【班海精品】冀教版（新）九下-30.2 二次函数的图像和性质 第五课时【优质课件】

(共42张PPT)
30.2 二次函数的图像和性质
第5课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
y＝ax 2
y＝a (x－h)2 ＋k
上正下负
左加右减
一般地，二次函数y＝a (x－h)2 ＋k 与y＝ax 2的________相同，_______不同.
形状
位置
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数 y =ax 2+bx+c 与y =a (x-h)2+k 之间的关系
探究：
如何画出 y＝ x 2－6x＋21的图像呢？
我们知道，像y＝a (x－h)2 ＋k 这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k )，二次函数 y＝ x 2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
探索新知
y＝ x 2－6x＋21
配
方
y＝ (x－6)2＋3.
你知道是怎样配方的吗？
3.“化”：化成顶点式.
y＝ (x 2－12 x )＋21
y＝ (x 2－12x＋36－36)＋21
y＝ (x－6) 2＋21－18
y＝ (x－6) 2＋3
1. “提”：提出
二次项系数；
2.“配”：括
号内配成完全
平方式；
探索新知
求二次函数 y =ax 2＋bx＋c 的顶点式？
配方：
提取二次项系数
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简：去掉中括号
探索新知
所以 y =ax 2＋bx＋c 的对称轴是：
顶点坐标是：
探索新知
例1 求二次函数y =ax 2+bx+c 图像的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数 y =ax 2+bx+c 图像的对称轴是直
线x = , 顶点坐标是
解：把二次函数 y =ax 2+bx+c 的右边配方，得
y =ax 2+bx+c
探索新知
例2 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y＝2x 2－5x＋3.
导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种
是代入公式法．
解法一：用配方法：
y＝2 ＋3，(将含x 项结合在一起，提取二次项系数)
(按完全平方式的特点，
常数项为一次项系数一半的平方)
(应用完全平方公式)
探索新知
解法二：用公式法：
设顶点式为 y＝a (x－h)2＋k. ∵a＝2，b＝－5，c＝3，
探索新知
总 结
配方法在因式分解，整式运算及解一元二次方程中有广泛的应用，它有助于提高数学能力，而公式法简便易掌握．
典题精讲
二次函数 y＝x 2－2x＋4化为y＝a (x－h)2＋k 的形式，
下列正确的是(　　)
A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3
C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋4
B
抛物线 y＝x 2－2x＋m 2＋2(m是常数)的顶点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2
A
典题精讲
若抛物线 y＝x 2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy 先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的表达式应变为(　　)
A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5
C．y＝x 2－1 D．y＝x 2＋4
3
C
探索新知
2
知识点
二次函数 y =ax 2+bx+c 的图像和性质
思考：
你能说出二次函数 y=ax 2+bx+c (a≠0)的图像的形状、开口方向、对称轴、顶点坐标和最值吗
探索新知
画出抛物线y＝x 2＋2x－1的对称轴和顶点坐标，并画出它的图像.
解： 列表；
x … -3 -2 -1 0 1 …
… 2 -1 -2 -1 2 …
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
y =x 2+2x－1
描点；
连线.
y＝x 2＋2x－1
-1
-2
-3
对称轴x＝－1，
顶点坐标为(－1，－2).
探索新知
探究：你能用上面的方法讨论二次函数
y＝－2x 2－4x＋1的图像和性质吗？
探索新知
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像与性质
函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0) y＝ax 2＋bx＋c (a＜0)
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴　 直线x＝－ 直线x＝－
探索新知
续表：
函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0) y＝ax 2＋bx＋c (a＜0)
增减性　 当x＜－ 时，y 随 x 的增大而减小； 当x＞－ 时，y 随x 的增大而增大 当x＜－ 时，y 随x 的增大而增大；
当x＞－ 时，y 随x 的增大而减小
最值 当x＝－ 时，y 有最小 值，为 当x＝－ 时，y 有最大
值，为
典题精讲
求下列抛物线的对称轴和顶点坐标，并指出他们的开口方向.
1
(1)∵
∴抛物线的对称轴为直线 x＝1，
顶点坐标为(1，－2)，开口向上．
(2)∵
∴抛物线的对称轴为直线 x＝
顶点坐标为 ，开口向下．
解：
典题精讲
画出抛物线 y＝x 2－4x＋2的图像，并说明当x＝－2和x＝－1时，哪一个对应的函数值较大.
2
y＝x 2－4x＋2的图像如图.
由函数图像可知，
当x＜2时，y 随x 的增大而减小，
∵－2＜－1＜2，
∴当x＝－2时对应的函数值较大．
解：
典题精讲
3 对于二次函数y＝－ x 2＋x－4，下列说法正确的是(　　)
A．当x＞0时，y 随x 的增大而增大
B．当x＝2时，y 有最大值－3
C．图像的顶点坐标为(－2，－7)
D．图像与x 轴有两个交点
B
探索新知
3
知识点
二次函数 y =ax 2 +bx+c 的图形与a，b，c 之间的关系
项目 字母 字母的符号 图像的特征
a a＞0 开口向上
a＜0 开口向下
b ab＞0(a，b 同号) 对称轴在y 轴左侧
ab＜0(a，b 异号) 对称轴在y 轴右侧
c c＝0 图像过原点
c＞0 与y 轴正半轴相交
c＜0 与y 轴负半轴相交
探索新知
∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y 轴的右边，∴a，b 异号，∴b＞0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴，∴c＞0，∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2－4ac＞0.
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．a＜0，b＜0，c＞0，b 2－4ac＞0
B．a＞0，b＜0，c＞0，b 2－4ac＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0，b 2－4ac＞0
D．a＜0，b＞0，c＞0，b 2－4ac＞0
D
例3
导引：
探索新知
总 结
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 系数符号的确定方法：
(1)a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞ 0；否则a＜ 0.
(2)b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x＝ 判断b 的符号．
(3)c 由抛物线与y 轴的交点位置确定：交点在y 轴的正半轴，则c＞0；
交点在y 轴的负半轴，则c＜ 0；交点在原点处，则c＝0.
(4)b 2－4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2－4ac＞ 0；
1个交点，b 2－4ac＝0；没有交点，b 2－4ac＜ 0.
典题精讲
在平面直角坐标系xOy 中，二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．abc＜0，b 2－4ac＞0
B．abc＞0，b 2－4ac＞0
C．abc＜0，b 2－4ac＜0
D．abc＞0，b 2－4ac＜0
1
B
典题精讲
一次函数 y＝ax＋b (a≠0)与二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
2
C
典题精讲
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的图像如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b 2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m (am＋b)＋b＜a (m≠－1)．其中结论正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
3
C
易错提醒
以 x 为自变量的二次函数 y＝x 2－2(b－2)x＋b 2－1的图像不经过第三象限，则实数b 的取值范围是(　　)
A．b≥ B．b≥1或b≤－1
C．b≥2 D．1≤b≤2
易错点：不善于结合方程的根的知识而致错
A
学以致用
小试牛刀
在二次函数 y＝x 2－2x－3中，当0≤x≤3时，y 的最大值和最小值分别是(　　)
A．0，－4　　 B．0，－3　　
C．－3，－4　　 D．0，0
1
A
若二次函数 y＝x 2＋mx 的图像的对称轴是直线x＝3，则关于x 的方程x 2＋mx＝7的解为(　　)
A．x1＝0，x2＝6 B．x1＝1，x2＝7
C．x1＝1，x2＝－7 D．x1＝－1，x2＝7
2
D
小试牛刀
在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线 y＝x 2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是(　　)
A． B．
C． D．
3
A
小试牛刀
4 已知抛物线 y＝x 2＋2x－3.
(1)试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(2)用“五点法”画出该抛物线，并用“平移法”说明该
抛物线是怎样由抛物线 y＝x 2平移得到的．
解：
(1) y＝x 2＋2x－3＝(x＋1)2－4. ∴抛物线的开口向上，顶
点坐标为(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.
(2)画图略．抛物线 y＝x 2先向下平移4个单位长度，再向
左平移1个单位长度得到抛物线 y＝(x＋1)2－4.(平移
方法不唯一)
小试牛刀
如图，已知抛物线y＝－x 2＋mx＋3与x 轴交于A，B 两点，
与y 轴交于点C，点B 的坐标为(3，0)．
(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P 是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC 的
值最小时，求点P 的坐标．
(1)把点B 的坐标(3，0)代入y＝－x 2＋mx＋3得0＝－32
＋3m＋3，解得m＝2.　
∴y＝－x 2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.
∴ 顶点坐标为(1，4)．
解：
小试牛刀
(2)由题易知点C 的坐标为(0，3)．如图，连接BC 交抛物
线的对称轴l 于点P，连接PA，则此时PA＋PC 的值最
小，设直线BC 的表达式为 y＝kx＋b，
∵点C (0，3)，点B (3，0)，
∴ 解得
∴直线BC 的表达式为 y＝－x＋3.
当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴当PA＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1，2)．
小试牛刀
设a，b 是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b 两数中较大者，
例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4.
参照上面的材料，解答下列问题：
(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；
(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x 的取值范围；
(3)求函数 y＝x 2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，
函数 y＝x 2－2x－4的图象如图所示，请你在图中作
出函数 y＝－x＋2的图象，并根
据图象直接写出max{－x＋2，
x 2－2x－4}的最小值．
5
3
小试牛刀
解：
(2)∵max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，
∴3x＋1≤－x＋1，解得x≤0.
(3)联立两函数解析式成方程组
解得
∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．
画出直线y＝－x＋2，如图所示，
观察函数图象可知，当x＝3时，
max{－x＋2，x 2－2x－4}取最小值－1.
课堂小结
课堂小结
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像与性质
开口方向：当a＞0时，开口向上；
当a＜0时，开口向下；
顶点坐标：
对称轴：直线x＝－
课堂小结
函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0) y＝ax 2＋bx＋c (a＜0)
增减性　 当x＜－ 时，y 随x 的增大而减小； 当x＞－ 时，y 随x 的增大而增大 当x＜－ 时，y 随x 的增大而增大；
当x＞－ 时，y 随x 的增大而减小
最值 当x＝－ 时，y 有最小 值，为 当x＝－ 时，y 有最大
值，为
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）