【班海精品】冀教版（新）九下-29.5 正多边形与圆 第一课时【优质课件】

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29.5 正多边形与圆
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆内接正多边形及相关定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
正n 边形的各角相等，且每个内角为：
每个外角为：
探索新知
下列说法不正确的是(　　)
A．等边三角形是正多边形
B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形
C．菱形不一定是正多边形
D．各角相等的多边形是正多边形
例1
导引：
等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说法不正确. 答案：D
D
探索新知
总 结
正多边形的识别要从两个角度去看，
一是边都相等；
二是内角都相等．
探索新知
如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
求证：五边形ABCDE 是正五边形．
例2
导引：
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出
利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到
，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.
探索新知
解：
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对 ，
圆周角∠B 对 ，
∴ .
∴ ，即 .
∴BC＝AE. 同理可证其余各边都相等．
∴五边形ABCDE 是正五边形．
探索新知
总 结
(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．其证明思路如下：角相等 弧相等 弦相等 正多边形．
(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n 等分，依次连接各等分点，所得多边形即为正多边形．
典题精讲
对于三角形，如果三边相等，那么它的三个角一定相等. 反过来， 如果三个角相等，那么它的三边也一定相等. 对于其他多边形，如果去掉 “各边相等”和“各角相等”两个条件中的任意一个，还能保证这个多边形是正多边形吗？请举例说明.
1
解：
不能．例如：菱形的各边都相等，但不是正多边形．
典题精讲
一个正多边形的边心距与边长的比为 ，求这个正多边形的边数.
2
解：
连接OA，OB，如图．
设OC＝a，则AB＝2a.
∴AC＝BC＝a.
∴∠AOC＝∠BOC＝45°，
∴∠AOB＝90°.
∵360°÷90°＝4.
∴这个正多边形的边数为4.
典题精讲
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(　　)
A．两角互余 B．两角互补
C．两角互余或互补 D．不能确定
3
4
A
B
典题精讲
若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(　　)
A． B.
C． D．1
5
A
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是(　　)
A．1∶ B．1∶2
C．2∶3 D．2∶π
6
B
典题精讲
正六边形ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是(　　)
A．
B ．2
C．
D．
7
B
探索新知
2
知识点
圆内接正多边形的画法
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.
由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆的半径R. 所以，在半径为R 的圆上，依次截取等于R 的弦，就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
探索新知
用尺规作圆的内接正方形.
已知：如图，⊙O.
求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
例3
探索新知
作法：
(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.
(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.
由作图过程可知，四个中心角都是90°，
所以AB=BC= CD=DA.
因为AC，BD 都是直径，
所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.
即四边形ABCD 为⊙O 的内接正方形.
探索新知
总 结
解决这类问题通常有两种方法：
(1)用量角器等分圆周法；
(2)用尺规等分圆周法．
典题精讲
如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：
甲：(1)以D 为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O 于B，C 两点；
(2)连接AB，BC，AC. △ABC 即为所求作的三角形．
乙：(1)作OD 的中垂线，交⊙O 于B，C 两点；
(2)连接AB，AC.△ABC 即为所求作的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)
A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对
C．两人都对 D．两人都不对
1
C
典题精讲
在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
2
解：
如图所示．
(答案不唯一)
易错提醒
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(　　)
A．2 B. C．1 D.
A
易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.
易错提醒
错解：B
诊断：设正多边形的边数为n. 因为正多边形的内角和为(n－2)·180°，正多边形的外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错选B.
学以致用
小试牛刀
如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若直线PA 与⊙O 相切于点A，则∠PAB 等于(　　)
A．30°
B．45°
C．150°
D．30°或150°
1
A
小试牛刀
以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　)
A. B. C. D.
2
D
小试牛刀
如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　)
A．R 2－r 2＝a 2
B．a＝2R sin 36°
C．a＝2r tan 36°
D．r＝R cos 36°
3
A
小试牛刀
4 如图，点G，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC，CD上的
点，且BG＝CH，AG 交BH 于点P.
(1)求证：△ABG ≌ △BCH；
(2)求∠APH 的度数．
(1)证明：∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AB＝BC，∠ABC
＝∠C＝120°.在△ABG 与△BCH 中，
∴△ABG ≌ △BCH.
(2)解：由(1)知△ABG ≌ △BCH，∴∠BAG＝∠HBC. ∴∠APH
＝∠ABP＋∠BAG＝∠ABP＋∠HBC＝∠ABC＝120°.
小试牛刀
5 作图与证明：
如图，已知⊙O 和⊙O上的一点A，请完成下列任务：
(1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF；
(2)连接BF，CE，判断四边形BCEF 的形
状并加以证明．
解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别
以A，D 为圆心，OA长为半径画弧，分
别交⊙O 于点B，F，C，E，连接AB，
BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形
ABCDEF 即为所求作的图形．
小试牛刀
(2)四边形BCEF 是矩形．
证明：如图②，连接OE. ∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴AB＝AF＝DE＝DC＝FE＝BC.
∴BF＝CE.
∴四边形BCEF 是平行四边形．
∵∠EOD＝ ＝60°，OE＝OD，
∴△EDO 是等边三角形．∴∠ODE＝60°.
∴∠EDC＝∠FED＝2∠ODE＝120°.
∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°.
∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°.
∴四边形BCEF 是矩形．
小试牛刀
如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB＝AD，∠C＝120°，
点E 在 上．
(1)求∠AED 的度数；
(2)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE 恰
好是⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．
解：(1)如图，连接BD.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，
∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠C＝120°，∴∠BAD＝60°.
∵AB＝AD，∴△ABD 是等边三角形．∴∠ABD＝60°.
∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，
∴∠AED＋∠ABD＝180°.∴∠AED＝120°.
(2)如图，连接OA. ∵∠ABD＝60°，∴∠AOD＝2∠ABD ＝120°.
又∵∠DOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝30°，
∴n＝ ＝12.
小试牛刀
7 如图①、②、③、④分别是⊙O 的内接正三角形、正四边
形、正五边形、正n 边形，点M，N 分别从点B，C 开始以
相同的速度在⊙O 上逆时针运动，AM 与BN 相交于点P.
(1)图①中，∠APN＝______；
(2)图②中，∠APN＝______，图③中，∠APN＝______；
(3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系(直接写答案)．
解：(3)∠APN＝
60°　
90°　
108°　
课堂小结
课堂小结
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做
正多边形.
把一个圆n (n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得
到一个正n 边形. 我们把这个正n 边形叫做圆的内
接正n 边形.
同学们，
下节课见！
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（任务-发布任务-选择章节）