【班海精品】冀教版（新）九下-30.2 二次函数的图像和性质【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
30.2 二次函数的图像和性质
二次函数y=ax 的图像和性质
教学背景：
学生通过前面已熟知了画函数图像的方法：列表、描点、连线，也学习了一次函数、反比例函数的图像画法及形状，这为探究函数y=ax 的图像做好了知识上的准备。学生也具备了基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操作、探究成为可能。但它的图像有不同于前面，学生容易造成错误和模糊，在具体探究过程中还需教师的指导。
教材分析
本节课是冀教版九年级数学下册第30章第二节课，在学习了二次函数的概念后，就要学习函数的图像，这也是学习函数的第二步。本节课要使学生明了简单的函数y=ax 的图像是抛物线，这是研究一般二次函数图像的基础，并通过列表及画图，使学生理解y=ax 的性质，这也是本节课的重难点。只有学好本节课的知识，才能深入研究一般的二次函数y=ax +bx+c的性质。
学情分析
1 学习方式：
通过本节课的议一议，做一做，练一练等知识的加深，真正让学生自己通过探究，有所收获，并进一步提高学生的观察、交流、概括、总结及表达的能力，而且更进一步让学生体会到数、形的转化，真正把学生放到主体位置。
2 学习任务分析：
本节课一开始直接给学生出示函数y=x 的解析式，并要求作图及观察从而得出它性质。这样，让学生能通过运用过去的知识经验，动手操作，交流总结，去发现新知识，解决新知识，从而实现由掌握到迁移运用的过程。培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务。
教学流程
活动流程图 活动内容和目的
活动1: 动手画y=x 的图像 创设活动情景，让学生用已熟知了画函数图像的方法试着完成这一跳一跳，摸得着的问题。
活动2：教师用“z+z”加以验证 帮助学生认知，给二次函数图像命名
活动3：观察y=x 的图像的性质，然后分组探讨 认识和理解二次函数y=x 的性质。
活动4：做出二次函数y=-x 的图像，分析性质 通过对比函数y=ax 中系数a的变化，引出图像一些性质的变化。
活动5：练一练 体会自变量“x”的取值范围的特殊性
活动6：反思评价 学生归纳总结
教学过程设计
教学目标 知识与技能 1.能够利用描点法作出y=x 的图像，并能根据图像认识和理解二次函数y=x 的性质。
2.能作出二次函数y=-x 的图像，并能够比较与y=x 的图像的异同，初步建立二次函数表达式与图像之间的联系。
过程与方法 经历画二次函数y=x 的图像和探索性质的过程，获得利用图像研究函数性质的经验。
情感态度与价值观 培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务
重点 会画y=ax 的图像，理解其性质。
难点 描点法画y=ax 的图像，体会数与形的相互联系。
教学方法 探究 、观察、交流、概括、总结
教学准备 三角板 、“z+z”电脑课件
教学过程 问题与情景 师生行为 设计说明
活动1：创设情景
　 在研究一种函数时，它的图像和性质对我们来说非常重要。今天我们就来结识二次函数的图像。请同学们自己先试着画出二次函数y=x 的图像。
让学生板书：出现的问题让学生去找出，纠正；教师用“z+z”加以验证，并帮助学生给二次函数图像命名，“二次函数的图像称为抛物线。” 学生们过去已熟知了画函数图像的方法：①列表、②描点、③连线。因此在这一问题上教师不作过多提示，完全把这跳一跳，摸得着的问题完全交给学生。
活动2：议一议请同学们观察y=x 的图像的性质，然后分组探讨。 请每组的学生代表一一发表自己的观察结果，（在此过程中，教师不能作裁判，把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化。）然后按课本的问题加以总结和整理。（作到有放有收）
得出：① 图像形状：抛物线（由教师给出）
　　② 与x、y轴交点；
　　③ y随x的增减性；
　　④ 图像的对称性。及系数与图像的关系。 在此问题上，教师没有按课本上的问题一一叠列给学生，而是尽量充分发挥学生的观察能力；再者学生已研究过正比例函数、一次函数、反比例函数，已经积累了一定的研究函数图像的方法和能力，积累了研究函数图像要“研究什么”的经验，有了一定“模式”
活动3：做一做教师问：二次函数y=-x 的图像是什么形状？先想一想，然后作出它的图像，它与二次函数y=x 的图像有了什么变化？ 教师提出问题，学生小组讨论，对比，得出结论。完成二次函数y=ax 中系数a的变化，引出图像一些性质的变化。 设计说明：主要以小组讨论完成，其间可找一小组用“z+z”将y=x 与y=-x 的图像放在一个坐标系内，并发表自己的意见。在语言问题上，为了规范化，教师要给以纠正。）（如：开口方向，开口大小等语言）
活动4：练一练若正方形的边长为a，面积为s，试求出面积s与边长a的关系式，并画出图像 学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，辨证出图像只在第一象限存在 在实际应用的问题上，教师先不要进行过多的提醒，让学生进一步体会自变量“x”的取值范围的特殊性。
活动5：反思评价1、我们通过观察总结得出二次函数y=ax 的图像的一些性质是：①、图像——“抛物线”是轴对称图形；
　　②、与x、y轴交点——（0，0）即原点；
　　③、a的绝对值越大抛物线开口越大，a﹥0，开口向上，
　　当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小
　　（y随x的减小而增大）
　　当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大
　　（y随x的减小而减小）
　　a﹤0，开口向下，
　　当x﹤0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大
　　（y随x的减小而减小）
　　当x﹥0时，（对称轴右侧），y随x的增大而减小
　　（y随x的减小而增大）
　2、今天我们通过观察收获不小，其实只要我们在日常生活中勤与观察，勤与思考，你会发现知识无处不在，美无处不在。 教师问，学生答最后展示 让学生学有所获，知识系统化。积累经验，为后续学习奠定基础。
布置作业：完成读一读和课后习题第1题。 学生批注 结合本课学习，选择了一道较简单的题，让学生巩固
板书设计 课题：二次函数y=ax 的图像活动1：y=x 的图像的性质：活动3：做一做函数y=ax 中系数a的变化，引出图像一些性质的变化
教学反思：
本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣。教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识。整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣。
二次函数y＝a(x—h)2的图像和性质
教学目标：
1． 知识与技能
使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图像。
2． 过程与方法
让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图像与二次函数y＝ax 的图像的关系。
重点难点：
重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图像，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图像与二次函数y＝ax 的图像的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图像与二次函数y＝ax 的图像的相互关系是教学的难点。
教学过程：
一、提出问题
1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x ，y＝－x －1的图像，并回答：
(1)两条抛物线的位置关系。
(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。
(3)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图像与二次函数y＝2x 的图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗 这两个函数的图像之间有什么关系
二、分析问题，解决问题
问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题
(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x 的图像，并加以观察)
问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x 与y＝2(x－1)2的图像吗
教学要点
1．让学生完成下表填空。
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝2x
y＝2(x－1)2
2．让学生在直角坐标系中画出图来：
3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能回答前面提出的问题吗
教学要点
1．教师引导学生观察画出的两个函数图像．根据所画出的图像，完成以下填空：
开口方向 对称轴 顶点坐标
y＝2x
y＝2(x－1)2
2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x 的图像、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图像可以看作是函数y＝2x 的图像向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
问题4：你可以由函数y＝2x 的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗
教学要点
1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x 的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图像；
2．让学生完成以下填空：
当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。
三、做一做
问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x 的图像，并比较它们的联系和区别吗
教学要点
1．在学生画函数图像的同时，教师巡视、指导；
2．请两位同学上台板演，教师讲评；
3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数
y＝2x 的图像开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数
y＝2(x＋1)2的图像可以看作是将函数y＝2x 的图像向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。
问题6；你能由函数y＝2x 的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗
教学要点
让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。
问题7：在同一直角坐标系中，函数y＝－(x＋2)2图像与函数y＝－x 的图像有何关系
(函数y＝－(x＋2)2的图像可以看作是将函数y＝－x 的图像向左平移2个单位得到的。)
问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
(函数y＝－(x十2)2的图像开口向下，对称轴是直线x＝－2，顶点坐标是(－2，0))。
问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗
教学要点
让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。
四、课堂练习：　
五、小结：
1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图像与函数y＝ax 的图像有什么联系和区别
2．你能说出函数y＝a(x－h)2图像的性质吗
3．谈谈本节课的收获和体会。
六、作业
二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质
教学目标 知识和能力 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax 的图像之间的关系。2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程和方法 让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
情感态度价值观
教学重点 确定函数y=a(x－h)2＋k的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax 的图像之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质
教学难点 正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图像与函数y=ax 的图像之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、提出问题1．函数y=2x ＋1的图像与函数y=2x 的图像有什么关系 (函数y=2x ＋1的图像可以看成是将函数y=2x 的图像向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图像与函数y=2x 的．图像有什么关系 (函数y=2(x－1)2的图像可以看成是将函数y=2x 的图像向右平移1个单位得到的)3．函数y=2(x－1)2＋1图像与函数y=2(x－1)2图像有什么关系 函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质 二、试一试你能填写下表吗 y=2x 向右平移的图像1个单位y=2(x－1)2向上平移1个单位y=2(x－1)2＋1的图像开口方向向上对称轴y轴顶 点(0，0) 问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x 图像的关系吗 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识； 函数y＝2(x－1)2＋1的图像可以看成是将函数y=2(x－1)2的图像向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x 的图像向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。 当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。三、做一做问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图像，并将它与函数y=2(x－1)2的图像作比较吗 教学要点 1．在学生画函数图像时，教师巡视指导； 2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。 问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图像与函数y=－x 的图像的关系，由此进一步说出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗 (函数y＝－(x－1)2＋2的图像可以看成是将函数y=－x 的图像向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)四、课堂练习： 五、小结1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑 2．谈谈你的学习体会。
作业设计 必做
选做
教学反思
二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
教学目标 知识和能力 1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax ＋bx＋c的图像。2．使学生掌握用图像或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程和方法 让学生经历探索二次函数y＝ax ＋bx＋c的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax ＋bx＋c的性质。
情感态度价值观
教学重点 用描点法画出二次函数y＝ax ＋bx＋c的图像和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标
教学难点 理解二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、提出问题 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (函数y＝－4(x－2)2＋1图像的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图像与函数y＝－4x 的图像有什么关系 (函数y＝－4(x－2)2＋1的图像可以看成是将函数y＝－4x 的图像向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) 3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质 (当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1) 4．不画出图像，你能直接说出函数y＝－x ＋x－的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标吗 [因为y＝－x ＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图像开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)] 5．你能画出函数y＝－x ＋x－的图像，并说明这个函数具有哪些性质吗 二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x ＋x－的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x ＋x－的图像，进而观察得到这个函数的性质。说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。 (2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图像美观。 让学生观察函数图像，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质； 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2三、做一做 1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x －4x＋10的图像，由图像你能发现这个函数具有哪些性质吗 教学要点 (1)在学生画函数图像的同时，教师巡视、指导； (2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。 2．通过配方变形，说出函数y＝－2x ＋8x－8的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值 这个值是多少 教学要点 (1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图像的开口方向有什么关系 这个值与函数图像的顶点坐标有什么关系 以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图像与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图像的开口方向、对称轴和顶点坐标 你能把结果写出来吗 教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识； y＝ax ＋bx＋c＝a(x ＋x)＋c ＝a[x ＋x＋()2－()2]＋c ＝a[x ＋x＋()2]＋c－ ＝a(x＋)2＋ 当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－，)四、课堂练习：　五、小结：　通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？
作业设计 必做
选做
教学反思
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