【班海精品】冀教版（新）九下-29.5 正多边形与圆 第二课时【优质课件】

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29.5 正多边形与圆
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们在小学学习了圆的面积和扇形的面积，也学习了圆的周长，那么圆上一部分的长，也就是一条弧的长怎么去求呢？现在重新学习圆的面积和扇形面积，比以前是不是有了更深的要求呢？
下面我们就来学习本节内容.
新课精讲
探索新知
1
知识点
弧长公式的应用
思考：
我们知道，弧是圆的一部分吗，弧长就是圆周长的一部分，想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？
探索新知
（1）半径为R 的圆，周长是多少？
（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？
（3）1°圆心角所对的弧长是多少？
（4）n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长的多少倍？
（5）n°圆心角所对的弧长是多少？
（1）C =2πR
（2）360°
（3）
（4）n 倍
（5） 也可以用ABl 表示AB 的长.
n°
o
⌒
⌒
探索新知
例1 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下
料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）.
解：由弧长公式，得AB 的长
因此所要求的展直长度
A
B
C
D
O
R=900 mm
700 mm
700 mm
100°
⌒
探索新知
总 结
(1)应用公式时“n ”和“180”不应写单位．
(2)题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长．
(3)在弧长公式中，已知l，n，R 中任意两个量，都可求出第三个量．
探索新知
例2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下
料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）.
解：由弧长公式，得AB 的长
因此所要求的展直长度
A
B
C
D
O
R=900 mm
700 mm
700 mm
100°
⌒
探索新知
总 结
(1)应用公式时“n ”和“180”不应写单位．
(2)题目若没有写明精确度，可以用含“π”的式子表示弧长．
(3)在弧长公式中，已知l，n，R 中任意两个量，都可求出第三个量．
探索新知
弧、弧长、弧的度数间的关系：
弧相等表示弧长、弧的度数都相等；
度数相等的弧，弧长不一定相等；
弧长相等的弧，弧的度数不一定相等．
易错警示：在弧长公式l＝ 中，n 表示1°的n 倍，180表示1°的180倍，n，180不带单位．
典题精讲
在在半径为6的⊙O 中，60°圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π
C．4π D．6π
1
B
如图，⊙O是△ABC 的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则BC 的长等于(　　)
A.
B.
C.
D.
2
︵
A
典题精讲
如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD＝∠BCD，则BD 的长为(　　)
A．π
B. π
C．2π
D．3π
3
︵
C
探索新知
2
知识点
扇形面积公式的应用
同学们已经学习了扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．你能否类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式？
探索新知
1.半径为R 的圆，面积是多少？
2.圆面可以看作是多少度的圆心角所对的扇形？
3.1°圆心角所对扇形面积是多少？
1.S=πR 2
2.360°
3.
若设⊙O 半径为R， n°的圆
心角所对的扇形面积为S，则
A
B
O
思考1：
探索新知
思考2：扇形面积的大小与哪些因素有关系？
扇形面积的大小与扇形的半径和圆心角有关.
探索新知
比较扇形面积公式与弧长公式，可以用弧长表示扇形面积：
其中l 为扇形的弧长，R 为半径.
探索新知
例2 如图1，水平放置的圆柱形排水管道的截面
半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面
上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
解：如图2，连接OA，OB，作弦AB 的垂直平
分线，垂足为D，交AB于点C，连接AC.
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）.
∴OD=DC.
又AD⊥DC，
∴AD 是线段OC 的垂直平分线.
∴AC=AO=OC.
O
⌒
图1
O
A
B
C
D
图2
探索新知
从而∠AOD =60°，∠AOB =120°.有水部分的面积
探索新知
特别注意：
(1)已知S扇形，l，n，R 四个量中的任意两个量，可
以求出另外两个量．
(2)在扇形面积公式S扇形＝ 中，n 表示1°的n
倍，360表示1°的360倍，n，360不带单位．
典题精讲
如图，半圆的直径BC 恰与等腰直角三角形ABC 的一条直角边完全重合，若BC＝4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．2＋π
B．2＋2π
C．4＋π
D．2＋4π
1
A
典题精讲
如图，AB 是⊙O 的直径，BT 是⊙O 的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是(　　)
A．2　　　
B. π　　　
C．1　　　
D. π
2
C
易错提醒
已知AB 所对的圆周角为30°，AB 所在圆的半径为30 cm，求AB 的长．
∵AB 所对的圆周角为30°，
∴AB 所对的圆心角为60°，
∴AB 的长l＝ ＝10π(cm)．
︵
︵
︵
解：
︵
︵
︵
易错点：对弧长公式及扇形面积公式中的n 的意义理解不
充分而致错.
易错提醒
在公式l＝ ，S扇形＝ 中，n°是圆心角的度数，而题干给出的是圆周角的度数，不能直接代入公式计算，要求出圆心角的度数后再代入公式计算．本题易错解为
AB 的长＝ ＝5π (cm)．
易错总结：
︵
学以致用
小试牛刀
如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2 ，则阴影部分的面积为(　　)
A．2π
B．π
C.
D.
1
D
小试牛刀
如图，在Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O 顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E 为圆心，OA，ED 长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．π
B.
C．3＋π
D．8－π
2
D
小试牛刀
如图，点O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使AB 和AC 都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O 面积的(　　)
A．
B.
C．
D．
3
︵
︵
B
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，∠B＝70°，BC＝6，以AD 为直径的⊙O交CD 于点E，则DE 的长为(　　)
A. π
B. π
C. π
D. π
4
︵
B
小试牛刀
如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于 点D，AM⊥CD
于点M，BN⊥CD 于点N.
小试牛刀
如图，连接OD.
∵直线CD 切⊙O 于点D，
∴∠CDO＝90°.
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°.∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3.
∵OB＝OD，∴∠3＝∠4. ∴∠1＝∠4，
即∠ADC＝∠ABD.
(1)求证：∠ADC＝∠ABD；
证明：
小试牛刀
(2)求证：AD 2＝AM·AB；
∵AM⊥CD，
∴∠AMD＝∠ADB＝90°.
又∵∠1＝∠4，
∴△ADM∽△ABD.
∴
∴AD 2＝AM·AB.
证明：
小试牛刀
∵sin ∠ABD＝ ∠ABD＝∠1，∴sin ∠1＝
∵AM＝ ∴AD＝6. ∴AB＝10.
∴BD＝ ＝8.
∵BN⊥CD，∴∠BND＝90°.
∴∠DBN＋∠BDN＝∠1＋∠BDN＝90°.
∴∠DBN＝∠1. ∴sin ∠DBN＝ ∴DN＝
∴BN＝
(3)若AM＝ sin ∠ABD＝ 求线段BN 的长．
解：
课堂小结
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.弧长的计算公式l＝ 并运用公式进行计算.
2.扇形的面积公式S＝ 并运用公式进行计算.
3.弧长l及扇形的面积S 之间的关系，
同学们，
下节课见！
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