【班海精品】人教版（新）九下-28.1 锐角三角函数 第四课时【优质课件】

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28.1 锐角三角函数
第4课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
要测量教学楼的高度，小英身高1.6m．她在距离教学楼30m处测得仰角为25°，你能借助计算器估算出教学楼的高度吗 (精确到0.1m)
新课精讲
探索新知
1
知识点
用计算器求已知锐角的三角函数值
通过上面的学习，我们知道，当锐角A 是30°，45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的 锐角三角函数值；如果锐角A 不是这些特殊角， 怎样得到它的锐角三角函数值呢？
我们可以借助计算器求锐角三角函数值.
例如求sin18°，利用计算器的 键，并输入角度值18，
得到结果sin18°=0.309 016 994.
又如求tan30°36′,利用 键，并输入角的度、分值(可以使用 键)，就可以得到结果0.591 398 351.
因为30°36′=30.6°，所以也可以利用 键，并输入角度值30.6，同样得到结果0.591 398 351.
探索新知
sin
tan
°′ ″
tan
探索新知
归 纳
利用计算器求锐角三角函数值：
1. 当锐角的大小以度为单位时，可先按 ， ，
键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是
小数)，最后按 键，就可以在显示屏上显示出
结果；
2. 当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助
键计算，按键顺序是： (或 、 )、度数、
、分数、 、秒数、 、 .
sin
cos
tan
=
°′ ″
sin
cos
tan
°′ ″
°′ ″
°′ ″
=
探索新知
例1 用计算器求sin 16°，cos 42°，tan 85°，
sin 72°38′25″的值．
解：如下表：
按键顺序 显示结果
sin 16° 0.275 637 355
cos 42° 0.743 144 825
tan 85° 11.430 052 3
sin 72°38′25″ 0.954 450 312
sin
tan
sin
1
6
4
cos
2
8
5
2
5
2
7
3
8
=
=
=
=
°′ ″
°′ ″
°′ ″
探索新知
总 结
要注意不同型号的计算器的操作步骤可能有所不同．
典题精讲
1 用计算器求下列锐角三角函数值：
(1)sin 20°，cos 70°; sin 35°, cos 55°；
sin15°32′，cos74°28′;
(2)tan 3° 8'，tan 80° 25′43".
(1)sin 20°≈0.342 0，cos 70°≈0.342 0；
sin 35°≈0.573 6，cos 55°≈0.573 6；
sin 15°32′≈0.267 8，cos 74°28′≈0.267 8.
(2)tan 3°8′≈0.054 7，tan 80°25′43″≈5.930 4.　
解：
典题精讲
如图，是我们数学课上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算 cos 55°，按键顺序正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
利用计算器求sin 30°时，依次按键
，则计算器上显示的结果是(　　)
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
sin
3
0
°′ ″
=
cos
2
5
5
×
=
cos
2
5
5
0
=
cos
2
5
5
=
cos
2
5
5
=
C
A
探索新知
2
知识点
用计算器求已知三角函数值的对应角
如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应锐角的度数.
例如，已知sin A=0. 501 8,用计算器求锐角A 可以按照下面方法操作：
依次按键 ，然后输入函数值0.501 8，得到∠A=30.119 158 67° (这说明锐角A精确到1°的结果为30°).
sin
2nd F
探索新知
还可以利用 键，进一步得到∠A=
30 °07′08.97″(这说明锐角A 精确到1′的结果为30°7′，精确到 1"的结果为30°7′9″).
2nd F
°′ ″
探索新知
归 纳
已知锐角三角函数值求锐角的度数：
如果是特殊角(30°， 45°，60°)的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数．求角的度数要先按 键，将 、 、 转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，应先化成小数．
2nd F
sin
cos
tan
探索新知
例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：
(1)sin A＝0.516 8(结果精确到0.01°)；
(2)cos A＝0.675 3(结果精确到1″)；
(3)tan A＝0.189(结果精确到1°)．
导引：已知锐角三角函数值，利用计算器求锐
角的度数时要注意先按 键．
2nd F
探索新知
解：(1)依次按键：
显示结果为：31.117 845 56，∠A≈31.12°.
(2)依次按键：
显示结果为：47°31′21.18″，
即 ∠A≈47°31′21″.
(3)依次按键：
显示结果为：10.702 657 49，即∠A≈11°.
sin
2nd F
0

5
1
6
8
=
,
2nd F
tan
0

9
1
8
=
,
2nd F
°′ ″
cos
0

3
7
6
5
=
2nd F
,
探索新知
总 结
计算器直接计算出的角的单位是度，而不是度、分、秒，因此若要得到用度、分、秒表示的角度，可以借助 和 键.
2nd F
°′ ″
典题精讲
已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应锐角的度数：
(1)sin A= 0. 627 5，sin B= 0.054 7;
(2)cos A= 0. 625 2，cos B= 0. 165 9；
(3)tan A= 4. 842 5，tan B= 0.881 6.
(1)∠A≈38°51′57″，∠B≈3°8′8″；
(2)∠A≈51°18′11″，∠B≈80°27′2″；
(3)∠A≈78°19′56″，∠B≈41°23′58″.
解：
典题精讲
已知α 为锐角，且tan α＝3.387，下列各值中与α 最接近的是(　　)
A．73°33′ B．73°27′
C．16°27′ D．16°21′
在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A 约等于(　　)
A．24°38′ B．65°22′
C．67°23′ D．22°37′
2
3
A
D
探索新知
3
知识点
用计算器探究三角函数的性质
用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能
得出什么猜想？
（1）sin83°，cos7°；
（2）sin56°，cos34°；
（3） sin27°36′ ， cos62°24′.
探索新知
2.用计算器求下列各组锐角的三角函数值，从中你能
得出什么猜想？
（1）sin13°， sin25°，sin36°，sin44° ， sin57°，
sin68°， sin79°17′，sin83°27′53″；
（2）cos17°34′，cos34°27′53″，cos53°18′ ，
cos69°57′ 3″，cos77°17′ ，cos88°17′25″；
（3）tan27°34′，tan43°57′28″，tan52°18′15″ ，
tan67°，tan78°17′，tan85°24′ .
探索新知
1. 猜想：sin = cos(90°- ).
2. （1）猜想：对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随
自变量锐角A 的增大而增大，且sinA必满足 0 < sinA<1.
（2）猜想：对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的函数值随锐角
A 的增大而减小，且cosA 必满足0 < cosA < 1.
（3）猜想：对于锐角A，它的正切函数(tanA)的函数值随锐角
A 的增大而增大 ， 且tanA 满足0 < tanA.
探索新知
归 纳
（1）sin = cos(90°- ).
（2）对于锐角A，它的正弦函数 (sinA)的函数值随自变
量锐角A 的增大而增大，且sinA必满足0 < sinA<1.
（3）对于锐角A，它的余弦函数(cosA)的函数值随锐
角A 的增大而减小，且cosA 必满足0 < cosA < 1.
（4）对于锐角A，它的正切函数(tanA)的函数值随锐
角A 的增大而增大 ， 且tanA 满足0 < tanA.
探索新知
例3 已知α＋β＝90°. 探究：
(1)sin α 与cos β 的关系；
(2)tan α 与tan β 的关系．
导引：根据α 和β 互余，可以将α 和β 放入同一个直角三角
形中，利用锐角三角函数的定义去探究互为余角的两
角的三角函数关系．
探索新知
解：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝α，
∠B＝β.
令∠A，∠B，∠C 所对的边分别是a，b，c.
(1)∵sin α＝ ， cos β＝ ，
∴sin α＝cos β.
(2)∵tan α＝ ， tan β＝ ，
∴tan α · tan β＝1.
探索新知
总 结
互为余角的两角的三角函数间的关系：
(1)任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即
sin α＝cos (90°－α )或cos α＝sin (90°－α )；
(2)任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒
数，即tan α · tan (90°－α )＝1.
典题精讲
1 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中正确的是(　　)
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
C．sin A＝cos B D．cos A＝cos B
C
用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是(　　)
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26°2
C
典题精讲
用计算器求sin 15°，sin 25°，sin 35°，sin 45°，sin 55°，sin 65°，sin 75°，sin 85°的值，研究sin α的值随锐角α变化的规律，根据这个规律判断：若 A．30°<α<60° B．30°<α<90°
C．0°<α<60° D．60°<α<90°
3
A
易错提醒
用计算器求sin 35°29′的值(结果精确到0.001)．
解：
sin 35°29′≈0.580.
易错点：不区分35°29′与35.29°而导致错误.
学以致用
小试牛刀
用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(　　)
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
用计算器验证，下列等式正确的是(　　)
A．sin 18°24′＋sin 35°36′＝sin 54°
B．sin 65°54′－sin 35°54′＝sin 30°
C．2sin 15°30′＝sin 31°
D．sin 72°18′－sin 12°18′＝sin 47°42′
1
B
2
D
小试牛刀
为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(　　)
A. 2ndF sin 0 · 2 5 ＝
B. sin 2ndF 0 · 2 5 ＝
C. sin 0 · 2 5 ＝
D. 2ndF cos 0 · 2 5 ＝
3
A
小试牛刀
(1)如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而变
化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化
的规律．
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°
这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
小试牛刀
(3)比较大小(在横线上填写“＜”“＞”或“＝”)：
若α＝45°，则sin α________cos α；
若α<45°，则sin α________cos α；
若α>45°，则sin α________cos α.
(4)利用互为余角的两个角的正弦值和余弦值的关系，试比
较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，
sin 50°，cos 70°.
(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的
增大而减小．
(2)sin 18°cos 88°(4)sin 10°解：
＜
＝
＞
小试牛刀
5 如图，已知∠ABC 和射线BD 上一点P (点P 与点B 不重合，
且点P 到BA，BC 的距离分别为PE，PF 的长)．
(1)若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，试比较PE，PF 的大小；
(2)若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β 都是锐角，且α>β，
请比较PE，PF 的大小．
小试牛刀
(1)∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴sin ∠EBP＝ ＝sin 40°，sin ∠FBP＝ ＝
sin 20°.又∵sin 40°＞sin 20°，
∴ ＞ ，∴PE＞PF.
(2)∵α，β 都是锐角，且α＞β，∴sin α＞sin β.
又∵sin ∠EBP＝ ＝sin α，sin ∠FBP＝ ＝sin β，
∴ ＞ ，∴PE＞PF.
解：
小试牛刀
如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交
于点D，E，F，G，已知∠CGD＝42°.
(1)求∠CEF 的度数；
(2)将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC 边于
点H，如图②所示，点H，B 在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC
的长(结果保留两位小数)．
(参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90)
小试牛刀
(1)∵∠CGD＝42°，∠C＝90°，∴∠CDG＝90°－42°＝48°.
∵DG∥EF，∴∠CEF＝∠CDG＝48°.
(2)∵点H，B 的读数分别为4，13.4，∴HB＝13.4－4＝9.4(cm)， ∴BC＝HB cos 42°≈9.4×0.74≈6.96(cm)．
答：BC 的长约为6.96 cm.
解：
小试牛刀
如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．
(1)求海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离(结果精确到0.1)；
(2)求海轮在B 处时与灯塔C 的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，
tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，
tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)
小试牛刀
解：
(1)如图，过C 作AB 的垂线，垂足为D，
根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD
＝55°.设CD 的长为x海里，
在Rt△ACD 中，tan 42°＝ ，则AD＝x · tan 42°海里，
在Rt△BCD 中，tan 55°＝ ，则BD＝x · tan 55°海里.
∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，
∴x · tan 42°＋x · tan 55°＝80，解得x ≈ 34.4，
即海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里．
(2)在Rt△BCD 中，cos 55°＝ ，
∴BC＝ ≈60(海里)，
即海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．
课堂小结
1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序为：
先按 键或 键或 键，再按角度值，
最后按 键就可求出相应的三角函数值．
2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺
序为：先按 键，再按 键或 键或
键，然后输入三角函数值，最后按 键
就可求出相应角度．
课堂小结
sin
sin
cos
cos
tan
tan
2nd F
=
=
同学们，
下节课见！
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