【班海精品】人教版（新）九下-27.2 相似三角形 第五课时【优质课件】

(共47张PPT)
27.2 相似三角形
第5课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾：
三角形的内角和是多少度？
新课精讲
探索新知
1
知识点
两角分别相等的两个三角形相似
这两个三角形的三个内角的大小有什么关系？
三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
三个内角对应相等.
观察你与老师的直角三角尺 , 相似吗？
探索新知
画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75° .
①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．
相似
一定需三个角对应相等吗？
探索新知
相似三角形的判别方法1：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似吗？
探索新知
C
A
A'
B
B'
C'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B '
∴ ΔABC ∽ ΔA'B 'C '
用数学符号表示：
相似三角形的判定
(两个角分别对应相等的两个三角形相似.)
探索新知
例1 如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E 是AC上
一 点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D，求AD 的长.
解：∵ ED⊥AB，
∴ ∠EDA=90°.
又∠C=90 °， ∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC.
A
D
B
C
E
探索新知
总 结
当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例.找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等.
典题精讲
底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.
1
底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC 中，AB＝AC，在△A′B′C ′中，A′B ′＝A′C ′，且∠B＝∠B ′. 求证：△ABC∽△A′B′C ′.证明：在△ABC 中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B ′＝∠C ′.又∵∠B＝∠B ′，∴∠C＝∠C ′. ∴△ABC∽△A′B′C ′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC 中，AB＝AC，在△A′B′C ′中，A′B ′＝A′C ′，且∠A＝∠A′.求证：△ABC∽△A′B′C ′.证明：在△ABC 中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B ′＝∠C ′.又∵∠B＝ ∠B′＝
∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B ′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C ′.
解：
典题精讲
2
下列各组条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′ 相似的是(　　)
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B ′，∠A－∠B＝∠A′－∠B ′
C
典题精讲
3
如图，△ABC 中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)
C
典题精讲
4
如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF 等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
B
探索新知
2
知识点
两直角三角形相似的判定
思考：
我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.
那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
事实上，这两个直角三角形相似.下面我们给出证明.
如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∠C＝90°，∠C′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ .
探索新知
分析：要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，可设法证
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
探索新知
归 纳
直角三角形相似的判定定理：
(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似；
(2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似．
数学表达式：
在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，
(1)∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′；
(2)∵∠C＝∠C′＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′.
探索新知
归 纳
直角三角形相似的判定方法：
有一锐角对应相等 两直角三角形相似
有两组直角边对应成比例 两直角三角形相似
有斜边与一直角边对应成比例 两直角三角形相似
探索新知
例2 在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，∠C＝∠F＝90°，下列条
件中不能判定这两个三角形相似的是(　　)
A．∠A＝55°，∠D＝35°
B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
导引：根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析即可．
A．∵∠A＝55°，∴∠B＝90°－55°＝35°.
∵∠D＝35°，∴∠B＝∠D.
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△EDF；
C
探索新知
B．∵AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8，
∴
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF；
C．由题目中知∠C＝∠F＝90°，但已知条件中不能得出两
组对应边成比例，故不能判定两三角形相似．
D．∵AB＝10，AC＝8，∴由勾股定理可得BC＝6.
又DE＝15，EF＝9，∴
又∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC∽△DEF.
探索新知
总 结
判定两直角三角形相似的方法：
一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．
典题精讲
如图，Rt△ABC 中，CD 是斜边AB上的高.
求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC.
1
(1)∵CD 是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB.
又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
(2)∵CD 是斜边AB上的高，
∴∠CDB＝90°.
在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC.
证明：
D
B
C
A
典题精讲
如果Rt△ABC 的两条直角边分别为3和4，那么以3k 和4k (k是正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗？为什么？
2
一定相似．理由如下：
∵两条对应直角边的比分别为
∴对应直角边的比相等．
又∵两直角边所夹的角都为直角，
∴两个三角形一定相似．
证明：
典题精讲
如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，点E 在AB上，点F 在CD上，点G，H 在对角线AC上，若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是(　　)
A．2 B．3 C．5 D．6
3
C
典题精讲
如图，正方形ABCD 中，M 为BC上一点，ME⊥AM，ME 交AD 的延长线于点E. 若AB＝12，BM＝5，则DE 的长为(　　)
A．18 B． C． D．
4
B
易错提醒
已知正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC上，△ADP 与△QCP 相似时，求BQ 的值．
解：
由题意，得∠D＝∠C＝90°.
①当　　　　　时，△ADP∽△PCQ，
即　　　　，得CQ＝　 .故BQ＝1－ ＝
易错提醒
易错点： 相似情形考虑不全面，解答不完整.
跳出误区：因为题中∠D＝∠C＝90°，所以直角三角形相似在对应顺序上有两种可能，即△ADP∽△PCQ 或△ADP∽△QCP，此题容易因只考虑一种情况而漏解．
②当　　　　　时，△ADP∽△QCP，
即　　　　，得QC＝1，故BQ＝0.
所以当△ADP 与△QCP 相似时，BQ 的值为0或
学以致用
小试牛刀
1
如图，AB 是半圆O 的直径，D，E 是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE 与BD 相交于点C，要使△ADC 与△ABD 相似，下列添加的条件错误的是(　　)
A．∠ACD＝∠DAB
B．AD＝DE
C．AD 2＝BD·CD
D．CD·AB＝AC·BD
D
小试牛刀
2
如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC 的长为(　　)
A．4
B．4
C．6
D．4
B
小试牛刀
3
如图，矩形ABCD 的边AD＝3，AB＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC上，且BF＝2FC，AF 分别与DE，DB 相交于点M，N，则MN 的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
B
小试牛刀
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，下列结论中：
①AC·BC＝AB·CD；②AC 2＝AD·DB；③BC 2＝BD·BA；④CD 2＝AD·DB，正确的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
4
C
小试牛刀
5 如图，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF上，EF 与BC 相交于点G，连接CF.
(1)求证：△DAE ≌ △DCF；
(2)求证：△ABG ∽ △CFG.
小试牛刀
在正方形ABCD、等腰直角三角形DEF 中，
∠ADC＝∠EDF＝90°，DA＝DC，DE＝DF，
∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF.
∴∠ADE＝∠CDF.
在△ADE 和△CDF 中，
∴△ADE ≌ △CDF.
证明：
(1)求证：△DAE ≌ △DCF；
小试牛刀
如图，延长BA到M，交ED于点M.
∵△ADE ≌ △CDF，
∴∠EAD＝∠FCD，即
　∠EAM＋∠MAD＝∠BCF＋∠BCD.
∵∠MAD＝∠BCD＝90°，
∴∠EAM＝∠BCF.
∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF.
∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.
证明：
(2)求证：△ABG∽△CFG.
小试牛刀
6 如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O于点D，连接OD. 作BE⊥CD 于点E，交半圆O 于点F. 已知CE＝12，BE＝9.
(1)求证：△COD ∽△CBE；
(2)求半圆O 的半径r 的长．
小试牛刀
∵CD 切半圆O 于点D，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°.
∵BE⊥CD，∴∠CDO＝90°＝∠E.
又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.
证明：
(1)求证：△COD∽△CBE；
　解：
(2)求半圆O 的半径r 的长．
在Rt△BEC 中，CE＝12，BE＝9，
∴BC＝
∵△COD∽△CBE，
∴　　　　　，即　　　　　，解得r＝
小试牛刀
7 如图，以AB 边为直径的⊙O 经过点P，C 是 ⊙O上一点，连接PC 交AB 于点E，且∠ACP＝60°，PA＝PD.
(1)试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
(2)若点C 是弧AB 的中点，已知AB＝4，求CE ·CP 的值．
小试牛刀
(1)试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
PD 与⊙O 相切．理由如下：
如图，连接OP.
∵∠ACP＝60°，∴∠AOP＝120°.
∵OA＝OP，∴∠OAP＝∠OPA＝30°.
∵PA＝PD，∴∠PAO＝∠D＝30°.
∴∠APD＝120°.
∴∠OPD＝∠APD－∠OPA＝90°.
又∵OP 是⊙O 的半径，
∴PD 是⊙O 的切线．
解：
小试牛刀
解：
(2)若点C 是弧AB 的中点，已知AB＝4，求CE · CP 的值．
如图，连接BC.
∵AB是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.
又∵C 为弧AB 的中点，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠APC＝45°.
∵AB＝4，∴CA＝ 　 AB＝
∵∠ACE＝∠PCA，∠CAB＝∠APC，
∴△CAE∽△CPA.
∴ . ∴CE CP＝CA 2＝( 　 )2＝8.
小试牛刀
8 如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E.
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE 的长．
小试牛刀
证明：
(1)求证：DE 是⊙O 的切线；
如图，连接OE，EC.
∵AC 是⊙O 的直径，
∴∠AEC＝∠BEC＝90°.
∵D 为BC 的中点，∴ED＝DC＝BD.
∴∠1＝∠2.
∵OE＝OC，∴∠3＝∠4.
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB.
∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°.
∴DE 是⊙O 的切线．
小试牛刀
解：
(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE 的长．
在△BEC 与△BCA 中，∠B＝∠B，
∠BEC＝∠BCA＝90°，∴△BEC∽△BCA.
∴ ∴BC 2＝BE BA.
由AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，可得BE＝2x，BA＝3x.
∵BC＝6，
∴62＝2x 3x，解得x＝ (x＝－ 舍去)，
即AE＝ .
课堂小结
课堂小结
判定两三角形相似的思路：
(1)平行于三角形一边的直线，找两个三角形；
(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边成比例；
(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边成比例；
(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例．
(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两直角边对应成比例，
或斜边、一直角边对应成比例．
同学们，
下节课见！
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