【班海精品】冀教版（新）九下-30.4 二次函数的应用 第二课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】冀教版（新）九下-30.4 二次函数的应用 第二课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 09:33:47 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
30.4 二次函数的应用
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数的最值
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最值．
即当x＝－ 时，y最值＝ .当a＞0时，在顶点处取得
最小值，此时不存在最大值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，
此时不存在最小值．
探索新知
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
最小值在 x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
较大的函数值；当a＜0时，
最大值在 x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，
x＝x2时的较小的函数值；
探索新知
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和
最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
探索新知
导引：先求出抛物线 y＝x 2－2x－3的顶点坐标，然后
看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值
范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，
利用图象求解．
例1 分别在下列范围内求函数 y＝x 2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
探索新知
解：∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y 有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的
图象左右对称，端点处取不到，
∴不存在最大值．
探索新知
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，
而函数 y＝x 2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线
y＝x 2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，
y 随x 的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
探索新知
总 结
求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．
典题精讲
1 二次函数 y＝x 2－4x＋c 的最小值为0，则c 的值为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16
已知0≤x≤ ，那么函数 y＝－2x 2＋8x－6的最大值是( )
A．－6 B．－2.5
C．2 D．不能确定
B
B
典题精讲
已知y＝－x (x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在
1≤x≤5时，若y 在x＝1时取得最大值，则实数a 的取值情况是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
4 二次函数 y＝2x 2－6x＋1，当0≤x≤5时，y 的取值范围__________．
D
若二次函数 y＝x 2＋ax＋5的图象关于直线 x＝－2对称，
且当m≤x≤0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范
围是______________．
探索新知
2
知识点
几何面积的最值
利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相
关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且
用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
探索新知
用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行. 设AB=x m，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大 最大面积是多少平方米？
例2
探索新知
1.当矩形的宽AB=x m时，如何用包含x 的代数式表示矩形的长BC
2.矩形的面积S 与矩形的宽x 之间的等量关系是什么
3.你能写出矩形的面积S 与矩形的宽x 之间的函数表达式吗
4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.
5.该二次函数有没有最大值 最大值是多少 此时x 的值是多少
思考：
探索新知
∵
∴ 当x =3时，S 有最大值，且S最大＝12m2
答：当x=3时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，
最大面积为12 m2.
解：
探索新知
例3 如图，已知△ABC 的面积为2 400 cm2，底边BC 长为80cm.
若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四
边形BDEF 为平行四边形，设BD＝x (cm)，
S BDEF＝y (cm2)，求：
(1)y 与x 之间的函数关系式．
(2)自变量x 的取值范围．
(3)当x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？
导引：(1)可分别设出△DCE 的边CD上的高和△ABC 的边BC
上的高，根据条件求出△ABC 的边BC 上的高，再利用
相似找出其他等量关系，然后设法用x 表示 BDEF 的边
BD上的高；(2)BD 在BC 边上，最长不超过BC；(3)根据
x 的取值范围及求最值的方法解题．
典题精讲
解：(1)设△DCE 的边CD上的高为h cm，△ABC 的边BC上的
高为b cm，则有S BDEF＝xh (cm2)．
∵S△ABC＝ BC·b，
∴2 400＝ ×80b.∴b＝60.
∵四边形BDEF 为平行四边形，
∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.
∴
∴y＝x· ＝－ x 2＋60x，即y＝－ x 2＋60x.
典题精讲
(2)自变量x 的取值范围是0＜x＜80.
(3)由(1)可得 y ＝－ (x－40)2＋1 200.
∵a＝－ ＜0，0＜x＜80，
∴当x＝40时，y 取得最大值，最大值是1 200.
典题精讲
总 结
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x 表示出h，进而得到 y 与x 之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．
典题精讲
如图，已知AB＝2，点C 在线段AB上，四边形ACDE 和四边形CBFG 都是正方形. 设BC=x.
(1) AC＝_________.
1
2－x
A
C
B
F
G
E
D
典题精讲
(2)设正方形ACDE 和正方形CBFG 的总面积 为S，
用x 表示S 的函数表达式为S＝_______________.
(3)总面积S 有最大值还是最小值？这个最大值或
最小值是多少
(4)当总面积S 取最大值或最小值时，点C 在AB 的
什么位置？
(3)S＝2x 2－4x＋4＝2(x－1)2＋2.
∵a＝2＞0，∴S 有最小值，S最小值＝2.
(4)当S＝2时，2(x－1)2＋2＝2，解得x＝1.
∵AB＝2，AC＝2－x＝1，∴点C 在AB 的中点处．
2x 2－4x＋4
典题精讲
2 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
3 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a 的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
B
D
典题精讲
4 如图，在矩形ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在( )
A．AD 的中点
B．AE∶ED＝( －1)∶2
C．AE∶ED＝ ∶1
D．AE∶ED＝( －1)∶2
A
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm，点P 在边AC上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB上，从点C向点B 移动．若点P，Q 均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时, 另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( )
A．20 cm
B．18 cm
C．2 cm
D．3 cm
5
C
学以致用
小试牛刀
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活
动的区域面积为S (m2)．
(1)如图①，若BC＝4 m，
则S＝________；
1
88πm2
小试牛刀
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一等边三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为________．
小试牛刀
某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x (m)，占地面积为y (m2)．
(1)如图①，问当饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位
置留2 m宽的门，且仍使饲养室
的占地面积最大，小敏说：“只
要饲养室长比(1)中的长多2 m就
行了．”请你通过计算，判断小
敏的说法是否正确．
2
小试牛刀
(1)∵ y＝x · ＝－ (x－25)2＋ ，
∴当x＝25时，占地面积y最大，
即当饲养室长为25 m时，占地面积最大．
(2)∵y ＝x · ＝－ (x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积 y 最大，
即当饲养室长为26 m时，占地面积最大．
∵26－25＝1≠2，
∴小敏的说法不正确．
解：
小试牛刀
工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖
的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示
裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体
底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形
边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，
并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为
0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方
形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
小试牛刀
(1)如图： 设裁掉的正方形边长为x dm，
由题意可得(10－2x )(6－2x )＝12，
即x 2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．
答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
(2)∵长不大于宽的五倍，∴10－2x≤5(6－2x )，解得x ≤2.5，
又∵x ＞0，∴0＜x≤2.5.
设总费用为w 元，由题意可知w＝0.5×2x (16－4x )＋2(10－
2x )(6－2x )＝4x 2－48x＋120＝4(x－6)2－24，
∴当0＜x≤2.5时，w 随x 的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w 有最小值，最小值为25.
答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低
费用为25元．
解：
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点
P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s的速度移动，动点Q 从点B 开
始沿边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q 分别从A，B 同
时出发，求△PBQ 的面积S (mm2)与出发时间t (s)的函数表达式，并
求出t 为何值时，△PBQ 的面积最大，最大值是多少？
小试牛刀
解：
由题意可知，BP＝(12－2t )mm，BQ＝4t mm.
∴S＝ BP·BQ＝ (12－2t ) · 4t，整理，得
S＝－4t 2＋24t，易知0＜t＜6.
∵S＝－4t 2＋24t＝－4(t－3)2＋36，
∴当t＝3时，S 取得最大值，为36.
故S 与t 的函数表达式为S＝－4t 2＋24t (0＜t＜6)．
当t＝3时，△PBQ 的面积最大，为36 mm2.
小试牛刀
如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m
的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修
建成同样宽的通道，设通道宽为a m.
(1)用含a 的式子表示花圃的面积．
(2)如果通道所占面积是整个长方
形空地面积的 ，求出此时通道的宽．
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)，y2(元)
与修建面积x (m 2)之间的函数关系如图②所示，如果学
校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽
度不少于2 m且不超过10 m，那么通道宽为多少时，修
建的通道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？
小试牛刀
(1)由题可知花圃的面积为(60－2a)(40－2a)＝
4a 2－200a＋2 400(m2)．
(2)通道的面积为60×40－(4a 2－200a＋2 400)＝
－4a 2＋200a (m2)，
∴－4a 2＋200a＝ ×2 400.
∴4a 2－200a＋900＝0.
解得a＝5或a＝45(舍去)．
∴通道的宽为5 m.
解：
小试牛刀
(3)设修建的通道和花圃的总造价为y 元．
由题图可求得y1＝40x，y2＝
再设花圃的面积为b m2，则通道的面积为(2 400－b) m2，
∴b＝4a 2－200a＋2 400＝4(a－25)2－100.
∵2≤a≤10，∴当a＝2时，bmax＝2 016；
当a＝10时，bmin＝800，∴800≤b≤2 016.∴y＝y1＋y2＝
40(2 400－b)＋35b＋20 000，即y＝－5b＋116 000 (800≤b≤
2 016)．∵y 随b 的增大而减小，∴当b＝2 016时，y 最小，ymin
＝105 920.此时2 016＝4a 2－200a＋2 400，解得a＝2或a＝
48(舍去)．∴当通道宽为2 m 时，修建的通道和花圃的总
造价最低，为105 920元．
课堂小结
课堂小结
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
同学们，
下节课见！
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30.4 二次函数的应用
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究．
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次函数的最值
1．当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最值．
即当x＝－ 时，y最值＝ .当a＞0时，在顶点处取得
最小值，此时不存在最大值；当a＜0时，在顶点处取得最大值，
此时不存在最小值．
探索新知
2. 当自变量的取值范围是x1≤x≤x2时，(1)若在自变量的取值范
围x1≤x≤x2内，最大值与最小值同时存在，如图①，当a＞0时，
最小值在 x＝ 处取得，最大值为函数在x＝x1，x＝x2时的
较大的函数值；当a＜0时，
最大值在 x＝ 处取得，
最小值为函数在x＝x1，
x＝x2时的较小的函数值；
探索新知
(2)若 不在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，最大值和
最小值同时存在，且函数
在x＝x1，x＝x2时的函数值
中，较大的为最大值，较
小的为最小值，如图②.
探索新知
导引：先求出抛物线 y＝x 2－2x－3的顶点坐标，然后
看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值
范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，
利用图象求解．
例1 分别在下列范围内求函数 y＝x 2－2x－3的最值：
(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.
探索新知
解：∵y＝x 2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴图象的顶点坐标为(1，－4)．
(1)∵x＝1在0＜x＜2范围内，且a＝1＞0，
∴当x＝1时，y 有最小值，y最小值＝－4.
∵x＝1是0＜x＜2范围的中点，在直线x＝1两侧的
图象左右对称，端点处取不到，
∴不存在最大值．
探索新知
(2)∵x＝1不在2≤x≤3范围内(如图)，
而函数 y＝x 2－2x－3(2≤x≤3)的图象是抛物线
y＝x 2－2x－3的一部分，且当2≤x≤3时，
y 随x 的增大而增大，
∴当x＝3时，
y最大值＝32－2×3－3＝0；
当x＝2时，
y最小值＝22－2×2－3＝－3.
探索新知
总 结
求函数在自变量某一取值范围内的最值，可根据函数增减性进行讨论，或画出函数的图象，借助于图象的直观性求解．
典题精讲
1 二次函数 y＝x 2－4x＋c 的最小值为0，则c 的值为( )
A．2 B．4 C．－4 D．16
已知0≤x≤ ，那么函数 y＝－2x 2＋8x－6的最大值是( )
A．－6 B．－2.5
C．2 D．不能确定
B
B
典题精讲
已知y＝－x (x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在
1≤x≤5时，若y 在x＝1时取得最大值，则实数a 的取值情况是( )
A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5
4 二次函数 y＝2x 2－6x＋1，当0≤x≤5时，y 的取值范围__________．
D
若二次函数 y＝x 2＋ax＋5的图象关于直线 x＝－2对称，
且当m≤x≤0时，y 有最大值5，最小值1，则m 的取值范
围是______________．
探索新知
2
知识点
几何面积的最值
利用二次函数求几何图形的面积的最值的一般步骤：
(1)引入自变量；
(2)用含有自变量的代数式分别表示与所求几何图形相
关的量；
(3)由几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且
用函数表示这个面积；
(4)根据函数的关系式及自变量的取值范围求出其最值．
探索新知
用总长度为24 m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档和竖档分别与AD，AB平行. 设AB=x m，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大 最大面积是多少平方米？
例2
探索新知
1.当矩形的宽AB=x m时，如何用包含x 的代数式表示矩形的长BC
2.矩形的面积S 与矩形的宽x 之间的等量关系是什么
3.你能写出矩形的面积S 与矩形的宽x 之间的函数表达式吗
4.请用配方法将所得到的二次函数一般式转化成顶点式.
5.该二次函数有没有最大值 最大值是多少 此时x 的值是多少
思考：
探索新知
∵
∴ 当x =3时，S 有最大值，且S最大＝12m2
答：当x=3时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，
最大面积为12 m2.
解：
探索新知
例3 如图，已知△ABC 的面积为2 400 cm2，底边BC 长为80cm.
若点D 在BC 边上，E 在AC 边上，F 在AB 边上，且四
边形BDEF 为平行四边形，设BD＝x (cm)，
S BDEF＝y (cm2)，求：
(1)y 与x 之间的函数关系式．
(2)自变量x 的取值范围．
(3)当x 为何值时，y 取得最大值？最大值是多少？
导引：(1)可分别设出△DCE 的边CD上的高和△ABC 的边BC
上的高，根据条件求出△ABC 的边BC 上的高，再利用
相似找出其他等量关系，然后设法用x 表示 BDEF 的边
BD上的高；(2)BD 在BC 边上，最长不超过BC；(3)根据
x 的取值范围及求最值的方法解题．
典题精讲
解：(1)设△DCE 的边CD上的高为h cm，△ABC 的边BC上的
高为b cm，则有S BDEF＝xh (cm2)．
∵S△ABC＝ BC·b，
∴2 400＝ ×80b.∴b＝60.
∵四边形BDEF 为平行四边形，
∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.
∴
∴y＝x· ＝－ x 2＋60x，即y＝－ x 2＋60x.
典题精讲
(2)自变量x 的取值范围是0＜x＜80.
(3)由(1)可得 y ＝－ (x－40)2＋1 200.
∵a＝－ ＜0，0＜x＜80，
∴当x＝40时，y 取得最大值，最大值是1 200.
典题精讲
总 结
本题利用数形结合思想，先利用相似三角形找出各边的关系，再代入数值，用x 表示出h，进而得到 y 与x 之间的函数关系式，利用建模思想，建立用二次函数求几何图形的最大面积的模型，再利用配方法求出最大面积．
典题精讲
如图，已知AB＝2，点C 在线段AB上，四边形ACDE 和四边形CBFG 都是正方形. 设BC=x.
(1) AC＝_________.
1
2－x
A
C
B
F
G
E
D
典题精讲
(2)设正方形ACDE 和正方形CBFG 的总面积 为S，
用x 表示S 的函数表达式为S＝_______________.
(3)总面积S 有最大值还是最小值？这个最大值或
最小值是多少
(4)当总面积S 取最大值或最小值时，点C 在AB 的
什么位置？
(3)S＝2x 2－4x＋4＝2(x－1)2＋2.
∵a＝2＞0，∴S 有最小值，S最小值＝2.
(4)当S＝2时，2(x－1)2＋2＝2，解得x＝1.
∵AB＝2，AC＝2－x＝1，∴点C 在AB 的中点处．
2x 2－4x＋4
典题精讲
2 已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则
这个直角三角形的最大面积为( )
A．25 cm2 B．50 cm2
C．100 cm2 D．不确定
3 用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长
方形，a 的值不可能为( )
A．20 B．40 C．100 D．120
B
D
典题精讲
4 如图，在矩形ABCD 中，AD＝1，AB＝2，从较短边AD上找一点E，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在( )
A．AD 的中点
B．AE∶ED＝( －1)∶2
C．AE∶ED＝ ∶1
D．AE∶ED＝( －1)∶2
A
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝2 cm，点P 在边AC上，从点A 向点C 移动，点Q 在边CB上，从点C向点B 移动．若点P，Q 均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时, 另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是( )
A．20 cm
B．18 cm
C．2 cm
D．3 cm
5
C
学以致用
小试牛刀
在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD 的小屋，AB＋BC＝10 m，拴住小狗的10 m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活
动的区域面积为S (m2)．
(1)如图①，若BC＝4 m，
则S＝________；
1
88πm2
小试牛刀
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形ABCD 小屋的右侧以CD 为边拓展一等边三角形CDE 区域，使之变成落地为五边形ABCED 的小屋，其他条件不变，则在BC 的变化过程中，当S 取得最小值时，边BC 的长为________．
小试牛刀
某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m．设饲养室长为x (m)，占地面积为y (m2)．
(1)如图①，问当饲养室长x 为多少时，占地面积y 最大？
(2)如图②，现要求在图中所示位
置留2 m宽的门，且仍使饲养室
的占地面积最大，小敏说：“只
要饲养室长比(1)中的长多2 m就
行了．”请你通过计算，判断小
敏的说法是否正确．
2
小试牛刀
(1)∵ y＝x · ＝－ (x－25)2＋ ，
∴当x＝25时，占地面积y最大，
即当饲养室长为25 m时，占地面积最大．
(2)∵y ＝x · ＝－ (x－26)2＋338，
∴当x＝26时，占地面积 y 最大，
即当饲养室长为26 m时，占地面积最大．
∵26－25＝1≠2，
∴小敏的说法不正确．
解：
小试牛刀
工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖
的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示
裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体
底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形
边长多大？
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，
并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为
0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方
形边长多大时，总费用最低，最低为多少？
小试牛刀
(1)如图： 设裁掉的正方形边长为x dm，
由题意可得(10－2x )(6－2x )＝12，
即x 2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6(舍去)．
答：裁掉的正方形的边长为2 dm.
(2)∵长不大于宽的五倍，∴10－2x≤5(6－2x )，解得x ≤2.5，
又∵x ＞0，∴0＜x≤2.5.
设总费用为w 元，由题意可知w＝0.5×2x (16－4x )＋2(10－
2x )(6－2x )＝4x 2－48x＋120＝4(x－6)2－24，
∴当0＜x≤2.5时，w 随x 的增大而减小，
∴当x＝2.5时，w 有最小值，最小值为25.
答：当裁掉边长为2.5 dm的正方形时，总费用最低，最低
费用为25元．
解：
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点
P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s的速度移动，动点Q 从点B 开
始沿边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动．已知P，Q 分别从A，B 同
时出发，求△PBQ 的面积S (mm2)与出发时间t (s)的函数表达式，并
求出t 为何值时，△PBQ 的面积最大，最大值是多少？
小试牛刀
解：
由题意可知，BP＝(12－2t )mm，BQ＝4t mm.
∴S＝ BP·BQ＝ (12－2t ) · 4t，整理，得
S＝－4t 2＋24t，易知0＜t＜6.
∵S＝－4t 2＋24t＝－4(t－3)2＋36，
∴当t＝3时，S 取得最大值，为36.
故S 与t 的函数表达式为S＝－4t 2＋24t (0＜t＜6)．
当t＝3时，△PBQ 的面积最大，为36 mm2.
小试牛刀
如图①，为美化校园环境，某校计划在一块长为60 m，宽为40 m
的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修
建成同样宽的通道，设通道宽为a m.
(1)用含a 的式子表示花圃的面积．
(2)如果通道所占面积是整个长方
形空地面积的 ，求出此时通道的宽．
(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1(元)，y2(元)
与修建面积x (m 2)之间的函数关系如图②所示，如果学
校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽
度不少于2 m且不超过10 m，那么通道宽为多少时，修
建的通道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？
小试牛刀
(1)由题可知花圃的面积为(60－2a)(40－2a)＝
4a 2－200a＋2 400(m2)．
(2)通道的面积为60×40－(4a 2－200a＋2 400)＝
－4a 2＋200a (m2)，
∴－4a 2＋200a＝ ×2 400.
∴4a 2－200a＋900＝0.
解得a＝5或a＝45(舍去)．
∴通道的宽为5 m.
解：
小试牛刀
(3)设修建的通道和花圃的总造价为y 元．
由题图可求得y1＝40x，y2＝
再设花圃的面积为b m2，则通道的面积为(2 400－b) m2，
∴b＝4a 2－200a＋2 400＝4(a－25)2－100.
∵2≤a≤10，∴当a＝2时，bmax＝2 016；
当a＝10时，bmin＝800，∴800≤b≤2 016.∴y＝y1＋y2＝
40(2 400－b)＋35b＋20 000，即y＝－5b＋116 000 (800≤b≤
2 016)．∵y 随b 的增大而减小，∴当b＝2 016时，y 最小，ymin
＝105 920.此时2 016＝4a 2－200a＋2 400，解得a＝2或a＝
48(舍去)．∴当通道宽为2 m 时，修建的通道和花圃的总
造价最低，为105 920元．
课堂小结
课堂小结
利用二次函数求几何图形面积的最值是二次函数应用的重点之一，解决此类问题的基本方法是：借助已知条件，分析几何图形的性质，确定二次函数表达式，再根据二次函数的图象和性质求出最值，从而解决问题．
同学们，
下节课见！
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