【班海精品】人教版（新）九下-27.2 相似三角形 第四课时【优质课件】

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27.2 相似三角形
第4课时
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目录
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新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
2.(简称：三边）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的判定：
1.（简称：平行线）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
新课精讲
探索新知
1
知识点
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
问 题
利用刻度尺和量角器画△ABC 与△A1B1C1，使∠A=∠A1， 和 都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC 和B1C1的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B1，∠C 与∠C1是否相等？
探索新知
A
B
C
A1
B1
C1
如图△ABC 和△A1B1C1中， ∠A=∠A1
求证： △ABC∽△A1B1C1
探索新知
在线段A1B1(或它的延长线)上截
取A1D=AB，过点D 作DE//B1C1，
交A1C1于点E，
∴△A1DE∽△A1B1C1
证明：
A1
B1
C1
A
B
C
D
E
∵∠A=∠A1,
∴△A1DE ≌ △ABC
∴△ABC∽△A1B1C1
探索新知
结 论：
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
探索新知
例1 根据下列条件，判断 是否相似，并说
明理由.∠A=120°，AB=7cm， AC=14cm. ∠A ′=120°,
A′B ′=3cm， A′C ′=6cm.
解：
探索新知
总 结
利用三角形两边成比例且夹角相等证两三角形相似的方法：
首先找出两个三角形中相等的那个角；再分别找出两个三角形中夹这个角的两条边，并按大小排列找出对应边；最后看这两组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似，否则不相似.
典题精讲
1
根据下列条件，判断 是否相似，并说明理由.
∠A=40°， AB=8cm， AC=15cm.
∠A′=40°，A′B ′=16cm， A′C ′=30cm.
解：相似
又∵∠A＝∠A′＝40°，
∴△ABC∽△A′B′C ′.
典题精讲
图中的两个三角形是否相似？为什么？
2
相似
理由如下：
∵
∴
又∵∠ACB＝∠ECD，
∴这两个三角形相似．
解：
B
E
典题精讲
3
在等边三角形ABC 中，D，E 分别在AC，AB上，且 ，AE＝BE，则有(　　)
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
B
典题精讲
4
不能判定△ABC 和△A′B′C′ 相似的条件是(　　)
A.
B. ，且∠A＝∠A′
C. ，且∠B＝∠A′
D. ，且∠B＝∠C′
D
错解：设AE 的长为x. ∠A是公共角，
要使△ADE 和△ABC 相似，
则有
解得x＝6.所以AE 的长为6.
探索新知
2
知识点
判定三角形相似的应用
例2 如图，在△ABC 中，AB＝16，AC＝8，在AC 上取一
点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE 和△ABC
相似，求AE 的长．
探索新知
错解分析：已知有一对角相等，要使这两个三角形相似，夹
这对角的两边对应成比例．但两边的对应关系无
法确定，所以应分两种情况考虑．
正解：设AE 的长为x. ∠A是公共角，
要使△ADE 和△ABC 相似，
则有
即
解得x＝6或x＝1.5.
所以AE 的长为6或1.5.
探索新知
总 结
判定两个三角形相似，当已知有两边成比例，可证明第三边也与这两边成比例，也可证明夹角相等；若已知有一对角相等，则可证明夹这对角的两边对应成比例．当无法确定对应关系时，必须进行分类讨论．
典题精讲
如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，点D 在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE＝
______________．
1
典题精讲
如图，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P 所在的格点为(　　)
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
2
C
易错提醒
已知△ABC 和△A′B′C ′，∠A＝50°，∠A′＝50°，AB＝8，BC＝7，A′B ′＝16，B′C ′＝14，请问这两个三角形是否相似？请说明你的理由．
易错点： 在应用边角关系判定三角形相似时，忽略“夹角”而致错.
解：
△ABC 与△A′B′C ′不一定相似．理由如下：因为∠A＝∠A′＝50°，但不知道　　 是否等于 ，所以根据已知条件不能确定△ABC 与△A′B′C ′相似．
易错提醒
易错总结：根据边角关系判定两个三角形相似，应具备
“两边对应成比例，且夹角相等”，本题中虽然
，但BC，B′C ′分别是∠A，∠A′的对边，不
满足“两边成比例且夹角相等”，不能由此来判断△ABC与△A′B′C ′相似．
学以致用
小试牛刀
1
如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA:OC＝OB:OD，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．①和②相似
B．①和③相似
C．①和④相似
D．②和④相似
B
小试牛刀
2
如图，D 是△ABC 的边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则它们必须具备的条件可以是(　　)
A.
B.
C．CD 2＝AD·DB
D．AC 2＝AD·AB
D
小试牛刀
已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为(　　)
A. 　 　B.　 　
C. 　 　D.
3
D
小试牛刀
4 如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG 分别交线段DE，BC 于点F，G，且
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若　　　　，求　　的值．
小试牛刀
(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，
　∴∠ADF＝∠C.
　又∵
　∴△ADF∽△ACG.
(2)解：∵△ADF∽△ACG，∴
　又∵　　　　，∴
　∴
小试牛刀
5 如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝　　　，在AC 边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD 2与AC·CD 的大小关系；
(2)求∠ABD 的度数．
小试牛刀
解：
(1)通过计算，判断AD 2与AC·CD 的大小关系；
∵AB＝AC＝1，BC＝　　　，AD＝BC，
∴AD＝　　　，DC＝AC－AD＝1－　　　＝
∴AD 2＝　　　　　　　　　，
　AC·CD＝1×
∴AD 2＝AC·CD.
小试牛刀
(2)求∠ABD 的度数．
解：
∵AD＝BC，AD 2＝AC·CD，
∴BC 2＝AC·CD，即
又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB.
∴　　　　　　 ，∠DBC＝∠A.
∴DB＝CB＝AD.
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC.
设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x.
∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°. ∴∠ABD＝36°.
小试牛刀
6 如图，在正方形ABCD 中，E，F 分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝ DC，连接EF 并延长，交BC 的延长线于点G，连接BE.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求BG 的长．
小试牛刀
证明：
(1)求证：△ABE∽△DEF；
在正方形ABCD 中，∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.
∵AE＝ED，DF＝　 DC，
∴AE＝ED＝ AB，DF＝ AB，
∴　　　　　 . ∴△ABE∽△DEF.
小试牛刀
解：
(2)若正方形的边长为4，求BG 的长．
∵DF＝　 DC，∴
∵AD∥CG，∴△EFD∽△GFC，
∴
∵DE＝ AB＝2，∴CG＝6，∴BG＝10.
小试牛刀
7 如图，在矩形ABCD 中，AB＝10 cm，BC＝20 cm，两只小虫P和Q 同时分别从A，B 出发沿AB，BC 向终点B，C 方向前进，小虫P 每秒走1 cm，小虫Q 每秒走2 cm.
请问：它们同时出发多少秒时，以P，B，Q 为顶点的三角形与以A，B，C 为顶点的三角形相似？
小试牛刀
解：
设它们同时出发了t s时△PBQ 与△ABC 相似，此时，
BP＝(10－t ) cm，BQ＝2t cm.
①∵∠B＝∠B，∴当　　　　　时，△PBQ∽△ABC.
∴ ∴t＝5；
②∵∠B＝∠B，∴当　　　　　时，△PBQ∽△CBA.
∴
∴t＝2.
综上，它们同时出发了2 s或5 s时，以P，B，Q 为顶点
的三角形与以A，B，C 为顶点的三角形相似．
课堂小结
课堂小结
（1）要识别两个三角形相似，要找到这两个三角形有
两边成比例，再找到上述两边的夹角相等，即可
判定这两个三角形相似．
（2）当题目中告诉两个三角形某些边的长度，又有对
顶角或公共角或告诉了某个角的度数时，我们要
首先考虑这个判定方法．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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