【班海精品】冀教版（新）九下-30.4 二次函数的应用【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
30.4 二次函数的应用
建立坐标系解“抛物线”形问题
一、导学
1. 导入课题：
如图中的抛物线形拱桥，当水面在l m时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？（板书课题）
2.学习目标：
（1）能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题. （2）进一步巩固二次函数的性质与图象特征. 3.学习重、难点：
重点：建立合适的直角坐标系，用二次函数解决实际问题. 难点：建立合适的直角坐标系. 4．自学指导
（1）探究内容：如图中的抛物线形拱桥，当水面在l m时，拱顶离水面2m，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成探究提纲. （4）探究提纲：
①图中的抛物线表示 ，以抛物线的顶点为 ，以抛物线的对称轴为 ，建立直角坐标系. ②设y=ax2(a≠0)，根据已知条件图象经过点 ，用待定系数法就可以求出a，即可确定解析式.
③水面下降1m后，y=ax2中的y=-2 ，求出对应的x值，即可得此时的水面宽度 .
④水面宽度增加多少？
⑤如果以下降1m后的水面为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.给出你的解答，两种方法的结果相同吗？
⑥你还有其他的方法吗？请与你的同桌分享.
二、自学：学生可参考自学指导进行自学. 三、助学：
（1）师助生：
①明了学情：关注学生提纲第⑤题的解决情况，让他们体会坐标系建立方式的不同，具体区别在哪？
②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 四、强化：
利用二次函数解决抛物线形问题的一般步骤： （1）建立适当的直角坐标系；
（2）写出抛物线形上的关键点的坐标； （3）运用待定系数法求出函数关系式； （4）求解数学问题；
（5）求解抛物线形实际问题. 五、评价：
1. 学生学习的自我评价（围绕三维目标）：在这节课学习中你有何收获？掌握哪些解题技能和方法？ 2. 教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生学习的状态、方法、效果及存在的问题等. （2）纸笔评价：课堂评价检测； 3. 教师的自我评价（教学反思）.
求二次函数表达式解几何最值问题
教学目标 知识和能力 1．使学生掌握用待定系数法由已知图像上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。2. 使学生掌握用待定系数法由已知图像上三个点的坐标求二次函数的关系式。
过程和方法 让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
情感态度价值观
教学重点 已知二次函数图像上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式
教学难点 已知图像上三个点坐标求二次函数的关系式
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、创设问题情境 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。 如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y＝ax2 (a＜0) (1) 因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝ ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。 因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。 请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展 问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。 问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗 分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。 二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。 解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。 因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。由已知，函数的图像过(0，0)，可得c＝0，又由于其图像过(2，0.8)、(4，0)，可得到解这个方程组，得 所以，所求的二次函数的关系式为y＝－x2＋x。 问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图像是否与前面所画图像相同 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便 为什么 (第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图像也容易) 三、课堂练习 例1．如图所示，求二次函数的关系式。 分析：观察图像可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。 解：观察图像可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图像经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图像过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到解这个方程组，得 所以，所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4 练习： 一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。四、小结： 二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。
作业设计 必做
选做
教学反思
求二次函数表达式解实际最值问题
一、明确学习目标
1、能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题和解决问题的能力和应用数学的意识.
2、经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
3、通过学习和合作交流，了解数学带给人们的价值及美感.
二、自主预习
1、求下列函数的最大值或最小值.
（1）
（2）
2、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，那么一周的利润是多少？
学生展示，师生互评.
商场的服装，经常出现涨价、降价，这其中有何奥妙呢？商家的利润是否随涨价而增大，随降价而减小？
三、合作探究
活动1 1、阅读教材并思考：
（1）涨价的情况；
（2）如何确定函数关系式？
（3）变量x有范围要求吗？
2、教师分层引导：
（1）销售额为多少？
（2）进货额为多少？
（3）利润y与每件涨价x元的函数关系式是什么？
（4）变量x的范围如何确定？
（5）如何求最值？
3、解决问题：
活动2 例 某建筑的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料长为15m（图中所有线条长度之和），当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？
教师点拨：此题较复杂，特别要注意：中间线段用x 的代数式来表示时，要充分利用几何关系；要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内.
四、当堂检测
1、如图所示，从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE、DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？
2、如图所示，有一块空地，空地外有一面长10m的围墙，为了美化生活环境，准备靠墙修建一个矩形花圃，用32m长的不锈钢作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为1m的通道及在左右花圃各放一个1m宽的门，花圃的宽AD究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？
五、拓展提升
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.
（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） x
销售量y（件）
销售玩具获得利润w（元）
（2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
六、课后作业
一、选择题
1、在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是y cm2，设金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、一件工艺品进价为100元，标价是135元售出，每天可售出100件，根据售销统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（ ）
A、5元 B、10元 C、0元 D、36元
二、填空题
3、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。当地政府对该特产的销售投资与收益的关系为：每投入x万元，可获得利润，每年最多可投入100万元的销售投资，则5年所获利润的最大值是___________________.
4、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_______秒，四边形APQC的面积最小.
三、解答题
5、某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形。其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm，请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）
6、如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线l向正方形移动，直到AB与CD重合，设x 秒时，三角形与正方形重合部分的面积为y m2.
(1)写出y与x的函数解析式；
(2)当x=2，3.5时，y分别是多少？
(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
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