【班海精品】冀教版（新）九下-29.4 切线长定理 第二课时【优质课件】

(共39张PPT)
29.4 切线长定理
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
什么是切线长定理？
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形内切圆及相关概念
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？
探索新知
作圆：使它和已知三角形的各边都相切
已知：△ABC
求作：和△ABC 的各边都相切的圆
作法：
1、作∠ B，∠ C 的平分线BM 和CN，交点为O
2、过点O 作OD ⊥BC. 垂足为D.
3、以O 为圆心，OD 为半径作圆O.
探索新知
如图，点O是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC 的度数为(　　)
A．130°　　B．100°　　
C．50°　　 D．65°
由题意知BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝ (∠ABC＋∠ACB )
＝ ×(180°－80°)＝50°，
∴∠BOC＝180°－50°＝130°.
例1
导引：
A
探索新知
总 结
根据内心的确定方法可知，内心就是三角形三条内角平分线的交点．解决此类问题可以转化为三角形中求两条角平分线的夹角问题．
典题精讲
如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F.
(1)图中有几对相等的线段？
(2) 若 AD=2，BE=3，CF=1，求△ABC 的周长.
1
典题精讲
(1)因为⊙O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D，
E，F，
所以AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
所以图中有3对相等的线段．
(2)因为AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，
所以△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC
＝2(AD＋BE＋CF )
＝2×(2＋3＋1)＝12.
解：
典题精讲
如图，在△ABC中，∠A=50°，它的内心为I. 求∠BIC 的度数.
2
因为I 是△ABC 的内心，
所以⊙I 是△ABC 的内切圆，
所以BI，CI 分别是∠ABC，
∠ACB 的平分线．
又因为∠A＝50°，所以∠ABC＋∠ACB＝130°，所以∠IBC＋∠ICB＝65°，
所以∠BIC＝180°－65°＝115°.
解：
典题精讲
下列说法错误的是(　　)
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
3
C
典题精讲
如图，⊙O是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的(　　)
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
4
B
典题精讲
如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O 均在格点上，点O 是(　　)
A．△ACD 的外心
B．△ABC 的外心
C．△ACD 的内心
D．△ABC 的内心
5
B
探索新知
2
知识点
三角形内切圆的性质
如图所示，⊙O 是Rt△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求⊙O 的半径r.
例2
探索新知
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，利用S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC求解，还可以发现四边形OECD为正方形，则可利用切线长定理，用含r 的代数式表示AB 的长再求解．
导引：
探索新知
方法一：如图，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，则OD＝OE＝OF＝r，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.
在Rt△ABC 中，AB＝ ＝5.
∵S△ABC＝ S△COB＋ S△BOA＋ S△AOC，
∴AC·BC＝BC·r ＋AB·r ＋AC·r
＝ (BC＋AB＋AC )·r.
∴r＝ ＝1.
解：
探索新知
方法二：如图，连接OD，OE，则OE⊥AC，OD⊥BC，
又∵EC⊥CD，且OE＝OD＝r，
∴四边形OECD 是正方形．
∴EC＝CD＝r.
∴AB＝AF＋BF＝AE＋BD
＝(AC－E C)＋(BC－CD )
＝3－r＋4－r＝7－2r.
又易知AB＝ ＝5，
∴7－2r＝5，即r ＝1.
典题精讲
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步(如图)，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”(　　)
A．3步 B．5步
C．6步 D．8步
1
C
典题精讲
在△ABC 中，已知∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则它的内切圆半径是(　　)
A. B．1
C．2 D．
2
B
已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　　)
A. B.
C. D .
3
C
典题精讲
如图，正三角形ABC 的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为(　　)
A．2
B．3
C.
D．2
4
D
典题精讲
如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝3，连接AC，⊙P和⊙Q分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是(　　)
A.
B.
C.
D.
5
B
易错提示
如图，在△ABC 中，点I 是△ABC 的内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D 和BC 交于点E. 求证：DI＝DB.
易错点：混淆外心与内心的概念.
易错提示
如图，连接BI.
∵点I 是△ABC 的内心，
∴BI 平分∠ABC. ∴∠ABI＝∠CBI.
∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠DAC 与∠DBC 均为DC 所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠DBC.
∴∠ABI＋∠BAD＝∠CBI＋∠DBC，
∴∠BID＝∠IBD.
∴DI＝DB.
证明：
︵
易错提示
三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三角形三边垂直平分线的交点．本题中既出现了三角形的外接圆，又出现了三角形的内切圆，易混淆三角形的内心与外心的概念，造成证明错误．
易错总结：
学以致用
小试牛刀
下列说法：①三角形的内心不一定在三角形的内部；②若点I 是△ABC 的内心，则AI 平分∠BAC；③三角形有唯一的内切圆，圆有唯一的外切三角形．其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
1
B
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠A＝66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为(　　)
A．114°
B．122°
C．123°
D．132°
2
C
小试牛刀
如图，O 是△ABC 的内心，过点O 作EF∥AB，与AC，BC 分别相交于点E，F，则(　　)
A．EF＞AE＋BF
B．EF＜AE＋BF
C．EF＝AE＋BF
D．EF≤AE＋BF
3
C
小试牛刀
如图，以点O 为圆心的圆与△ABC 的三边分别交于点E，
F，G，H，M，N，且EF＝GH＝MN，求证：点O 是
△ABC 的内心．
证明：如图，过点O 作OD⊥AB 于点D，OP⊥BC 于点P，
OQ⊥AC 于点Q，
连接OE，OF，OG，OH，OM，ON.
∵EF＝GH＝MN，OE＝OF＝OG＝OH＝OM＝
ON，∴△OEF ≌ △OGH ≌ △OMN.
∴OD＝OP＝OQ.
∴点O 是△ABC 的内心．
小试牛刀
证明：(1)∵E 是△ABC 的内心，
∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC.
∵∠BED＝∠BAE＋∠EBA，∠DBE＝∠EBC＋
∠DBC，∠DBC＝∠CAE，
∴∠DBE＝∠DEB. ∴DB＝DE.
如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为
△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于D 点，连接BD 并延
长至F，使得DF＝BD，连接CF，BE.
(1)求证：DB＝DE；
(2)求证：直线CF 为⊙O 的切线．
小试牛刀
(2)如图，连接CD.∵∠DAB＝∠DAC，
∴ . ∴BD＝CD.
∵BD＝DF，∴CD＝DB＝DF.
∴∠DBC＝∠DCB，∠DCF＝∠DFC.
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BDC＝90°.
∴∠DBC＝∠DCB＝∠DCF＝∠DFC＝45°.
∴∠BCF＝90°，
即BC⊥CF.
∴直线CF 是⊙O 的切线．
小试牛刀
已知△ABC 的内切圆⊙O与AB，BC，AC 分别相切于点D，E，F，
若 ，如图①.
(1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；
(2)设AE 与DF 相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM 的长．
小试牛刀
(1)△ABC 为等腰三角形．
证明：∵△ABC 的内切圆⊙O 与AB，BC，AC 分别
相切于点D，E，F，
∴∠CFO＝∠CEO＝∠BDO＝∠BEO＝90°.
∵四边形内角和为360°，
∴∠EOF＋∠FCE＝180°，
∠DOE＋∠DBE＝180°.
∵ ，
∴∠EOF＝∠DOE.
∴∠FCE＝∠DBE. ∴AB＝AC.
∴△ABC 为等腰三角形；
解：
小试牛刀
(2)连接OB，OC，OD，OF，如图所示．
易知在等腰三角形ABC 中，AE⊥BC，
∴E 是BC 的中点，即BE＝CE.
∵在Rt△AOF 和Rt△AOD 中，
∴Rt△AOF ≌ Rt△AOD. ∴AF＝AD，
同理Rt△COF ≌ Rt△COE，CF＝CE＝2，
Rt△BOD ≌ Rt△BOE，BD＝BE.
∴BD＝CF，∴DF∥BC. ∴
课堂小结
课堂小结
内切圆：与三角形的三边都相切的圆有且只有一个，我们称这个圆为三角形的内切圆.
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）