【班海精品】人教版（新）九下-28.1 锐角三角函数 第二课时【优质课件】

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28.1 锐角三角函数
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾
在Rt△ABC 中，∠C＝90°
锐角正弦的定义.
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
新课精讲
探索新知
1
知识点
余弦函数
当锐角A 确定时，∠A 的邻边与斜边的比，∠A
的对边与邻边的比也随之确定吗？为什么？这就是
我们这家可要共同学习的内容.
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
探索新知
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°
我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余
弦，记作cosA，即
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
探索新知
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB=5，BC=3，
则∠A 的余弦值是( )
A. B. C. D.
解析：在Rt△ABC 中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cos A=
C
探索新知
总 结
特别提醒求出所需要的边的值，紧扣余弦概念，一定要认清是角的邻边与斜边的比，否则会和正弦混淆．
典题精讲
如图，已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
则cos B 的值是( )
A.
B.
C.
D.
1
A
典题精讲
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，
那么cos α 的值是( )
A.
B.
C.
D.
2
D
探索新知
2
知识点
正切函数
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°
我们把锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的正切，
记作tanA，即
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
∠A的邻边
探索新知
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
AB=10，BC=6，求sin A，cos A，
tan A的值.
解： 由勾股定理得
因此
A
B
C
6
┌
10
探索新知
总 结
已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想，首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求三角函数值．
典题精讲
分别求出下列直角三角形中两个
锐角的正弦值、余弦值和正切值.
解： 由勾股定理得
因此
A
B
C
┌
13
（1）
典题精讲
解：
所以
B
A
C
┌
3
2
（2）
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则tan A
的值是( )
A. B. C. D.
2
A
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，
则tan B 的值是( )
A. B. 3
C. D.
3
D
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为边AC 的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan ∠DBC 的值为( )
A.
B.
C.
D.
4
A
典题精讲
△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC 于D，下列选项中，错误的是(　　)
A．sin α＝cos α
B．tan C＝2
C．sin β＝cos β
D．tan α＝1
5
C
典题精讲
如图，点A，B，O 是正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA，点P 是AmB上的一点，则tan∠APB 的值是( )
A. 1
B.
C.
D.
6
︵
A
易错提醒
已知x＝cos α (α为锐角)满足方程2x 2－5x＋2＝0，
求cos α 的值．
解：
∵方程2x 2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝ ，
又∵0＜cos α＜1(α为锐角)， ∴cos α＝ .
易错提醒
易错点：忽视锐角三角函数值的范围而致错.
常见错解：∵方程2x 2－5x＋2＝0的解是x1＝2，x2＝ ，
∴cos α＝2或cos α＝ .忽略了cos α (α 为锐角)
的取值范围是0＜cos α＜1.
学以致用
小试牛刀
如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD，BC 相交于点P，如果∠DPB＝α，那么 等于(　　)
A．sin α
B．cos α
C．tan α
D.
1
B
小试牛刀
如果方程x 2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC 的两条边长，△ABC 最小的角为∠A，那么tan A的值为______________．
2
小试牛刀
如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A=30°，以点A 为圆心，
BC 长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A，D 为圆心，AB
长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD 的余
弦值是( )
A.
B.
C.
D.
3
B
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，∠CAB＝∠ACB，
过点B 作BE⊥AB 交AC 于点E.
(1)求证：AC⊥BD；
(2)若AB＝14，cos∠CAB＝ ，
求线段OE 的长．
小试牛刀
(1)证明：∵∠CAB＝∠ACB，∴AB＝CB.
∴ ABCD是菱形．∴AC⊥BD.
(2)解：在Rt△AOB 中，cos ∠OAB＝ ，AB＝14，
∴AO＝ AB＝ .
在Rt△ABE 中，cos ∠EAB＝ ，
AB＝14，∴AE＝ AB＝16，
∴OE＝AE－AO＝16－ .
小试牛刀
如图，在等腰三角形ABC 中，AC＝BC＝10，AB＝12，
以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D，交AC 于点G，DF⊥AC，
垂足为F，交CB 的延长线于点E.
(1)求证：直线EF 是⊙O 的切线；
(2)求cos E 的值．
小试牛刀
(1)证明：如图，连接OD，CD.∵BC 是直径，
∴CD⊥AB. ∵AC＝BC，∴D 是AB
的中点．又∵O 为CB 的中点，∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF 是⊙O 的切线．
(2)解：如图，连接BG. ∵BC 是直径，∴∠BGC＝90°.
在Rt△ACD 中，DC＝ ＝8.
∵AB ·CD＝2S△ABC＝AC ·BG，
∴BG＝
∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG.
∴cos E＝cos ∠CBG＝
小试牛刀
如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A是 的中点，
AE⊥AC 于A，与⊙O 及CB 的延长线交于点F，E，且 .
(1)求证：△ADC∽△EBA；
(2)如果AB＝8，CD＝5，求tan∠CAD 的值．
小试牛刀
(1)证明：∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE，
∵ ，∴∠DCA＝∠BAE，
∴△ADC∽△EBA.
(2)解：∵A是 的中点，∴ ，∴AB＝AC＝8.
∵△ADC∽△EBA，∴∠CAD＝∠E， ，
∴ ，∴AE＝ ，
∴tan∠CAD ＝tan∠E ＝
小试牛刀
如图，抛物线 y＝－x 2＋3x＋4与x 轴交于A，B 两点，
与y 轴交于C 点，点D 在抛物线上且横坐标为3.
(1)求tan∠DBC 的值；
(2)点P 为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P 的坐标．
小试牛刀
解：
(1)令x＝0，则y＝4. ∴C (0，4)．令y＝0，则－x 2＋3x＋4＝0，
解得x1＝－1，x2＝4. ∴A (－1，0)，B (4，0)．当x＝3时，
y＝－32＋3×3＋4＝4， ∴D (3，4)．在Rt△OBC 中，OC＝OB＝4，
∴∠ABC＝45°，BC＝4 .如图，连接CD，过D 作DE⊥BC 于E.
∵C (0，4)，∴CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝45°.在Rt△CDE 中，
CD＝3，∴CE＝DE＝ ，∴BE＝BC－CE＝ ，
∴tan ∠DBC＝ .
小试牛刀
(2)如图，过P 作PF⊥x 轴于F.
∵∠CBF＝∠DBP＝45°，∴∠PBF＝∠DBC，
∴tan ∠PBF＝ .
设P (x，－x 2＋3x＋4)，则 ，
解得x1＝－ ，x2＝4(舍去)，
∴P .
课堂小结
课堂小结
(1)∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A，
即cos A＝
(2)∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tan A，
即tan A＝
A
B
C
∠A的对边a
┌
斜边c
∠A 的邻边b
同学们，
下节课见！
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