【班海精品】人教版（新）九下-28.1 锐角三角函数 第三课时【优质课件】

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28.1 锐角三角函数
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回答问题
在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosA= ，BC =10，
则AB=_______，AC =_______，sinB=_______，
△ABC 的周长是______.
12.5
7.5
30
新课精讲
探索新知
1
知识点
特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值
为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：
①含30°和60°两个锐角的三角尺；
②皮尺. 请你设计一个测量方案，测出一棵大树
的高度. 你会吗？还是学习本节知识吧，学后
你会胸有成竹的，你还等什么？
探索新知
探究：
两块三角尺（如图）中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值各是多少？
探索新知
归 纳
30°，45°，60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
锐角A
锐角
三角函数
探索新知
例1 求下列各式的值：
（1）cos260°+sin260°；
（2）
解： （1） cos260°+sin260°
=1；
（2）
=0.
探索新知
总 结
有关特殊角的三角函数值的计算，先直接写出三角函数值，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算．
典题精讲
1 求下列各式的值：
(1) 1-2sin 30°cos 30°;
(2) 3tan 30°-tan 45°+ 2sin 60°；
(3) (cos230°+sin230°) ×tan 60°.
解：
典题精讲
cos60°的值等于(　　)
A. B. 1 C. D.
下列运算：sin 30°＝ ， ＝2 ，π0＝π，
2-2＝-4，其中运算结果正确的个数为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2
3
D
D
典题精讲
计算sin245°＋cos 30°·tan 60°，其结果是(　　)
A．2 B．1 C. D.
下列各式中正确的是(　　)
A．sin 60°＝
B．cos 45°＋sin 45°＝
C．sin 60°＝sin(2×30°)＝2sin 30°
D．tan 60°＋tan 30°＝2
4
5
B
A
探索新知
2
知识点
特殊三角函数值的对应角
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC= ，AC= ，求∠A、∠B 的度数.
∵tanA=
∴∠A=30°，∠B=60°.
探索新知
归 纳
根据一个锐角的特殊的三角函数值，也可以求出角的度数.
探索新知
例2 (1)如图(1),在Rt△ABC中，∠C=90°, AB= ,
BC= ,求∠A 的度数.
(2)如图(2)，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，
AO= OB，求 的度数.
探索新知
解: (1)在图(1)中，
(2)在图(2)中，
典题精讲
在Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝ ，AC＝ ，
就∠A，∠B 的度数.
解：
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
所以∠A＝30°，
所以∠B＝90°－∠A＝60°.
典题精讲
在△ABC 中，∠A，∠B 都是锐角，且sin A＝ ，
cos B＝ ，则△ABC 的形状是(　　)
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
已知α，β 均为锐角，且满足
则α＋β＝________．
2
3
B
75°
探索新知
3
知识点
锐角三角函数间的关系
（1）求特殊锐角的三角函数值的关键是先把它转化为实数
的运算，再根据实数的运算法则计算.
（2）求锐角的度数的关键是先求其正弦值或余弦值或正切
值，然后对应特殊锐角的三角函数值求角的度数.
（3）当A、B 均为锐角时，若A≠B，则sinA≠sinB，
cosA≠cosB，tanA≠tanB.
（4）sin2α+cos2α=1，tanα=
探索新知
例3 已知∠A为锐角，sin A＝ ，求∠A 的其他三角函数值．
导引：根据sin2 A＋cos2 A＝1，求出cos A 的值，
然后根据tan A＝ ，求出tan A 的值．
探索新知
解：∵sin A＝ ，sin2 A＋cos2 A＝1，
∴ ＋cos2 A＝1,
∴cos2 A＝1－
∴cos A＝ (负值舍去)．
∴
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是(　　)
A．tan A＝ B．sin2 A＋cos2 A＝1
C．sin2 A＋sin2 B＝1 D．tan A · tan B＝1
1
A
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若sin A＝ ，则cos B 的值是(　　)
A. B.
C. D.
B
典题精讲
当45°< ∠A <90°时，下列不等式中正确的是(　　)
A．tan A>cos A>sin A
B．cos A>tan A>sin A
C．sin A>tan A>cos A
D．tan A>sin A>cos A
3
D
过点C 作CD⊥AB 于点D，如图所示．
在Rt△ADC 中，∵cos A＝ ，sin A＝ ，∴AD＝AC
·cos A＝1×cos 60°＝ ，CD＝AC · sin A＝1×sin 60°
＝ .在Rt△BDC 中，BD＝AB－AD＝2－ ＝ ，∴BC
易错提醒
如图，在△ABC 中，AC＝1，AB＝2，
∠A＝60°，求BC 的长．
解：
易错提醒
错解：在△ABC 中，∵ ＝sin A，∴BC＝AB · sin A＝
2sin 60°＝2× ＝ .
诊断：错解的原因是忽略了锐角三角函数使用的前提是在
直角三角形中．本题中没有明确指出△ABC 是直角
三角形，因此，不能直接得到 ＝sin A，必须通
过添加辅助线构造出直角三角形，再利用三角函数
的定义来解决．
易错点：忽视锐角的三角函数值是在直角三角形中求出这一条件而致错.
学以致用
小试牛刀
如图，△ABC 内接于⊙O，AB，CD 为⊙O 的直径，DE⊥AB 于点E，sin A＝ ，则∠D 的度数是________．
1
30°
小试牛刀
如图，点A，B，C 在⊙O上，∠ACB＝30°，则sin∠AOB的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
2
C
小试牛刀
菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝ ，则点B的坐标为(　　)
A．( ，1)　
B．(1， )　
C．( ＋1，1)　
D．(1， ＋1)
3
C
小试牛刀
4 求下列各式的值：
(1)cos2 45°＋tan 60°·sin 60°；
解：
(1)原式＝
(2) －cos 30°·tan 30°；
(2)原式＝
小试牛刀
(3)sin 30°－cos2 45°＋tan2 30°＋sin2 60°－cos 60°.
(3)原式＝
小试牛刀
5 如图①②③，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝_______；sin2A2＋sin2B2＝________；
sin2A3＋sin2B3＝________.
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，
都有sin2A＋sin2B＝________.
1
1
1
1
小试牛刀
(2)如图④，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对
边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证
明你的猜想．
(3)已知：∠A＋∠B＝90°，且sin A＝ ，求sin B.
(2)证明：∵sin A＝ ，sin B＝ ，a 2＋b 2＝c 2，
∴sin2 A＋sin2 B＝ ＝1.
(3)解：∵sin A＝ ，sin2 A＋sin2 B＝1，
∴sin B＝ .
小试牛刀
数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，
含45°的三角尺的斜边与含30°的三角尺的长直角边相等，于是，小陆
同学提出一个问题，如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，
点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数
学知识解决这个问题．
小试牛刀
解：
在Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°，AC＝ ＝2 ，
则EF＝AC＝ 2 ，∵∠E＝45°，
∴FC＝EF · sin E＝ ，
∴AF＝AC－FC＝2 － .
小试牛刀
如图，直线y＝－ x＋b 与x 轴、y 轴分别交于D，A 两点，
与双曲线y＝ 在第一象限交于B，C 两点，且AB · AC＝4.求：
(1)∠ADO 的度数；(2)k 的值．
解：
(1)易知A (0，b)，D (b，0)，
∴AO＝b，DO＝ b. ∴tan ∠ADO＝ ，
∴∠ADO＝30°.
小试牛刀
(2)如图，过B 作BM⊥y 轴于M，过C 作CN⊥y 轴于N.
设点B 和点C 的横坐标分别为m，n，
则AB＝ ，AC＝ ，
∴AB·AC＝ ＝4，
∴mn＝3.又∵m，n 为方程－ x＋b＝ 的两根，
∴mn＝ k，∴3＝ k，∴k＝ .
课堂小结
课堂小结
30° 45° 60°
sin A
cos A
tan A 1
特殊角的三角函数值：
同学们，
下节课见！
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