【班海精品】冀教版（新）九下-29.1 点与圆的位置关系 【优质课件】

(共41张PPT)
29.1 点与圆的位置关系
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
点与圆的位置关系的判定
思考：
足球运动员踢出的足球在球场上滚动，在足球穿越中圈区（中间圆形区域）的过程中，可将足球看成一个点，这个点与圆具有怎样的位置关系？
探索新知
在同一个平面内，点与圆有三种位置关系:
点在圆外、点在圆上和点在圆内.
点P 与☉O 的位置关系如图所示.
探索新知
设⊙O 的半径为r，点P 到圆心的距离OP =d，则有：
点P 在圆外 d＞r；
点P 在圆上 d=r；
点P 在圆内 d＜r.
符号“ ”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右
端也可以推出左端.
探索新知
如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB = 5 cm，
BC = 4 cm，以点A 为圆心、3 cm为半径画圆，
并判断：
(1)点C 与⊙A 的位置关系.
(2)点B 与⊙A 的位置关系.
(3) AB 的中点D 与⊙A 的
位置关系.
例1
B
A
D
C
.
探索新知
解：
已知⊙A 的半径r = 3 cm.
(1)因为
所以点C 在⊙A上
(2)因为 AB =5cm>3 cm=r，所以点B 在⊙A外.
(3)因为 DA= AB=2. 5 cm＜3 cm=r，
所以点 D 在⊙A 内.
探索新知
例2 已知⊙O 的半径r＝5 cm，圆心O 到直线l 的距离d＝
OD＝3 cm，在直线l上有P，Q，R 三点，且有PD＝
4 cm，QD＝5 cm，RD＝3 cm，那么P，Q，R 三
点与⊙O 的位置关系各是怎样的？
要判断点和圆的位置关系，实质上是要比较点到圆
心的距离与半径的大小，而半径为已知量，即需求
出相关点到圆心的距离．
导引：
探索新知
解：如图，连接OR，OP，OQ.
∵PD＝4 cm，OD＝3 cm，且OD⊥l，
∴点P 在⊙O 上；
∵QD＝5 cm，
∴点Q 在⊙O 外；
∵RD＝3 cm，
∴点R 在⊙O 内．
探索新知
总 结
判断点和圆的位置关系，关键是计算出点到圆心的距离，再与圆的半径比较大小，由数量关系决定位置关系；构造直角三角形并运用勾股定理是求距离的常用辅助方法．
典题精讲
在直角坐标系中，以原点为圆心的⊙O 的半径为5 .判断以下各点与⊙O 的位置关系：
A(4， 2)，B(－3， 4)，C(4，－4)，D(1，5).
1
解：
已知⊙O 的半径r＝5，过点A 向x 轴作垂线，交x 轴于点M，连接OA，易得OM＝4，AM＝2，
所以
所以点A 在⊙O 内．
同理可得，OB＝5＝r，所以点B 在⊙O上．
OC＝ ＞5＝r，所以点C 在⊙O 外．
OD＝ ＞5＝r，所以点D 在⊙O 外．
典题精讲
⊙O 的半径为5 cm，点A 到圆心O 的距离OA＝3 cm，则点A 与⊙O 的位置关系为(　　)
A．点A 在圆上 B．点A 在圆内
C．点A 在圆外 D．无法确定
2
B
若⊙O 的面积为25π，在同一平面内有一个点P，且点P 到圆心O 的距离为4.9，则点P 与⊙O 的位置关系是(　　)
A．点P 在⊙O 外 B．点P 在⊙O 上
C．点P 在⊙O 内 D．无法确定
3
C
典题精讲
在公园的O 处附近有E，F，G，H 四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O 为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H 四棵树中需要被移除的为(　　)
A．E，F，G
B．F，G，H
C．G，H，E
D．H，E，F
4
A
探索新知
如图所示 .∵点B 在⊙A内部，
∴|a－1|＜2.
∴－1＜a＜3.
导引：
例3
若点B (a，0)在以点A (1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a 的取值范围为(　　)
A．－1＜a＜3
B．a＜3
C．a＞－1
D．a＞3或a＜－1
A
2
知识点
点与圆的位置关系的性质
探索新知
总 结
解答本题运用了转化思想，关键是将条件转化成点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，即列出方程或不等式来解答．
探索新知
例4
如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON＝30°，公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间是多长？
探索新知
过点A 作AC⊥ON 于C，求出AC 的长，以点A为圆心，200米为半径作圆，与MN 交于点B，D，则当火车到B 点时开始对A 处产生噪音影响，直到火车到D 点时噪音才消失．
导引：
如图，过点A 作AC⊥ON 于C，以点A 为圆心，200米为半径作圆，与MN 交于点B，D，连接AB，AD，则AB＝AD＝200米.
解：
探索新知
∵∠QON＝30°，OA＝240米，
∴AC＝120米．
当火车到B 点时对A 处产生噪音影响，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得BC＝160米，同理可得CD＝160米，
∴BD＝320米．
∵72千米/时＝20米/秒，
∴A 处受到噪音影响的时间应是320÷20＝16(秒)．
探索新知
总 结
本题考查的是点与圆的位置关系，根据火车行驶的方向，速度，以及它在以A为圆心，200米为半径的圆内行驶的弦BD的长，求出A处受到噪音影响的时间．
典题精讲
如图，某海域以点A 为圆心、3 km为半径的圆形区域为多暗礁的危险区，但渔业资源丰富. 渔船要从点B 处前往点A 处进行捕鱼，B，A两点之间的距离是10 km.如果渔船始终保持10 km/h的航速行驶，那么在什么时段内，渔船是安全的？渔船何时进入危险区域？
1
典题精讲
渔船在圆形区域外是安全的，
＝0.7(h)，0.7 h＝42 min，
所以渔船从点B 出发，在42 min以内是安全的，从42 min后进入危险区域．
解：
典题精讲
已知点A 在半径为r 的⊙O 内，点A 与点O 的距离为6，则r的取值范围是(　　)
A．r ＞6 B．r ≥6 C．r ＜6 D．r ≤6
2
A
已知矩形ABCD 的边AB＝6，AD＝8，如果以点A 为圆心作⊙A，使B，C，D 三点中在圆内和圆外都至少有一个点，那么⊙A 的半径r 的取值范围是(　　)
A．63
A
典题精讲
采石厂工人爆破时，为了安全，点燃炸药导火线后，要在炸药爆炸前转移到400 m以外的安全区域，导火线燃烧的速度是1 cm/s，工人离开的速度是5 m/s，至少需要导火线的长度是(　　)
A．70 cm B．75 cm
C．79 cm D．80 cm
4
D
易错提醒
若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b (a>b)，则此圆的半径为(　　)
A. B.
C. 或 D．a＋b 或 a－b
C
易错点：考虑问题不全面而致错.
学以致用
小试牛刀
在平面直角坐标系中，⊙P、⊙Q 的位置如图所示，下列四个点中，在⊙P 外部且在⊙Q 内部的是(　　)
A．(1，2)　　
B．(2，1)　　
C．(2，－1)　　
D．(3，1)
1
C
小试牛刀
如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D 是AB 的中点，以B 为圆心，BC 的长为半径作⊙B，则点D 和⊙B 的位置关系是(　　)
A．点D 在⊙B 内
B．点D 在⊙B 上
C．点D 在⊙B 外
D．不能确定
2
A
小试牛刀
如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以长BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用(　　)
A．3 m
B．5 m
C．7 m
D．9 m
3
A
小试牛刀
4 如图所示，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，
BC＝8，以点C 为圆心作⊙C，半径为r.
(1)当r 取什么值时，点A，B 在⊙C 外？
(2)当r 取什么值时，点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外？
解：(1)若点A，B 在⊙C 外，
则有AC＞r. ∵AC＝6，∴r＜6.
(2)若点A 在⊙C 内，点B 在⊙C 外，
则有AC＜r＜BC，
∵AC＝6，BC＝8，∴6＜r＜8.
小试牛刀
5 如图所示，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD⊥BC，垂
足为点F，∠ABC 的平分线交AD 于点E，连接BD，CD.
(1)求证：BD＝CD；
(2)判断B，E，C 三点是否在以D 为圆心，
DB 为半径的圆上，并说明理由．
(1)证明：∵AD 为圆的直径，AD⊥BC，∴根据垂径定理可
知BF＝CF，在△AFB 和△AFC 中，AF＝AF，∠AFB
＝∠AFC＝90°，BF＝CF，∴△AFB ≌ △AFC，
∴∠BAD＝∠CAD，∴ ，∴BD＝CD.
小试牛刀
(2)解：B，E，C 三点在以D 为圆心，DB 为半径的圆上．
理由如下：由(1)知 ，
∴∠BAD＝∠CBD.
∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴∠CBE＝∠ABE，
∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋
∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.
∴DB＝DE.
由(1)知BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.
∴B，E，C 三点在以D 为圆心，DB 为半径的圆上．
小试牛刀
如图①，若∠ACB＝∠ADB＝90°，则点D 在经过A，B，C三点的圆上．如图②，如果∠ACB＝∠ADB＝α (α＜90°)，点C，D 在AB 的同侧．求证：点D 在经过A，B，C 三点的圆上．
证明：假设点D 不在经过A，B，C 三点的圆上，则点D
在经过A，B，C 三点的圆外或圆内．设经过A，
B，C 三点的圆为⊙O.
小试牛刀
①当点D 在⊙O 内时，如图①.
设AD 的延长线交⊙O 于点E，连接BE，则∠ACB＝∠AEB.
∵∠ADB＝∠AEB＋∠EBD，∴∠ADB＞
∠AEB，即∠ADB＞∠ACB，这与∠ACB
＝∠ADB 矛盾，∴点D 不在⊙O 内．
②当点D 在⊙O 外时，如图②.
设AD 交⊙O 于点E，连接BE，则∠ACB＝∠AEB.
∵∠AEB＝∠D＋∠EBD，∴∠D＜∠AEB，即∠D＜∠ACB，
这与∠D＝∠ACB 矛盾，∴点D 不在⊙O 外．
综上可知，点D 不在⊙O 内，也不在⊙O 外．
∴点D 在⊙O上，即点D 在经过A，B，C 三点的圆上．
小试牛刀
某学校的教室A 的东240米的O 点处有一货场，经过O 点沿北偏东60°方向有一条公路，假定运货车形成的噪音影响的范围在130米以内．
(1)这条公路上的运货车产生的噪音会对学校造成影响吗？请说明理由．
(2)若运货车产生的噪音会对学校造成影响，为消除噪音，计划在公路边
修筑一段消音墙，请你计算
消音墙的长度．(只考虑
声音的直线传播)
小试牛刀
解：(1)会造成影响，理由如下：
如图，过点A 作AH⊥BC 于H，可知∠AOH＝30°，
在Rt△AOH 中，AO＝240米．∴AH＝AO＝120米．∵120米
＜130米，∴点A 在以点H 为圆心，以130米长为半径的⊙H
内，即这条公路上的运货车产生的噪音会对学校造成影响．
(2)当运货车距A点130米时，学校开始受到噪音影响，假设
运货车行驶到C 处，学校开始受影响，运货车离开B 处，学
校不再受影响，则AB＝AC＝130米，如图，
在△ABC 中，AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH.
在Rt△ACH 中，AC＝130米，AH＝120米．
∴CH＝ ＝50(米)．
∴BC＝2CH＝100米，即消音墙的长度为100米．
课堂小结
课堂小结
点和圆的三种位置关系：
设⊙O 的半径为r，点P 到圆心的距离为d，则
同学们，
下节课见！
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