【班海精品】冀教版（新）九下-30.4 二次函数的应用 第三课时【优质课件】

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30.4 二次函数的应用
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折或降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们就可以解决这些问题.
新课精讲
探索新知
1
知识点
用二次函数表示实际问题
根据实际问题列二次函数的关系式，一般要经历以下几个步骤：
(1)确定自变量与因变量代表的实际意义；
(2)找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系
列出方程或等式．
(3)将方程或等式整理成二次函数的一般形式．
探索新知
如图，已知边长为1的正方形ABCD，在BC 边上有一动点E，连接AE，作EF⊥ AE，交CD 边于点F.
(1)CF 的长可能等于 吗？
(2)点E 在什么位置时，
CF 的长为 ？
例1
A
D
F
C
E
B
探索新知
设BE＝x，CF＝y.
∵∠BAE＝∠CEF，
∴Rt△ABE∽ Rt△ECF.
∴
∴y＝－x 2＋x＝－(x－ )2＋ .
解：
探索新知
∵ y最大＝ ，
∴ CF 的长不可能等于 .
(2)设－x 2＋x＝ 即16x 2－16x＋3＝0.
解得x1＝ ，x2＝
∴当BE 的长为 或 时，均有CF 的长为 .
典题精讲
当路况良好时，在干燥的路面上，某种汽车的刹车距离s (m)与车速v (km/h)之间的关系如下表：
1
v (km/h) … 40 60 80 100 120 …
s (m) … 2 4.2 7.2 11 15.6 …
典题精讲
(1)在平面直角坐标系中描出每对(v，s)所对应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点.
解：(1)如图．
典题精讲
(2)利用图像验证刹车距离众s(m)与车速v(km/h)是否具有
如下关系：
解：分别令v＝40 km/h，60 km/h，80 km/h，100 km/h，
120 km/h，由
分别可得s＝2 m，4.2 m，7.2 m，11 m，15.6 m.
∴刹车距离s (m)与车速v (km/h)
具有 的关系．
典题精讲
(3)求s＝9 m时的车速v.
解：令s＝9 m，则
解得v1＝－100(km/h)(舍去)，v2＝90(km/h)．
∴当s＝9 m时，车速v＝90 km/h.
典题精讲
某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t (t 为正整数)的增大而增大，a 的取值范围应为_____________．
2
0＜a＜6
探索新知
2
知识点
利用二次函数的最值解实际问题
利用二次函数解决实际生活中的利润问题，一般运用“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”或“总利润＝总售价－总成本”建立利润与销售单价之间的二次函数关系式，求其图象的顶点坐标，获取最值．
探索新知
例2 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.
经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每
天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金
提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？
探索新知
设每间客房的日租金提高10x 元，则每天客房出租数会
减少6x 间.设客房日租金总收入为 y 元，
则 y = (160+10x ) (120-6x )= -60 (x-2)2+ 19 440.
∵x ≥0，且120-6x >0，∴0≤x< 20.
当x =2时，y最大= 19 440.
这时每间客房的日租金为160 +10×2=180 (元).
因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收人
最高，最高收入为 19 440 元.
解：
探索新知
例3 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量
为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品的档次，以拓展市场，若今
年这种玩具每件的成本比去年每件的成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出
厂价比去年每件的出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销
售量增加x 倍(0＜x≤1)．
(1)用含x 的代数式表示：今年生产的这种玩具每件的成本为___元，今年生产的
这种玩具每件的出厂价为____元；
(2)求今年这种玩具每件的利润y (元)与x 之间的函数关系式；
(3)设今年这种玩具的年销售利润为W 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利
润最大，最大年销售利润是多少万元？
探索新知
由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x )倍，每件的
出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x )倍，今年的年销售量是去
年年销售量的 (1＋x )倍．
解：(1)(10＋7x )；(12＋6x )
(2)y＝(12＋6x )－(10＋7x )＝2－x，
即y 与x 的函数关系式为 y＝2－x.
(3)W＝2(1＋x )(2－x )＝－2x 2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5，
∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W 有最大值．
W最大值＝4.5.
答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销
售利润为4.5万元．
导引：
探索新知
总 结
本题利用建模思想求解，由今年与去年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的倍数关系可以得到今年这种玩具的成本价、出厂价、销售量的表达式，再由“总利润＝每件商品所获利润×销售件数”可得二次函数的表达式，进而求出其最大值．
典题精讲
1 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益y (元)与旅行团人数x (人)满足表达式y＝－x 2＋100x＋28 400，要使收益最大，则此旅行团应有(　　)
A．30人　　 　 B．40人　
　C．50人　　 　 D．55人
C
典题精讲
某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了
促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期
可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售
价x 元，每星期的销售量为y 件．
(1)求y 与x 之间的函数表达式．
(2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润
是多少元？
(3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每星期至少
要销售该款童装多少件？
典题精讲
(1) y＝300＋30(60－x )＝－30x＋2 100.
(2)设每星期的销售利润为W 元，
则W＝(x－40)(－30x＋2 100)
＝－30(x－55)2＋6 750.
∴当x＝55时，W 取最大值为6 750.
∴每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，
最大利润为6 750元．
解：
典题精讲
(3)由题意得(x－40)(－30x＋2 100)≥6 480，
解得52≤x≤58.
当x＝52时，销售量为300＋30×8＝540(件)，
当x＝58时，销售量为300＋30×2＝360(件)，
∴该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，
每星期至少要销售该款童装360件．
易错提醒
草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y (kg)与销售单价x (元)符合一次函数关系，如图是 y 与x 的函数关系图象．
易错提醒
(1)求 y 与x 的函数表达式；
(2)设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．
易错点：将销售额当销售利润而致错
易错提醒
(1)设y 与x 的函数表达式为 y＝kx＋b，
根据题意，得
解得
∴y 与x 的函数表达式为 y＝－2x＋340(20≤x≤40)．
解：
k＝－2，
b＝340.
20k＋b＝300，
30k＋b＝280.
易错提醒
(2)由已知得W＝(x－20)(－2x＋340)
＝－2x 2＋380x－6 800
＝－2(x－95)2＋11 250，
∵－2<0，
∴当x≤95时，W 随x 的增大而增大．
∵20≤x≤40，
∴当x＝40时，W 最大，
最大值为－2×(40－95)2＋11 250＝5 200.
学以致用
小试牛刀
1 在一幅长60 cm，宽40 cm的矩形油画的四周镶一条金色
纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图
的面积是 y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么 y 关
于x 的函数表达式是(　　)
A．y＝(60＋2x )(40＋2x )
B．y＝(60＋x )(40＋x )
C．y＝(60＋2x )(40＋x )
D．y＝(60＋x )(40＋2x )
A
2 心理学家发现：学生对概念的接受能力y 与提出概念的时间
x (min)之间是二次函数关系，当提出概念13min时，学生对
概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30 min时，学生
对概念的接受能力就剩下31，则 y 与x 满足的二次函数表达
式为(　　)
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x 2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x 2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x 2＋2.6x＋43
D
小试牛刀
小试牛刀
随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的
选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，
C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点
与文化宫距离为x (单位：km)，乘坐地铁的时间y1(单位：min)是关于
x 的一次函数，其关系如下表：
地铁站 A B C D E
x/km 8 9 10 11.5 13
y1/min 18 20 22 25 28
小试牛刀
解：
(1)求y1关于x 的函数表达式；
(2)李华骑单车的时间(单位：min)也受x 的影响，其关系
可用y2＝ x 2－11x＋78来描述，请问：李华应选择在
哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间
最短？并求出最短时间．
(1)设y1＝kx＋b，将(8，18)，(9，20)的坐标代入，
得 解得
故y1关于x 的函数表达式为y1＝2x＋2.
小试牛刀
(2)设李华从文化宫回到家所需的时间为y (单位：min)，
则 y＝y1＋y2＝2x＋2＋ x 2－11x＋78＝ x 2－9x＋80，
∴当x＝9时，y 有最小值，ymin＝ ＝39.5.
答：李华应选择在B 站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时
间最短，最短时间为39.5 min.
小试牛刀
某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降
价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及
储存和损耗费用的相关信息如下表所示．已知该种水果的进价
为4.1元/斤，设销售该水果第x 天的利润为y 元，求y 与x
(1≤x＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
小试牛刀
时间x/天 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价/(元/斤) 第1次降价
后的价格 第2次降价
后的价格
销量/斤 80－3x 120－x
储存和损耗
费用/元 40＋3x 3x 2－64x＋400
(3)在(2)的条件下，若要使第15天的利润比(2)中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
小试牛刀
(1)设该种水果每次降价的百分率是x，
由题意得10(1－x )2＝8.1，
解得x＝10%或x＝190%(舍去)．
答：该种水果每次降价的百分率是10%.
(2)当1≤x＜9时，第一次降价后的价格为10×(1－10%)＝9(元/斤)，
∴y＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x＋352.
∵－17.7＜0，∴y 随x 的增大而减小，
∴当x＝1时，y 有最大值，
y最大值＝－17.7×1＋352＝334.3.
当9≤x＜15时，第2次降价后的价格为8.1元/斤，
解：
小试牛刀
∴y＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x＋400)
＝－3x 2＋60x＋80＝－3(x－10)2＋380，
∵－3＜0，∴当9≤x≤10时，y 随x 的增大而增大，
当10＜x＜15时，y 随x 的增大而减小．
∴当x＝10时，y 有最大值，y最大值＝380.
∵334.3＜380，∴当x＝10时，y 取最大值．
综上所述，y 与x (1≤x＜ 15)之间的函数关系式为
y＝ 第10天时销售利润最大．
(3)设第15天在第14天的价格基础上降a 元，
由题意得380－127.5≤(4－a)×(120－15)－(3×152－64×
15＋400)，解得a ≤0.5.
答：第15天在第14天的价格基础上最多可降0.5元．
小试牛刀
5 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x 天(1≤x≤90，且x 为整数)的售价与销售量的相关信息如图和下表所示．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y (单位：元/件)，每天的销售量为p (单位：件)，每天的销售利润为w (单位：元)．
(1)求出w 与x 的函数表达式．
(2)问销售该商品第几天时，当天的销售
利润最大？并求出最大利润．
(3)该商品在销售过程中，共有多少天每
天的销售利润不低于5 600元？请直接写出结果．
时间x/天 1 30 60 90
每天的销售量p/件 198 140 80 20
小试牛刀
解：
(1)当1≤x≤50时，设商品的售价y 与时间x 的函数表达式为y
＝kx＋b (k，b 为常数，且k≠0)，
根据题意，得
∴ 解得
∴当1≤x≤50时，售价y 与时间x 的函数表达式为y＝x＋40.
当50＜x≤90时，y＝90.
∴售价y 与时间x 的函数表达式为
y＝
由表格可知，每天的销售量p 与时间x 成一次函数．
小试牛刀
设每天的销售量p 与时间x 的函数表达式为p＝mx＋n (m，n 为常数，且m≠0)，
根据题意，得
∴ 解得
∴p＝－2x＋200(1≤x≤90，且x 为整数)．
当1≤x≤50时，w＝(y－30)·p＝(x＋40－30)(－2x＋200)＝
－2x 2＋180x＋2 000；
当50＜x≤90时，w＝(90－30)·(－2x＋200)＝－120x＋12 000.
综上，每天的销售利润w 与时间x 的函数表达式是
w＝
小试牛刀
(2)当1≤x≤50时，
w＝－2x 2＋180x＋2 000＝－2(x－45)2＋6 050，
∵a＝－2＜0且1≤x≤50，
∴当x＝45时，w 取最大值，最大值为6 050.
当50＜x≤90时，w＝－120x＋12 000，
∵－120＜0，
∴w 随x 的增大而减小．∴w<6 000.
综上可知，当x＝45时，w 最大，最大值为6 050.
即销售该商品第45天时，当天的销售利润最大，最大
利润是6 050元．　
(3)24天．
课堂小结
课堂小结
利润问题的基本关系式：
总利润＝单件利润×销售总量．
若销售单价每提高m 元，销售量相应减少n 件，
设提高x 元，则现销售量＝原销售量－
同学们，
下节课见！
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