【班海精品】冀教版（新）九下-30.2 二次函数的图像和性质 第一课时【优质课件】

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30.2 二次函数的图像和性质
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数y =ax 2的图像
　　在同一直角坐标系中，画出函数 y = x 2 和 y =－x 2 的图象，这两个函数的图象相比， 有什么共同点？有什么不同点？
探索新知
y=x2
y=－x2
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
0
－0.25
－1
－2.25
－4
－0.25
－1
－2.25
－4
x
0
－2
1
1.5
0.5
2
－1.5
－0.5
－1
函数图象画法
列表
描点
连线
注意：列表
时自变量取
值要均匀和
对称
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
探索新知
想一想
在图中画出 y = x 2的图
象.它与 y =x 2，y =2x 2的图像有
什么相同和不同？
探索新知
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y= x2
在同一直角坐标系中画出函数y = x 2和y =2x 2的图像
(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
8
…
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
…
4.5
函数 y = x 2， y =2x 2的图像与函数 y=x 2(图中虚线图形)的图像相比，有什么共同点和不同点
当a＜0时，它
的图像又如
何呢？
探索新知
归 纳
一般地，抛物线 y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点.
当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；
当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.
不同点：
相同点：
探索新知
例1 在同一坐标系中画出 y1＝2x 2，y2＝－2x 2和 y3＝ x 2的
图像，正确的是图中的(　　)
D
探索新知
当x＝1时, y1, y2, y3的图像上的对应点分别是(1，2)，(1，－2)， (1， )， 可知，其中有两点在第一象限， 一点在第四象限，排除B，C；在第一象限内，y1的对应点(1，2)在上， y3的对应点(1， )在下，排除A.
导引：
典题精讲
1 关于二次函数y＝3x 2的图像，下列说法错误的是(　　)
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y 轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x 2的图像关于x 轴对称
C
若二次函数 y＝ax 2的图像过点P (－2，4)，则该图像
必经过点(　　)
A．(2，4)　 B．(－2，－4)
　 C．(－4，2)　 D．(4，－2)
A
典题精讲
3 关于二次函数 y＝2x 2与 y＝－2x 2，下列叙述正确的有(　　)
①它们的图像都是抛物线；
②它们的图像的对称轴都是 y 轴；
③它们的图像都经过点(0，0)；
④二次函数 y＝2x 2的图像开口向上，二次函数 y＝－2x 2的图像
开口向下；
⑤它们的图像关于x 轴对称．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
A
典题精讲
函数 y＝ax－2与y＝ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
4
A
探索新知
2
知识点
二次函数y＝ax 2的性质
议一议
观察二次函数y =x 2与 y =－x 2的图象，你能发现什么问题？
探索新知
抛物线
y =x 2
y =－x 2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
极值
（0，0）
（0，0）
y 轴
y 轴
在x 轴的上方（除顶点外）
在x 轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x =0时，最小值为0.
当x =0时，最大值为0.
探索新知
当a >0时，在对称轴的
左侧，y 随着x 的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y 随着x 的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y 随着x 的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y 随着x 的增大而
减小。
当x=－2时，y=4
当x=－1时，y=1
当x =1时，y =1
当x =2时，y =4
当x=－2时，y =－4
当x=－1时，y =－1
当x =1时，y =－1
当x =2时，y =－4
探索新知
例2 已知函数 y＝－ x 2，不画图象，回答下列各题．
(1)开口方向：______；
(2)对称轴：_____；
(3)顶点坐标：______；
(4)当x＞0时，y 随x 的增大而______；
(5)当x____时，y＝0；
(6)当x____时，函数值 y 最____，是___．
导引：根据二次函数 y＝ax 2(a≠0)的性质直接作答．
向下
y 轴
减小
（0，0）
=0
=0
大
0
探索新知
例3 已知抛物线y＝4x 2过点(x1，y1)和点(x2，y2)，当x1＜x2＜0
时，y1 ________ y2.
导引：方法一：不妨设x1＝－2，x2＝－1，
将它们分别代入y＝4x 2中，得y1＝16，
y2＝4，所以y1＞y2.
方法二：在平面直角坐标系中画出抛
物线 y＝4x 2，如图，显然y1＞y2.
方法三：因为a＝4＞0，x1＜x2＜0，在对称轴的左侧，
y 随x 的增大而减小，所以y1＞y2.
＞
探索新知
总 结
方法一运用特殊值法，找出符合题目要求的x1和x2的值，计算出对应的y1和y2的值，再比较它们的大小；
方法二运用数形结合思想，根据题意画出图像，利用图象来解题；
方法三运用性质判断法，根据抛物线对应的函数表达式的特点，结合图像的性质进行判断．
典题精讲
不画图像，请指出函数 y＝－9x 2图像的开口方向、对称轴、顶点坐标以及最高(或最低)点．
1
开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，最高点为(0，0)．
解：
2 若二次函数 y＝－ax 2，当x＝2时，y＝ ；则当x＝－2时，y＝________．
典题精讲
先指出抛物线 y＝－ x 2的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后再画出它的图像.
2
开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)．
图像如图．
解：
典题精讲
3 下列关于函数 y＝36x 2的叙述中，错误的是(　　)
A．图像的对称轴是y 轴
B．图像的顶点是原点
C．当x＞0时，y 随x 的增大而增大
D．y 有最大值
4 抛物线y＝ x 2，y＝x 2，y＝－x 2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对
称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
B
典题精讲
已知抛物线 y＝ax 2(a＞0)过A (－2，y1)，B (1，y2)两点，
则下列关系式一定正确的是(　　)
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
C
易错提醒
已知二次函数 y＝x 2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
易错点：不能准确地掌握二次函数 y＝ax 2的图像与性质
易错提醒
当x＝－1时，y＝(－1)2＝1；
当x＝4时，y＝42＝16.
∴在－1≤x≤4这个范围内，函数 y＝x 2的最小值是1，最大值是16.
－1≤x≤4时，既包含了正数、零，又包含了负数，因此在这个范围内对应的函数值 y 随x 的变化情况要分段研究．实际上，当x＝0时，函数取得最小值0.而x＝－1时，y＝1；x＝4时，
y＝16，所以最大值为16.
∵－1≤x≤4包含了x＝0，∴函数 y＝x 2的最小值为0.当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.
∴当－1≤x≤4时，函数 y＝x 2的最大值为16.
错解：
诊断：
正解：
学以致用
小试牛刀
函数 y＝k (x－k )与y＝k x2，y＝ (k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是(　　)
1
C
小试牛刀
如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C1：y＝x 2(x ≥0)和抛物线C2：y＝ (x ≥0)交于A，B 两点，过点A 作CD∥x 轴分别与y 轴和抛物线C2交于点C，D，过点B 作EF∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E，F，则 的值为(　　)
B.
C. D.
2
D
小试牛刀
3 对于二次函数：①y＝3x 2；②y＝ x 2；③y＝ x 2，它们的图像在同一坐标系中，开口大小的顺序用序号来表示应是(　　)
A．②>③>① B．②>①>③
C．③>①>② D．③>②>①
A
小试牛刀
4 已知函数 y＝(m＋3)x m 2＋3m－2是关于x 的二次函数．
(1)求m 的值．
(2)当m 为何值时，该函数图像的开口向下？
(3)当m 为何值时，该函数有最小值？
解：
(1)根据题意，得
解得
∴m＝－4或m＝1.
小试牛刀
(2)∵函数图像的开口向下，
∴m＋3＜0.
∴m＜－3.
∴m＝－4.
∴当m＝－4时，该函数图像的开口向下．
(3)∵函数有最小值，∴m＋3＞0.
∴m＞－3.∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数有最小值．
小试牛刀
5 根据下列条件分别求a 的值或取值范围．
(1)函数 y＝(a－2)x 2，当x＞0时，y 随x 的增大而减小，
当x＜0时，y 随x 的增大而增大；
(2)函数 y＝(3a－2)x 2有最大值；
(3)抛物线 y＝(a＋2)x 2与抛物线y＝－ x 2的形状相同；
(4)函数 y＝axa 2＋a 的图像是开口向上的抛物线．
小试牛刀
(1)由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)由题意得3a－2＜0，解得a＜ .
(3)由题意得|a＋2|＝ ，
解得a1＝－ ，a2＝－ .
(4)由题意得a 2＋a＝2，解得a1＝－2，a2＝1.
又由题意知a＞0，∴a＝1.
解：
小试牛刀
已知一次函数 y＝kx＋b 与二次函数 y＝ax 2的图像如图所示，
其中一次函数的图像与x 轴，y 轴的交点分别为A (2，0)，B
(0，2)，直线与抛物线的交点分别为P，Q，且它们的纵坐标
的比为1∶4，求这两个函数的表达式．
小试牛刀
解：
把点A的坐标(2，0)和点B的坐标(0，2)分别代入 y＝kx＋b，
得 解得 ∴一次函数的表达式为 y＝－x＋2.
设点P 的坐标为(x1，y1)，点Q 的坐标为(x2，y2)，则y1∶y2＝
1∶4，∴y2＝4y1，即ax12?ax22＝1∶4.
又点Q 在第二象限，点P 在第一象限，∴x1∶x2＝－1∶2.
∴x2＝－2x1. ∴点Q 的坐标为(－2x1，4y1)．
把P，Q 两点的坐标分别代入y＝－x＋2，
得 解得
∴点P 的坐标为(1，1)．把点P 的坐标(1，1)代入 y＝ax 2，
得a＝1. ∴二次函数的表达式为 y＝x 2.
小试牛刀
如图，抛物线 y＝ax 2与直线 y＝kx＋b 在第一象限内交于点
A(2，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
(2)在x 轴上是否存在一点P，使 △AOP 为等腰三角形？
若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
(1)将A(2，4)的坐标代入 y＝ax 2得4＝4a，∴a＝1.
∴抛物线表达式为 y＝x 2.
小试牛刀
(2)设有一点P (x，0)使△AOP 为等腰三角形．
由题意知OA＝ ＝2 .
当OA＝OP 时，OP＝2 ，
∴P (2 ，0)或 P (－2 ，0)．
当OA＝AP 时，(x－2)2＋16＝20，
∴x＝0(舍去)或 x＝4. ∴P (4，0)．
当OP＝AP 时，x 2＝(x－2)2＋16，
∴x＝5. ∴P (5，0)．
∴当点P 的坐标为(2 ，0)，(－2 ，0)，(4，0)或
(5，0)时，△AOP 为等腰三角形．
课堂小结
课堂小结
1. 画函数图像的步骤有哪些？
2. 二次函数 y =ax 2的图像有哪些性质？
同学们，
下节课见！
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