【班海精品】冀教版（新）九下-30.2 二次函数的图像和性质 第三课时【优质课件】

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30.2 二次函数的图像和性质
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
二次函数 y＝ax 2，y＝ax 2＋k 有何位置关系？
回顾旧知
二次函数 y＝ax 2向上平移k (k＞0)个单位就得到二
次函数 y＝ax 2＋k 的图象是什么？
二次函数 y＝ax 2向下平移k (k＞0)个单位就得到二
次函数 y＝ax 2－k 的图象是什么？
y＝ax 2与 y＝ax 2＋k 的性质呢？
情景导入
前面我们学习了y＝ax 2，y＝ax 2＋k 型二次函数的图象和性质，今天我们将学习另一种类型的二次函数的图象和性质.
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y=a(x-h)2的图象
议一议：
二次函数y = (x-1)2的图象与二次函数 y = x 2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y = (x+1)2的图象与二次函数y = (x-1)2的图象有什么关系吗？
探索新知
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
解：先列表
描点
画出二次函数 与 的图像，
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
-2
…
0
-0.5
-2
-0.5
-8
…
-4.5
-8
…
-2
-0.5
0
-4.5
-2
…
-0.5
x=－1
x=1
由图知：对称轴是直线x＝h，
顶点坐标是(h，0).
虚线为
的图像
探索新知
从形状上看，二次函数 与
的图像与二次函数 的图像的形状和位置有什么关系
形状相同，位置不同.
典题精讲
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是(　　)
A．(－2，0) B．(2，0)
C．(0，－2) D．(0，2)
在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是(　　)
A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x 2－2
C．y＝－2x 2－2 D．y＝2(x－2)2
B
A
典题精讲
对于抛物线 y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　)
①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
④与x 轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
3
探索新知
抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值
(2)抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性和最值
2
知识点
二次函数y＝a(x-h)2的性质
探索新知
根据图象得出二次函数 y＝a (x－h)2的性质如下表：
二次函数 y＝a (x－h)2 图象的 开口方向 图象的 对称轴 图象的顶点坐标 最值
a＞0 向上 直线 x＝h (h，0) 当x＝h 时，
y最小值＝0
a＜0 向下 当x＝h 时，
y最大值＝0
探索新知
二次函数 y＝a (x－h)2 增减性
a＞0 在对称轴的左侧，y 的值随x 值的增大而减小；在对称轴的右侧，y 的值随x 值的增大而增大
a＜0 在对称轴的左侧，y 的值随x 值的增大而增大；在对称轴的右侧，y 的值随x 值的增大而减小
续表：
探索新知
例1 下列命题中，错误的是(　　)
A．抛物线 y＝－ x 2－1不与x 轴相交
B．抛物线 y＝ x 2－1与y＝ (x－1)2形状相同，
位置不同
C．抛物线y＝ 的顶点坐标为
D．抛物线y＝ 的对称轴是直线x＝
D
探索新知
负半轴上，所以不与x 轴相交；函数y＝ x 2－1与y＝
(x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝ 的顶点坐标为 ；抛物线y＝
的对称轴是直线x＝－ .
导引：抛物线y＝－ x 2－1的开口向下，顶点在y 轴的
探索新知
总 结
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
典题精讲
在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c 和二次函数 y＝a (x＋c )2的图象可能是(　　)
B
1
典题精讲
2 关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是(　　)
A．其图象的开口向上
B．其图象的对称轴是直线x＝3
C．其图象的顶点坐标是(0，3)
D．当x＞－3时，y 随x 的增大而减小
D
典题精讲
已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A (x1，y1)，B (x2，y2)，
如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是(　　)
A．y1＜y2＜0
B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1
D．y2＜y1＜0
A
探索新知
3
知识点
二次函数y =a（x-h）2与y =ax 2之间的关系
问 题
前面已画出了抛物线y =－ (x+1)2，y =－ (x－1)2，在此坐标系中画出抛物线y =－ x 2 (见图中虚线部分), 观察抛物线y =－ (x+1)2，y =－ (x－1)2与抛物线y =－ x 2有什么关系？
探索新知
抛物线 与抛物线
有什么关系
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
向左平移
1个单位
向右平移
1个单位
即:
左加右减
探索新知
顶点(0，0)
顶点(2，0)
直线x =－2
直线x =2
向右平移
2个单位
向左平移
2个单位
顶点(－2，0)
对称轴：y 轴
即直线：x =0
在同一坐标系中作出下列二次函数：
向右平移
2个单位
向右平移
2个单位
向左平移
2个单位
向左平移
2个单位
探索新知
例2 二次函数y =－ (x－5)2的图象可有抛物线 y =－ x 2
沿___轴向___平移___个单位得到，它的开口向___，
顶点坐标是_________，对称轴是_________.当x =___时，
y 有最____值.当x___5时，y 随x 的增大而增大；当
x___5时，y 随x 的增大而减小.
y =－ (x－5)2的图象与抛物线y =－ x 2的形状相
同，但位置不同，y =－ (x－5)2的图象由抛物线
y =－ x 2向右平移5个单位得到.
x
右
下
大
5
（5，0）
直线x =5
5
<
>
导引：
典题精讲
把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是(　　)
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
A
典题精讲
对于任何实数h，抛物线 y＝－x 2与抛物线 y ＝－(x－h)2的相同点是(　　)
A．形状与开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点相同
D．都有最低点
A
典题精讲
将函数 y＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是(　　)
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度
C．向上平移3个单位长度
D．向下平移1个单位长度
D
3
易错提醒
对于二次函数 y＝3x 2＋1和 y＝3(x－1)2，以下说法：
①它们的图象都是开口向上；
②它们图象的对称轴都是 y 轴，顶点坐标都是(0，0)；
③当x >0时，它们的函数值 y 都是随着x 的增大而增大；
④它们图象的开口的大小是一样的．
其中正确的说法有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质区别不清
B
易错提醒
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
学以致用
小试牛刀
已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y 随x 的增大而增大；当x＞－3时，y 随x 的增大而减小，则当x＝1时，y 的值为(　　)
A．－12 B．12
C．32 D．－32
D
1
小试牛刀
平行于x 轴的直线与抛物线y＝a (x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(　　)
A．(1，2) B．(1，－2)
C．(5，2) D．(－1，4)
C
2
小试牛刀
3 已知抛物线 y＝a (x－h)2的对称轴为x＝－2，且过点(1，－3)．
(1)求抛物线的表达式．
(2)画出函数的图像．
(3)从图像上观察，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？
当x 取何值时，函数有最大值(或最小值)
解：
(1)由题意知h＝－2.将点(1，－3)的坐标代入y＝a (x＋2)2
得a＝－ ，所以抛物线的表达式为y＝－ (x＋2)2.
(2)图像略．(3)当x<－2时，y 随x 的增大而增大；当x＝
－2时，函数有最大值．
小试牛刀
4 已知抛物线 y＝a (x－h)2向右平移3个单位长度后得
到抛物线 y＝ x 2.
(1)求a，h 的值；
(2)写出抛物线 y＝a (x－h)2的对称轴及顶点坐标．
解：
(1)a＝ ，h＝－3.
(2)抛物线 y＝ (x＋3)2的对称轴为x＝－3，顶点坐
标为(－3，0)．
小试牛刀
如图，将抛物线 y＝x 2向右平移a 个单位长度后，顶点为A，
与y 轴交于点B，且△AOB 为等腰直角三角形．
(1)求a 的值．
(2)在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC 为等腰
直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标，并求
S△ABC；若不存在，请说明理由．
小试牛刀
(1)依题意将抛物线 y＝x 2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即
y＝x 2－2ax＋a 2.
又OA＝OB，点A 的坐标为(a，0)，点B 的坐标为(0，a 2)，
∴a 2＝a. ∵a ≠ 0，∴a＝1.
(2)存在．由(1)可得点 A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为
(0，1)，由抛物线的对称性可知，C 点的坐标为(2，
1)，此时可求AB＝AC，∠BAC＝90°.
又易知AB＝AC＝ ，
∴S△ABC＝ AB ·AC＝ × × ＝1.
解：
小试牛刀
6 如图，已知二次函数 y ＝(x＋2)2的图像与x 轴交于点A，
与y 轴交于点B.
(1)写出点A，点B 的坐标．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B 为顶
点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；
若不存在，请说明理由．
小试牛刀
解：
(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y
＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)，
∴OA＝2，OB＝4.
∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×2×4＝4.
(3)抛物线的对称轴为x＝－2.
(4)存在．①以OA 和OB 为邻边可作平行四边形P1AOB，
易求得P1(－2，4)；②以AB 和OB 为邻边可作平行
四边形P2ABO，易求得P2(－2，－4)．
课堂小结
课堂小结
二次函数 y＝a (x－h)2的图象和性质
y＝ax 2
y＝a (x－h)2图象
a＞0时，开口向上，最低点是顶点；
a＜0时，开口向下，最高点是顶点；
对称轴是直线x＝h，
顶点坐标是(h，0).
向右平移h 个单位(h＞0)
向左平移h 个单位(h＞0)
y＝a (x－h)2
y＝a (x＋h)2
同学们，
下节课见！
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