【班海精品】人教版（新）九下-27.2 相似三角形 第三课时【优质课件】

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27.2 相似三角形
第3课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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目录
课前导入
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学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
判定两个三角形全等我们有SSS 的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
三边成比例的两个三角形相似
任意画一个三角形，再画另一个三角形，使它的各边长都是原来各边长的2倍，度量这两个三角形的对应角，他们对应相等吗？这两个三角形全等吗？
问 题
探索新知
如图，在△ABC 和△A′B′C ′中，
则△ABC 与
△A′B′C ′相似吗？为什么？
分析：这时可在A′B ′上截取A′D=AB，再过D 作DE//B′C ′，由△A′DE∽△A′B′C ′，再证明△ABC ≌△A′DE，则可得到△ABC∽△A′B′C ′.
思 考
探索新知
如图，在△ABC 和△A'B'C '中，
求证： △ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A’
C’
B’
D
E
探索新知
证明：在线段A′B ′（或它的延长线）上截取A′D=AB，过点D
作 DE//B′C ′，交A′C ′于点E.根据前面的定理，可得
△A′DE∽△A'B'C'.
∴DE=BC，A′E=AC.
∴ △A′DE ≌ △ABC.
∴△ABC ∽△A'B'C'.
△A′DE 是证明的中介，它把△ABC 与△A′B′C′ 联系起来.
探索新知
结 论
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理（如图）：
三边成比例的两个三角形相似.
△ABC ∽△A'B'C '
A
B
C
A’
B’
C’
探索新知
例1 根据下列条件，判断△ABC 与△A'B'C' 是否相似，并说明理由：
AB=4 cm，BC=6 cm，AC=8 cm，
A′B ′= 12 cm，B′C ′= 18 cm，A′C ′=24 cm.
解：
∴△ABC ∽△A'B'C'.
探索新知
总 结
这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
典题精讲
根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C ′是否相似，并说明理由:
AB= 10 cm，BC = 8 cm，AC = 16 cm,
A′B ′= 16 cm，B′C ′= 12. 8 cm，A′C ′= 25. 6 cm.
1
解：相似
∴△ABC∽△A′B′C ′.
典题精讲
图中的两个三角形是否相似？为什么？
2
相似
理由如下：∵
∴两个三角形的三边成比例．
∴这两个三角形相似．
解：
15
20
25
27
36
45
典题精讲
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 4 cm，5 cm和6 cm，另一个三角形框架的一边长为2 cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？
3
设另外两条边长分别是x cm和y cm(x因此另外两条边长应当分别是 cm和3 cm或 cm和 cm或 cm和 cm，即有3种制作方案．　
解：
典题精讲
4 若△ABC 和△A′B′C ′满足下列条件，其中使△ABC 与
△A′B′C′相似的是(　　)
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B ′＝3 cm，B′C ′＝4 cm，A′C ′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B ′＝3 cm， B′C ′＝6 cm，A′C ′＝ cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B ′＝ cm，B′C ′＝A′C ′＝ cm
D．AB＝1 cm，BC＝ cm，AC＝3 cm；A′B ′＝ cm，B′C ′＝ cm，A′C ′＝ cm
B
典题精讲
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为(　　)
A．2.5，3 　　 　B.
C．1.6，2.4 　　 D．2.5，3或 或1.6，2.4
5
D
典题精讲
若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A′B′C ′，则∠B ′的度数与其对应角∠B 的度数相比(　　)
A．增加了10%
B．减少了10%
C．增加了(1＋10%)
D．没有改变
6
D
探索新知
2
知识点
网格上相似三角形的判定
例2 图1，图2中小正方形的边长均为1，则图2中的哪一个三角形(阴影部分)与图1中的△ABC 相似？
导引：图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．
图1
图2
探索新知
解：由勾股定理知AC＝ ，BC＝2，AB＝
图2(1)中，三角形的三边长分别为1，
图2 (2)中，三角形的三边长分别为1，
图2 (3)中，三角形的三边长分别为
图2 (4)中，三角形的三边长分别为2，
∴图2 (2)中的三角形与△ABC 相似．
探索新知
总 结
利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：
首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比，最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．
典题精讲
如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是(　　)
D
典题精讲
如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲，乙，丙，丁四点中的(　　)
A．甲　　　
B．乙　　　
C．丙　　　
D．丁
C
易错提醒
如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及x，那么x 的值(　　)
A．只有1个 B．有2个
C．有3个 D．有无数个
B
易错点：易因考虑问题不全面而致错.
学以致用
小试牛刀
已知△ABC 的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似(　　)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
1
C
一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(　　)
A．19 B．17
C．24 D．21
2
C
小试牛刀
如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK. ②～⑥中与①相似的是(　　)
A．②③④
B．③④⑤
C．④⑤⑥
D．②③⑥
B
小试牛刀
4 如图， ，求证：∠BAD＝∠CAE.
证明：
∵
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
小试牛刀
5 如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP＝3PC，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
小试牛刀
证明：
设正方形ABCD 的边长为a.
∵Q 是CD 的中点，∴DQ＝CQ＝ a.
∵BP＝3PC，∴PC＝ a，
∴AQ＝
PQ＝
∴
∴△ADQ∽△QCP.
小试牛刀
6 如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH 都是相同的正方形．
(1)△ACF 与△GCA 相似吗 说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
小试牛刀
解：
(1)△ACF 与△GCA 相似吗 说说你的理由．
△ACF∽△GCA.理由：可设正方形ABCD，CDEF，
EFGH 的边长为a，则△ACF 的三边长分别为：
AC＝ ，CF＝a，AF＝ ，
△ACG 的三边长分别为：
AC＝ ，CG＝2a，AG＝ .
∴
∴ ∴△ACF 与△GCA 相似．
小试牛刀
解：
∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
(2)求∠1＋∠2的度数．
小试牛刀
7 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC 为直角三角形；
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中
的3个格点并且与△ABC 相似，并予以证明．
小试牛刀
证明：
(1)试证明△ABC 为直角三角形；
根据勾股定理，得AB＝　　，AC＝ 　，BC＝5，
显然有AB 2＋AC 2＝BC 2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．
小试牛刀
　解：
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；
△ABC 和△DEF 相似．理由如下：
在△DEF 中根据勾股定理，得
DE＝　　，DF＝　　，EF＝　 　.
又∵AB＝　　，AC＝　 ，BC＝5，
∴
∴△ABC∽△DEF.
小试牛刀
(3)画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，
P5中的3个格点并且与△ABC 相似，并予以证明．
　解：
如图，连接P2P5，P2P4，P4P5，则△P2P4P5符合要求．
证明：∵P2P5＝　　，P2P4＝　 ，P4P5＝　　，
AB＝　　，AC＝　 ，BC＝5，
∴
∴△ABC∽△P4P5P2.
课堂小结
课堂小结
利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”：
(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；
(2)计算：分别计算它们对应边的比值；
(3)判断：通过比值是否相等判断两个三角形是否相似．
同学们，
下节课见！
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