【班海精品】冀教版（新）九下-30.2 二次函数的图像和性质 第二课时【优质课件】

(共42张PPT)
30.2 二次函数的图像和性质
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾：
二次函数 y =ax 的性质
函数y＝ax 2 图像 开口 方向 顶点坐标 对称轴
a＞0 向上 (0，0) y 轴(直线
x＝0)
a＜0 向下 (0，0) y 轴(直线
x＝0)
情景导入
续表：
函数y＝ax 2 增减性 最值
a＞0 当x＞0时，y 随x 的增大而增大当x＜0时，y 随x 的增大而减小 当x＝0时，
y最小值＝0
a＜0 当x＞0时，y 随x 的增大而减小当x＜0时，y 随x 的增大而增大 当x＝0时，
y最大值＝0
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数 y =ax 2+c 的图像
做一做
1.画二次函数 y = x 2+1的图像，你是怎样画的？与同伴进行
交流.
2.二次函数 y =x 2+1的图像与二次函数 y =x 2 的图像有什么关
系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐
标分别是什么？
二次函数 y = x 2-1的图像呢？
探索新知
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y =x 2+1和 y=x 2 －1的图像
解： 列表；
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y =x 2+1
y =x 2-1
… 10 5 2 1 2 5 10 …
… 8 3 0 -1 0 3 8 …
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y =x 2+1
描点；
连线.
y =x 2－1
虚线为y＝x 2
的图像
探索新知
导引：根据二次函数 y＝ax 2＋c (a≠0)的图像的对称轴是
y 轴直接选择．
例1 抛物线 y＝－2x 2＋1的对称轴是(　　)
A．直线x＝　　　　 B．直线x＝－
C．y 轴 D．直线x＝2
C
探索新知
总 结
函数 y＝ax 2＋c (a≠0)与函数 y＝ax 2(a≠0)图像特征：
只有顶点坐标不同，其他都相同．
典题精讲
1 抛物线 y＝ax 2＋(a－2)的顶点在x 轴的下方，则a 的取
值范围是____________．
2 在平面直角坐标系中，下列函数的图像经过原点的是(　　)
A．y＝ B．y＝－2x－3
C．y＝2x 2＋1 D．y＝5x
a＜2且a≠0
D
典题精讲
3 在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x 2－1与x 轴的交
点的个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
B
二次函数 y＝2x 2－3的图像是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是(　　)
A．抛物线开口向下
B．抛物线经过点(2，3)
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．抛物线与x 轴有两个交点
4
D
典题精讲
在二次函数：①y＝3x 2 ； ② y＝ x 2＋1；
③ y＝－ x 2－3中，图像开口大小顺序用序号
表示为(　　 )
A．①>②>③
B．①>③>②
C．②>③>①
D．②>①>③
4
C
探索新知
2
知识点
二次函数 y＝ax 2+c 的性质
思考：
(1)抛物线 y=x 2+1，y =x 2－1的开口方向、对称轴、
顶点各是什么
(2)抛物线 y =x 2+1，y =x 2－1与抛物线 y =x 2有什么关系？
抛物线 y =x 2+1：开口向上，对称轴是y 轴，顶点为(0，1).
抛物线 y =x 2－1：开口向上，对称轴是y轴，顶点为(0，－1).
探索新知
二次函数 y＝ax 2＋c (a≠0)的图像和性质
函数 y＝ax 2＋c (a＞0) y＝ax 2＋c (a＜0)
图像 c＞0
c＜0
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c ) (0，c )
探索新知
函数 y＝ax 2＋c (a＞0) y＝ax 2＋c (a＜0)
对称轴 y 轴(或直线x＝0) y 轴(或直线x＝0)
增减性 当x＜0时，y 随x 的增大而减小；当x＞0时，y 随x 的增大而增大 当x＜0时，y 随x 的增大而增大；当x＞0时，y 随
X 的增大而减小
最值 当x＝0时，y最小值＝c 当x＝0时，y最大值＝c
续表：
探索新知
例2 已知点(－7，y1)，(3，y2)，(－1，y3)都在抛物线 y＝
ax 2＋k (a＞0)上，则(　　)
A．y1＜y2＜y3　 B．y1＜y3＜y2
　 C．y3＜y2＜y1　 D．y2＜y1＜y3
∵抛物线 y＝ax 2＋k (a＞0)关于y 轴对称，且点(3，y2)
在抛物线上，∴点(－3，y2)也在抛物线上．
∵(－7，y1)，(－3，y2)，(－1，y3)三点都在对称轴左
侧，在y 轴左侧时，y 随x 的增大而减小，且－7＜－3
＜－1，∴y3＜y2＜y1.
C
导引：
探索新知
总 结
对于在抛物线的对称轴两侧的函数值的大小比较，运用转化思想．先根据对称性将不在对称轴同侧的点转化为在对称轴同侧的点，再运用二次函数的增减性比较大小．
典题精讲
1 对于二次函数 y＝3x 2＋2，下列说法错误的是(　　)
A．最小值为2
B．图像与x 轴没有公共点
C．当x<0时，y 随x 的增大而增大
D．图像的对称轴是y 轴
2 已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线 y＝x 2－1上，下列说法正确的是(　　)
A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2
C．若0y2 D．若x1y2
C
D
探索新知
3
知识点
二次函数 y＝ax 2+c 与y＝ax 2之间的关系
观察知1中抛物线y =x 2+1，抛物线y =x 2－1与抛物线y =x 2，它们之间有什么关系？
探索新知
抛物线y =x 2+1，y =x 2－1与抛物线y =x 2的关系：
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y =x 2+1
抛物线y =x 2
抛物线 y =x 2－1
向上平移
1个单位
抛物线y =x 2
向下平移
1个单位
y =x 2－1
y =x 2
抛物线 y =x 2+1
函数的上下移动
探索新知
例3 将二次函数 y＝x 2的图像向下平移1个单位，
则平移后的图像对应的二次函数的表达式为(　　)
A．y＝x 2－1 　B．y＝x 2＋1　
C．y＝(x－1)2　 D．y＝(x＋1)2
导引：由“上加下减”的原则可知，将二次函数 y＝x 2的图
象向下平移1个单位，则平移后的图像对应的二
次函数的表达式为 y＝x 2－1.
A
探索新知
总 结
平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加或减的数值．
探索新知
例4 抛物线y＝ax 2＋c 与抛物线 y＝－5x 2的形状相同，开口方
向一样，且顶点坐标为(0，3)，则其所对应的函数表达式是
什么？它是由抛物线 y＝－5x 2怎样平移得到的？
导引：由两抛物线的形状、开口方向相同，可确定a 的值；再由顶
点坐标为(0，3)可确定c 的值，从而可确定平移的方向和距离．
探索新知
解：因为抛物线 y＝－5x 2与抛物线 y＝ax 2＋c 的形状相同，
开口方向一样，所以a＝－5.又因为抛物线y＝ax 2＋c
的顶点坐标为(0，3)，所以c＝3，其所对应的函数表
达式为 y＝－5x 2＋3，它是由抛物线 y＝－5x 2向上平移
3个单位得到的．
探索新知
总 结
根据二次函数y＝ax 2＋c 的图像和性质来解此类问题．a 确定抛物线的形状及开口方向，c 的正负和绝对值大小确定上下平移的方向和距离．
典题精讲
1 抛物线 y＝2x 2＋1是由抛物线 y＝2x 2 (　　)得到的．
A．向上平移2个单位长度
B．向下平移2个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
2 如果将抛物线 y＝x 2＋2向下平移1个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是(　　)
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2
C．y＝x 2＋1 D．y＝x 2＋3
C
C
典题精讲
3 如图，两条抛物线y1＝－ x 2＋1，y2＝－ x 2－1 与分别经过点(－2，0)，(2，0)且平行于y 轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为(　　)
A．8
B．6
C．10
D．4
A
易错提醒
能否通过上下平移二次函数y＝ x 2的图像，使得到的新的函数图像过点(3，－3)？若能，说出平移的方向和距离；若不能，说明理由．
易错点：对平移的规律理解不透彻
能．设平移后的图像对应的二次函数表达式为y＝ x 2＋b，将点(3，－3)的坐标代入表达式，得b＝－6.所以平移的方向是向下，平移的距离是6个单位长度．
解：
学以致用
小试牛刀
已知抛物线y＝ x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F (0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为( ，3)，P 是抛物线y＝ x 2＋1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
1
C
小试牛刀
在同一坐标系中，一次函数y＝－mx＋n 2与二次函数 y＝x 2＋m 的图像可能是(　　)
2
D
小试牛刀
3 抛物线 y＝ax 2＋k 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开
口方向与抛物线y＝－ x 2相同．
(1)确定a，k 的值；
(2)画出抛物线y＝ax 2＋k.
解：
(1)由题意易知a＝－ ，把点(0，2)的坐标代入 y＝
－ x 2＋k，得k＝2.
(2)略．
小试牛刀
如图，顶点M 在y 轴上的抛物线与直线 y＝x＋1相交于A，B
两点，且点A 在x 轴上，点B 的横坐标为2，连接AM，BM.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)判断△ABM 的形状，并说明理由．
小试牛刀
(1)∵A点为直线 y＝x＋1与x 轴的交点，∴A(－1，0)．又B
点的横坐标为2，代入 y＝x＋1可求得y＝3，∴B (2，3)．
∵抛物线顶点在y 轴上，∴可设抛物线的表达式为y＝ax 2＋c，
把A，B 两点坐标代入可得 解得
∴抛物线的表达式为y＝x 2－1.
(2)△ABM 为直角三角形，理由如下：由(1)中求得的抛物线
表达式为y＝x 2－1可知M 点的坐标为(0，－1)，
∴AM＝ ，AB＝
BM＝
∴AM 2＋AB 2＝2＋18＝20＝BM 2.
∴△ABM 为直角三角形．
解：
小试牛刀
5 如图，抛物线 y＝－ x 2＋2与x 轴交于A，B 两点，其
中点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上．
(1)试写出该抛物线的对称轴和顶点C 的坐标．
(2)在抛物线上是否存在一点M，使△MAC ≌ △OAC？
若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
(1)抛物线的对称轴是y 轴，顶点C 的
坐标为(0，2)．
小试牛刀
(2)不存在．理由：由已知条件易求出点A 的坐标为(2，0)，
点B 的坐标为(－2，0)，则OA＝OB＝2，又易知OC＝
2，故△OAC 是等腰直角三角形．假设存在一点M，使
△MAC ≌ △OAC，∵AC 为公共边，OA＝OC，∴点M
与点O 关于直线AC 对称，即四边形OAMC 是正方形．
∴M点的坐标为(2，2)．当x＝2时，y＝－ x 2＋2＝
－ ×22＋2＝0≠2，即点M 不在抛物线y＝－ x 2＋2
上． ∴在抛物线上不存在点M，使△MAC ≌ △OAC.
小试牛刀
廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一座抛物线形廊桥的示意
图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－ x 2＋10，为保护
廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8 m的点E，F 处要
安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．( ≈2.24，结果
精确到1 m)
解：
由题意得点E，F 的纵坐标为8，把y＝8代入y＝－ x 2＋10，解得x＝4 或x＝－4 ，
所以EF＝|4 －(－4 )|＝8 ≈
18(m)，即这两盏灯的水平距离约
为18 m.
课堂小结
课堂小结
y =ax 2+c (a≠0) a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增 减 性
向上
向下
( 0 ，c )
( 0，c )
y 轴
y 轴
当x <0时，y 随着x 的增大而减小.
当x >0时，y 随着x 的增大而增大.
当x <0时，y 随着x 的增大而增大.
当x >0时，y 随着x 的增大而减小.
二次函数y =ax 2+c 的图像与性质
课堂小结
y =ax 2+c (a≠0) a>0 a<0
极值
续表
x =0时，y最小= c
x =0时，y最大=c
抛物线y =ax 2 +c (a≠0)的图像可由y =ax 2的图像通过上下平移|c |个单位得到.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）