【班海精品】冀教版（新）九下-30.5 二次函数与一元二次方程的关系 第二课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】冀教版（新）九下-30.5 二次函数与一元二次方程的关系 第二课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 09:33:47 | ||
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文档简介
(共45张PPT)
30.5 二次函数与一元二次方程的关系
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
一次函数 y＝kx＋b 的图象与x 轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数 y＝kx＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程 kx＋b＝0的根 .
温故知新
新课精讲
探索新知
1
知识点
利用二次函数的图像解一元二次方程
利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像；
(2)确定二次函数的图像与x 轴交点的个数，看交点的横坐
标在哪两个整数之间；
探索新知
动手操作：画出 y＝x 2－2x－3的图象
x
y
y ＝x 2－2x－3
探索新知
探究：图像与 x 轴的交点坐标是什么？
函数 y＝x 2－2x－3的图像与x 轴两个交点为(－1，0)(3，0)
方程x 2－2x－3 ＝0的两根是 x1＝ －1，x2 ＝ 3
你发现了什么？
(1)二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 与x 轴的交点的横坐标就是
当y＝0时一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0的根
(2)二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.
探索新知
解：如图 ，画出二次函数
y＝x 2－2x－6 的图像.
例1 求方程x 2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)
观察画出的抛物线，设它与x 轴的交点的横坐标为x1和x2，不妨设 x1＜x2.
现在来求x1的近似值.
探索新知
容易看出：当 x＝－2 时，y＞0；
当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内，
y 随x 的增大二减小，所以－2＜x1＜－1
(2)取－2和－1的中间数－1.5(中间数为 )，
代入表达式中试值
当 x＝－1.5时，y =(－1.5)2－2×(－1.5)－6 ＝－0.75＜0；
当x＝－2 时，y＞0；
在－2＜x＜－1.5范围内，y 随x 的增大而减小，
所以－2＜x1＜－1.5
探索新知
(3)取－2和－1.5的中间数－1.75，代入表达式中试值.
当 x＝－1.75时，y =(－1.75)2－2×(－1.75)－6
＝0.5625＞0；
当x＝－1.5 时，y＜0.
在－1.75＜x＜－1.5范围内，y 随x 的增大而减小，
所以－1.75＜x1＜－1.5.
探索新知
(4)取－1.75和－1.5的中间数－1.625，代入表达式中试值.
当 x＝－1.625时，y=(－1.625)2－2×(－1.625)－6
＝－0.109375＜0；
当x＝－1.75 时，y＞0.
在－1.75＜x＜－1.625范围内，y 随x 的增大而减小，
所以－1.75＜x1＜－1.625.
x1≈－1.7即为精确到0.1的近似值.
探索新知
解：先把方程化成x 2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数y＝x 2和
y＝－2x＋3的图像，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x 2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
例2 利用函数的图像，求方程x 2＋2x－3＝0的根．
探索新知
总 结
利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax 2＋bx＋c＝0化为ax 2＝－bx－c 的形式；
(2)在同一坐标系中画出 y＝ax 2与 y＝－bx－c 的图像；
(3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情况，
如有公共点，则公共点的横坐标即为ax 2＋bx＋c＝0的根．
1 求例题中x2精确到0.1的近似值.
解：如图 ，画出二次函数
y ＝x 2－2x－6的图像.
观察画出的抛物线，现在求 x2
的近似值．
(1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且在3＜x＜4范围内，y 随x 的增大而增大，∴3＜x2＜4.
典题精讲
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内，
y 随x 的增大而增大， ∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值．
当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0；
当x＝3.5时，y＜0. 在3.5＜x＜3.75范围内，
y 随x 的增大而增大，
∴3.5＜x2＜3.75.
典题精讲
(4)取3.5和3.75的中间数3.625代入表达式中试值．
当x＝3.625时，
y＝3.6252－2×3.625－6＝－0.109 375＜0；
当x＝3.75时，y＞0.在3.625＜x＜3.75范围内，
y 随x 的增大而增大，∴3.625＜x2＜3.75.
∴可取x2≈3.7为精确到0.1的近似值．
典题精讲
典题精讲
2 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像如图所示，则一元二
次方程ax 2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
D
典题精讲
3 如图是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像，图像上有两点
分别为A (2.18，－0.61)，B (2.68，0.44)，则方程ax 2＋
bx＋c＝0的一个解只可能是( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.55
D
典题精讲
下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值：
4
那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
C
典题精讲
(2)解法二：利用二次函数图像与x 轴的交点求解．如
图①，把方程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数 y
＝_____________的图像与x
轴交点的横坐标x1，x2，
则x1，x2就是方程的解．
x 2－x－1
(3)解法三：利用两个函数图像的交点求解．
①把方程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝
________的图像与直线
y＝_______的交点的横坐标；
②在图②中画出这两个函数
的图像，用x1，x2在x 轴上
标出方程的解．
x 2－x
1
②略．
解：
典题精讲
探索新知
2
知识点
利用二次函数的图像解一元二次不等式
根据图像可直观地回答使得y 的值大于、等于或小
于零时x 的取值(范围)，具体如下表所述：
图像 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
探索新知
例3 画出抛物线 y＝－x 2＋4x＋5，观察抛物线，回答下
列问题：
(1)x 为何值时，函数值 y＞0
(2)x 为何值时，函数值 y＝0
(3)x 为何值时，函数值 y＜0
导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x
轴和y 轴的交点，当函数值 y＞0时，对应图像上的点
在x 轴上方；当函数值 y＝0时，对应图像上的点位于
x 轴上；当函数值 y＜0时，对应图像上的点在x 轴的
下方．
探索新知
解：∵y＝－x 2＋4x＋5＝－(x 2－4x)＋5＝－(x 2－4x＋4)＋9＝
－(x－2)2＋9. ∴抛物线的顶点坐标
为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x 2＋4x＋5＝0，即x 2－4x－5＝
0，∴x1＝5，x2＝－1.∴抛物线与x
轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y 轴的
交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为
(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图
象．观察图像会发现：(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值 y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值 y＜0
探索新知
总 结
(1)作抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (b 2－4ac＞0)一般采用“五点法”，
而这“五点”一般为抛物线顶点，与x 轴的两交点，与y 轴的
交点及它关于对称轴的对称点．
(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出
二次函数的图像，观察图像解答，抛物线在 x 轴上方的部分，对
应的函数值大于0；抛物线在x 轴下方的部分，对应的函数值小于
0；抛物线与x 轴的公共点，对应的函数值等于0.
探索新知
例4 抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x 轴
的一个交点A 在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图像如图所
示，则下列结论：①4ac－b 2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c
＜0；④点M (x1，y1)，N (x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1
＜y2.正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
探索新知
导引：观察图像可知二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数解，所以Δ＝b 2－4ac >0，即4ac－b 2<0，故①正确；因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以－ ＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正确；由二次函数图像的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；由于二次函数在对称轴两侧的增减性不一样，当x1y2；当x1＜－1＜x2且－1－x1＝x2－(－1)时，y1＝y2，所以④错误．所以此题正确的结论有3个．故选C.
典题精讲
如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 交于A (－1，p )，B (4，q )两点，则关于x 的不等式mx＋n＞ax 2＋bx＋c 的解集是_______________．
1
x＜－1或x＞4
典题精讲
如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A．b 2＞4ac
B．ax 2＋bx＋c ≥－6
C．若点(－2，m )，(－5，n )
在抛物线上，则m＞n
D．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝－4
的两根为－5和－1
2
C
易错提醒
用图像法求x 2－x＋ ＝0的解．
易错点：不考虑方程根的情况盲目作图像而致错
画出抛物线 y ＝x 2－x＋ (如图)．
由图像可知抛物线与x 轴的交点为( ，0)，
所以原方程的解为x1＝x2＝
解：
学以致用
小试牛刀
已知一次函数y1＝4x，二次函数 y2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2 B．y1≥y2
C．y1＜y2 D．y1≤y2
1
D
小试牛刀
小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程 x 2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
2
(1)公式法：
∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b 2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
∴
即x1＝ x2＝ .
解：
小试牛刀
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的图像如图所示，根据
图像解答下列问题：
(1)写出方程ax 2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax 2＋bx＋c >0的解集；
(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；
(4)若方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，
求k 的取值范围．
小试牛刀
(1)x1＝1，x2＝3.
(2)1＜x＜3.
(3)x ≥2.
(4)∵方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，
∴抛物线 y＝ax 2＋bx＋c－k 与x 轴有两个交点，即抛
物线 y＝ax 2＋bx＋c 向下平移k 个单位长度后与 x 轴有
两个交点．
由图像可知抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 向下平移2个单位长
度后与x 轴有一个公共点，∴k＜2.
解：
小试牛刀
4 根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式－2x 2－4x ≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图像：根据不等式特征构造二次函数 y＝－2x 2－4x，并在下面的坐标系中(如图①)画出二次函数 y＝－2x 2－4x 的图像(只画出图像即可)．
②求得界点，标示所需：当 y＝0时，求得方程－2x 2－4x＝0的解为____________，并用锯齿线标示出函数 y＝－2x 2－4x 的图像中y ≥0的部分；
③借助图像，写出解集：由所标示图像，可得不等式－2x 2－4x ≥0的解集为__________________．
小试牛刀
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x 2－2x＋1＜4的解集．
①构造函数，在图②中画出图像；
②求得界点，标示所需；
③借助图像，写出解集．
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方
程的求根公式，直接写出关
于x 的不等式ax 2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集．
小试牛刀
(1)①图略．②x1＝0，x2＝－2；图略．③－2≤x≤0
(2)①构造二次函数 y＝x 2－2x＋1，并画出图像(图略)．
②当 y＝4时，求得方程x 2－2x＋1＝4的解为x1＝3，
x2＝－1；图略．
③借助图像，直接写出不等式x 2－2x＋1＜4的解集：
－1＜x＜3.
(3)①当b 2－4ac＞0时，解集为x＞ 或x＜
；②当b 2－4ac＝0时，解集为x≠
－ ；
③当b 2－4ac＜0时，解集为全体实数．
解：
小试牛刀
5 已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0)的图像与x 轴交于
A (x1，0)，B (x2，0)(x1＜x2)两点，与y 轴交于点C，x1，
x2是方程x 2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC ∶S△ACD；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
解：
(1)解方程x 2＋4x－5＝0，得x1＝－5，x2＝1. ∴A点的坐标为
(－5，0)，B 点的坐标为(1，0)，则抛物线为 y＝a (x＋5)
(x－1)＝ax 2＋4ax－5a，可得D 点的坐标为(－2，－9a)，
C 点的坐标为(0，－5a)．依题意画出图形，如图所示，则
OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点D 作 DE⊥y 轴
于点E，则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a.
小试牛刀
∴S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC＝
(DE＋OA)·OE－ DE · CE－ OA·OC＝
×(2＋5)×9a－ ×2×4a－ ×5×5a＝15a，
S△ABC＝ ×6×5a＝15a，∴S△ABC∶S△ACD＝1∶1.
(2)∵∠ADC＝90°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2.即52＋(5a)2＝(5－
2)2＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，即72a 2＝12.则a＝± .
∵a＞0，∴a＝ .故二次函数的表达式为 y＝ (x＋5)
(x－1)，即 y＝ x 2＋ x－ .
课堂小结
课堂小结
利用图像求一元二次方程的根的方法：直接画出二次函数y＝ax 2＋bx＋c 的图像，则图像与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为：
(1)作出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像；
(2)观察图像与x 轴交点的个数；
(3)若图像与x 轴有交点，估计出图像与x 轴交点的横坐标
即可得到一元二次方程的近似根．
课堂小结
图像 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
同学们，
下节课见！
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30.5 二次函数与一元二次方程的关系
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
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情景导入
一次函数 y＝kx＋b 的图象与x 轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数 y＝kx＋b 的图象与x 轴的交点的横坐标就是一元一次方程 kx＋b＝0的根 .
温故知新
新课精讲
探索新知
1
知识点
利用二次函数的图像解一元二次方程
利用二次函数的图像求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像；
(2)确定二次函数的图像与x 轴交点的个数，看交点的横坐
标在哪两个整数之间；
探索新知
动手操作：画出 y＝x 2－2x－3的图象
x
y
y ＝x 2－2x－3
探索新知
探究：图像与 x 轴的交点坐标是什么？
函数 y＝x 2－2x－3的图像与x 轴两个交点为(－1，0)(3，0)
方程x 2－2x－3 ＝0的两根是 x1＝ －1，x2 ＝ 3
你发现了什么？
(1)二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 与x 轴的交点的横坐标就是
当y＝0时一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0的根
(2)二次函数的交点问题可以转化为一元二次方程去解决.
探索新知
解：如图 ，画出二次函数
y＝x 2－2x－6 的图像.
例1 求方程x 2－2x－6＝0的近似值．(结果精确到0.1)
观察画出的抛物线，设它与x 轴的交点的横坐标为x1和x2，不妨设 x1＜x2.
现在来求x1的近似值.
探索新知
容易看出：当 x＝－2 时，y＞0；
当x＝－1时，y＜0，且在－2＜x＜－1范围内，
y 随x 的增大二减小，所以－2＜x1＜－1
(2)取－2和－1的中间数－1.5(中间数为 )，
代入表达式中试值
当 x＝－1.5时，y =(－1.5)2－2×(－1.5)－6 ＝－0.75＜0；
当x＝－2 时，y＞0；
在－2＜x＜－1.5范围内，y 随x 的增大而减小，
所以－2＜x1＜－1.5
探索新知
(3)取－2和－1.5的中间数－1.75，代入表达式中试值.
当 x＝－1.75时，y =(－1.75)2－2×(－1.75)－6
＝0.5625＞0；
当x＝－1.5 时，y＜0.
在－1.75＜x＜－1.5范围内，y 随x 的增大而减小，
所以－1.75＜x1＜－1.5.
探索新知
(4)取－1.75和－1.5的中间数－1.625，代入表达式中试值.
当 x＝－1.625时，y=(－1.625)2－2×(－1.625)－6
＝－0.109375＜0；
当x＝－1.75 时，y＞0.
在－1.75＜x＜－1.625范围内，y 随x 的增大而减小，
所以－1.75＜x1＜－1.625.
x1≈－1.7即为精确到0.1的近似值.
探索新知
解：先把方程化成x 2＝－2x＋3.
如图，在同一直角坐标系中
分别画出函数y＝x 2和
y＝－2x＋3的图像，得到它
们的交点为(－3，9)和(1，1)，
则方程x 2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.
例2 利用函数的图像，求方程x 2＋2x－3＝0的根．
探索新知
总 结
利用图像交点法求一元二次方程的根的步骤：
(1)将ax 2＋bx＋c＝0化为ax 2＝－bx－c 的形式；
(2)在同一坐标系中画出 y＝ax 2与 y＝－bx－c 的图像；
(3)观察图像：两图像的公共点情况即为方程的根的情况，
如有公共点，则公共点的横坐标即为ax 2＋bx＋c＝0的根．
1 求例题中x2精确到0.1的近似值.
解：如图 ，画出二次函数
y ＝x 2－2x－6的图像.
观察画出的抛物线，现在求 x2
的近似值．
(1)容易看出：当x＝3时，y＜0，当x＝4时，y＞0，且在3＜x＜4范围内，y 随x 的增大而增大，∴3＜x2＜4.
典题精讲
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内，
y 随x 的增大而增大， ∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值．
当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0；
当x＝3.5时，y＜0. 在3.5＜x＜3.75范围内，
y 随x 的增大而增大，
∴3.5＜x2＜3.75.
典题精讲
(4)取3.5和3.75的中间数3.625代入表达式中试值．
当x＝3.625时，
y＝3.6252－2×3.625－6＝－0.109 375＜0；
当x＝3.75时，y＞0.在3.625＜x＜3.75范围内，
y 随x 的增大而增大，∴3.625＜x2＜3.75.
∴可取x2≈3.7为精确到0.1的近似值．
典题精讲
典题精讲
2 二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像如图所示，则一元二
次方程ax 2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
D
典题精讲
3 如图是二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像，图像上有两点
分别为A (2.18，－0.61)，B (2.68，0.44)，则方程ax 2＋
bx＋c＝0的一个解只可能是( )
A．2.18
B．2.68
C．－0.51
D．2.55
D
典题精讲
下表是一组二次函数 y＝x 2＋3x－5的自变量x 与函数值y 的对应值：
4
那么方程x 2＋3x－5＝0的一个近似根是( )
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y －1 －0.49 0.04 0.59 1.16
C
典题精讲
(2)解法二：利用二次函数图像与x 轴的交点求解．如
图①，把方程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数 y
＝_____________的图像与x
轴交点的横坐标x1，x2，
则x1，x2就是方程的解．
x 2－x－1
(3)解法三：利用两个函数图像的交点求解．
①把方程x 2－x－1＝0的解看成是二次函数y＝
________的图像与直线
y＝_______的交点的横坐标；
②在图②中画出这两个函数
的图像，用x1，x2在x 轴上
标出方程的解．
x 2－x
1
②略．
解：
典题精讲
探索新知
2
知识点
利用二次函数的图像解一元二次不等式
根据图像可直观地回答使得y 的值大于、等于或小
于零时x 的取值(范围)，具体如下表所述：
图像 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
探索新知
例3 画出抛物线 y＝－x 2＋4x＋5，观察抛物线，回答下
列问题：
(1)x 为何值时，函数值 y＞0
(2)x 为何值时，函数值 y＝0
(3)x 为何值时，函数值 y＜0
导引：根据抛物线的简易画法，先确定顶点以及抛物线与x
轴和y 轴的交点，当函数值 y＞0时，对应图像上的点
在x 轴上方；当函数值 y＝0时，对应图像上的点位于
x 轴上；当函数值 y＜0时，对应图像上的点在x 轴的
下方．
探索新知
解：∵y＝－x 2＋4x＋5＝－(x 2－4x)＋5＝－(x 2－4x＋4)＋9＝
－(x－2)2＋9. ∴抛物线的顶点坐标
为(2，9)，对称轴为直线x＝2.
令－x 2＋4x＋5＝0，即x 2－4x－5＝
0，∴x1＝5，x2＝－1.∴抛物线与x
轴的两个交点为(－1，0)，(5，0)．
令x＝0，则y＝5，即抛物线与y 轴的
交点为(0，5)．由抛物线的对称性知抛物线上的另一点为
(4，5)．在坐标系中描出各点，并连线得到如图所示的图
象．观察图像会发现：(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值 y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值 y＜0
探索新知
总 结
(1)作抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (b 2－4ac＞0)一般采用“五点法”，
而这“五点”一般为抛物线顶点，与x 轴的两交点，与y 轴的
交点及它关于对称轴的对称点．
(2)根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值范围，一般要画出
二次函数的图像，观察图像解答，抛物线在 x 轴上方的部分，对
应的函数值大于0；抛物线在x 轴下方的部分，对应的函数值小于
0；抛物线与x 轴的公共点，对应的函数值等于0.
探索新知
例4 抛物线 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x 轴
的一个交点A 在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图像如图所
示，则下列结论：①4ac－b 2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c
＜0；④点M (x1，y1)，N (x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1
＜y2.正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C
探索新知
导引：观察图像可知二次函数对应的一元二次方程有两个不相等的实数解，所以Δ＝b 2－4ac >0，即4ac－b 2<0，故①正确；因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以－ ＝－1，即b＝2a，2a－b＝0，故②正确；由二次函数图像的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点位于(0，0)和(1，0)之间，所以当x＝1时，y＜0，即a＋b＋c<0，故③正确；由于二次函数在对称轴两侧的增减性不一样，当x1
典题精讲
如图，直线 y＝mx＋n 与抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 交于A (－1，p )，B (4，q )两点，则关于x 的不等式mx＋n＞ax 2＋bx＋c 的解集是_______________．
1
x＜－1或x＞4
典题精讲
如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )
A．b 2＞4ac
B．ax 2＋bx＋c ≥－6
C．若点(－2，m )，(－5，n )
在抛物线上，则m＞n
D．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝－4
的两根为－5和－1
2
C
易错提醒
用图像法求x 2－x＋ ＝0的解．
易错点：不考虑方程根的情况盲目作图像而致错
画出抛物线 y ＝x 2－x＋ (如图)．
由图像可知抛物线与x 轴的交点为( ，0)，
所以原方程的解为x1＝x2＝
解：
学以致用
小试牛刀
已知一次函数y1＝4x，二次函数 y2＝2x 2＋2，在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1与y2，则下列关系正确的是( )
A．y1＞y2 B．y1≥y2
C．y1＜y2 D．y1≤y2
1
D
小试牛刀
小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”总结了以下几种方法，请你将有关内容补充完整．
例题：求一元二次方程 x 2－x－1＝0的两个解．
(1)解法一：选择一种合适的方法(公式法、配方法、因式分解法)求解．
2
(1)公式法：
∵a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴Δ＝b 2－4ac＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0.
∴
即x1＝ x2＝ .
解：
小试牛刀
二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a≠0)的图像如图所示，根据
图像解答下列问题：
(1)写出方程ax 2＋bx＋c＝0的两个根；
(2)写出不等式ax 2＋bx＋c >0的解集；
(3)写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；
(4)若方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，
求k 的取值范围．
小试牛刀
(1)x1＝1，x2＝3.
(2)1＜x＜3.
(3)x ≥2.
(4)∵方程ax 2＋bx＋c＝k 有两个不相等的实数根，
∴抛物线 y＝ax 2＋bx＋c－k 与x 轴有两个交点，即抛
物线 y＝ax 2＋bx＋c 向下平移k 个单位长度后与 x 轴有
两个交点．
由图像可知抛物线 y＝ax 2＋bx＋c 向下平移2个单位长
度后与x 轴有一个公共点，∴k＜2.
解：
小试牛刀
4 根据下列要求，解答相关问题．
(1)请补全以下求不等式－2x 2－4x ≥0的解集的过程．
①构造函数，画出图像：根据不等式特征构造二次函数 y＝－2x 2－4x，并在下面的坐标系中(如图①)画出二次函数 y＝－2x 2－4x 的图像(只画出图像即可)．
②求得界点，标示所需：当 y＝0时，求得方程－2x 2－4x＝0的解为____________，并用锯齿线标示出函数 y＝－2x 2－4x 的图像中y ≥0的部分；
③借助图像，写出解集：由所标示图像，可得不等式－2x 2－4x ≥0的解集为__________________．
小试牛刀
(2)利用(1)中求不等式解集的步骤，求不等式x 2－2x＋1＜4的解集．
①构造函数，在图②中画出图像；
②求得界点，标示所需；
③借助图像，写出解集．
(3)参照以上两个求不等式解集的过程，借助一元二次方
程的求根公式，直接写出关
于x 的不等式ax 2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集．
小试牛刀
(1)①图略．②x1＝0，x2＝－2；图略．③－2≤x≤0
(2)①构造二次函数 y＝x 2－2x＋1，并画出图像(图略)．
②当 y＝4时，求得方程x 2－2x＋1＝4的解为x1＝3，
x2＝－1；图略．
③借助图像，直接写出不等式x 2－2x＋1＜4的解集：
－1＜x＜3.
(3)①当b 2－4ac＞0时，解集为x＞ 或x＜
；②当b 2－4ac＝0时，解集为x≠
－ ；
③当b 2－4ac＜0时，解集为全体实数．
解：
小试牛刀
5 已知二次函数 y＝ax 2＋bx＋c (a＞0)的图像与x 轴交于
A (x1，0)，B (x2，0)(x1＜x2)两点，与y 轴交于点C，x1，
x2是方程x 2＋4x－5＝0的两根．
(1)若抛物线的顶点为D，求S△ABC ∶S△ACD；
(2)若∠ADC＝90°，求二次函数的表达式．
解：
(1)解方程x 2＋4x－5＝0，得x1＝－5，x2＝1. ∴A点的坐标为
(－5，0)，B 点的坐标为(1，0)，则抛物线为 y＝a (x＋5)
(x－1)＝ax 2＋4ax－5a，可得D 点的坐标为(－2，－9a)，
C 点的坐标为(0，－5a)．依题意画出图形，如图所示，则
OA＝5，OB＝1，AB＝6，OC＝5a，过点D 作 DE⊥y 轴
于点E，则DE＝2，OE＝9a，CE＝OE－OC＝4a.
小试牛刀
∴S△ACD＝S梯形ADEO－S△CDE－S△AOC＝
(DE＋OA)·OE－ DE · CE－ OA·OC＝
×(2＋5)×9a－ ×2×4a－ ×5×5a＝15a，
S△ABC＝ ×6×5a＝15a，∴S△ABC∶S△ACD＝1∶1.
(2)∵∠ADC＝90°，∴AC 2＝AD 2＋CD 2.即52＋(5a)2＝(5－
2)2＋(9a)2＋22＋(9a－5a)2，即72a 2＝12.则a＝± .
∵a＞0，∴a＝ .故二次函数的表达式为 y＝ (x＋5)
(x－1)，即 y＝ x 2＋ x－ .
课堂小结
课堂小结
利用图像求一元二次方程的根的方法：直接画出二次函数y＝ax 2＋bx＋c 的图像，则图像与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0的根．其步骤一般为：
(1)作出二次函数 y＝ax 2＋bx＋c 的图像；
(2)观察图像与x 轴交点的个数；
(3)若图像与x 轴有交点，估计出图像与x 轴交点的横坐标
即可得到一元二次方程的近似根．
课堂小结
图像 函数值 自变量的取值(范围)
y＞0 x＜x1或x＞x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x1＜x＜x2
y＞0 x1＜x＜x2
y＝0 x＝x1或x＝x2
y＜0 x＜x1或x＞x2
同学们，
下节课见！
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