1 已知sin θ = 0.829 04，求锐角θ的度数.
解：
∵sin θ＝0.829 04，∴θ≈56°0′1″.
2 一梯子斜靠在一面墙上，已知梯长4 m，梯子位于地面上的一端离墙壁2.5 m，求梯子与地面所成锐角的度数.
解：
设梯子与地面所成的锐角为∠α，
则cos α＝ ＝ ＝0.625.
∴∠α≈51°19′4″.
所以，梯子与地面所成的锐角的度数约为51°19′4″.
典题精讲
已知sin α＝ ，求α，若用科学计算器计算且结果以“度、分、秒”为单位，最后按键(　　)
A．AC/ON B. SHIFT
C．MODE D. °′ ″
3
D
如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC 为5.3 m，铅直高度BC 为2.8 m，则∠A 的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
4
27.8°
探索新知
3
知识点
用计算器探究三角函数的性质
三角函数值的大小有锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中无关，具体来说：
(1)tan A 随着∠A 的增大而增大，∠A 越接近90°，tan A 的值就增加得越快，tan A 可以等于任何一个正数．
(2)sin A 的值随着锐角A 的增大而增大；cos A 的值随着锐角A 的增大而减小．
探索新知
例4 已知α，β 为锐角，且cos α 是方程2x 2＋5x－3＝0的一
个根，cos β ≥cos α，试求α 的度数及β 的取值范围．
先求出方程2x 2＋5x－3＝0的根，从而得到cos α 的值，
再根据特殊角的三角函数值求出α 的度数，最后根据
锐角三角函数的增减性确定β 的取值范围．
导引：
探索新知
解方程2x 2＋5x－3＝0，得x1＝－3，x2＝
∵0＜cos α＜1，且cos α 是方程2x 2＋5x－3＝0的一个根，
∴cos α＝
∵cos 60°＝ ∴α＝60°.
∵β 为锐角，cos β ≥cos α，∴cos β ≥cos 60°.
又∵锐角的余弦值随角的度数的增大而减小，
∴0°＜β≤60°.
解：
探索新知
总 结
解方程，由特殊角的三角函数值可知α 的度数，再
利用锐角与其余弦值的关系，通过比较得到β 的取值范围.
典题精讲
1 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中正确的是(　　)
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
C．sin A＝cos B D．cos A＝cos B
C
用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是(　　)
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26°2
C
典题精讲
用计算器求sin 15°，sin 25°，sin 35°，sin 45°，sin 55°，sin 65°，sin 75°，sin 85°的值，研究sin α的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若 A．30°<α<60° B．30°<α<90°
C．0°<α<60° D．60°<α<90°
3
A
易错提醒
用计算器求sin 35°29′的值(结果精确到0.001)．
易错点：不区分35°29′与35.29°而导致错误.
sin 35°29′≈0.580.
解：
学以致用
小试牛刀
已知α 为锐角，且tan α＝3.387，下列各值中与α 最接近的是(　　)
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A 约等于(　　)
A．24°38′ B．65°22′
C．67°23′ D．22°37′
1
2
A
D
小试牛刀
3 (1)如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变
化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变
化的规律．
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°
这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
小试牛刀
(3)比较大小(在横线上填写“＜”“＞”或“＝”)：
若α＝45°，则sin α________cos α；
若α<45°，则sin α________cos α；
若α>45°，则sin α________cos α.
(4)利用互为余角的两个角的正弦值和余弦值的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
＝
＜
＞
小试牛刀
(1)锐角的正弦值随锐角度数的增大而增大，余弦值随锐角度数的增大而减小．
(2)sin 18°cos 88°(4)sin 10°解：
小试牛刀
4 如图，已知∠ABC 和射线BD 上一点P (点P 与点B 不重合，且点P 到BA，BC 的距离分别为PE，PF 的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF 的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β 都是锐角，且α>β，请比较PE，PF 的大小．
小试牛刀
(1)∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴sin∠EBP＝ ＝sin 40°，sin ∠FBP＝ ＝sin 20°.
又∵sin 40°＞sin 20°，∴ . ∴PE＞PF.
(2)∵α，β 都是锐角，且α＞β，
∴sin α＞sin β.
又∵sin∠EBP＝ ＝sin α，sin∠FBP＝ ＝sin β，
∴ . ∴PE＞PF.
解：
小试牛刀
5 如图，菱形ABCD 的一条对角线AC＝8 m，tan∠BAO＝ ，借助计算器求菱形的边长及内角的度数(角度精确到1°，长度精确到1 m)．
小试牛刀
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝4 m .
在Rt△AOB 中，tan∠BAO＝
∴OB＝OA tan∠BAO＝4× ＝5(m)．
∴AB＝
又用计算器求得tan∠BAO＝ ＝1.25时，∠BAO≈51°20′.
由菱形的性质知∠BCD＝∠BAD＝2∠BAO≈102°40′≈103°，则∠ABC＝∠ADC≈77°.
∴菱形的边长约为6 m，四个内角分别约为103°，77°，103°，77°.
解：
小试牛刀
6 如图，一艘海轮在A 点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80 n mile后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．求：
(1)海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离(结果精确到0.1 n mile)；
(2)海轮在B 处时与灯塔C 的距离(结果保留整数，参考数据：
sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，tan 55°≈1.428，
tan 42°≈0.900，tan 35°≈0.700，tan 48≈1.111)．
小试牛刀
(1)如图，过点C 作AB 的垂线，垂足为D，
根据题意可得∠ACD＝42°，∠BCD＝55°，
设CD 的长为x n mile.在Rt△ACD 中，tan 42°＝ ，
则AD＝x tan 42° n mile.
在Rt△BCD 中，tan 55°＝ ，
则BD＝x tan 55° n mile.
∵AB＝80 n mile，
解：
小试牛刀
∴AD＋BD＝80 n mile.
∴x tan 42°＋x tan 55°＝80.解得x≈34.4.
所以海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4 n mile.
(2)在Rt△BCD 中，cos 55°＝
∴BC＝ ≈60 n mile.
所以海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60 n mile.
课堂小结
课堂小结
1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：
先按 键或 键或 键，再按角度值，
最后按 键就可求出相应的三角函数值．
2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺
序为：先按 键，再按 键或 键或
键，然后输入三角函数值，最后按 键
就可求出相应角度．
sin
sin
cos
cos
tan
tan
2nd F
=
=
同学们，
下节课见！
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