【班海精品】人教版（新）九下-28.2 解直角三角形及其应用 第五课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】人教版（新）九下-28.2 解直角三角形及其应用 第五课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 10:06:33 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
28.2 解直角三角形及其应用
第5课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 (勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
新课精讲
探索新知
1
知识点
用解直角三角形解方位角问题
方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
探索新知
东
西
北
南
O
(1)正东，正南，正西，正北
(2)西北方向:_________
西南方向:__________
东南方向:__________
东北方向:__________
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
认识方位角
探索新知
O
北
南
西
东
(3)南偏西25°
25°
北偏西70°
南偏东60°
A
B
C
射线OA
射线OB
射线OC
70°
60°
认识方位角
探索新知
如图，一艘海轮位于灯塔P 的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处.这时，B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
例1
65°
34°
探索新知
解：如图，在Rt △APC 中，
PC =PA cos (90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P 大约 130 n mile.
探索新知
总 结
利用解直角三角形解决方向角的问题时，“同方向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件．
典题精讲
1 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
典题精讲
如图，过点A 作AC⊥直线BD，垂足为点C.
由题意知BD＝12，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°.
在Rt△ADC 中，tan ∠ADC＝
所以DC＝
在Rt△ABC 中，tan ∠ABC＝
所以BC＝
又因为BD＝BC－DC，
所以
解得AC＝ ≈10.39 (n mile)．
因为10.39＞8，所以没有触礁的危险．
解：
典题精讲
如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________．
2
典题精讲
3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是( )
A．2海里
B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里
D．2tan 55°海里
C
典题精讲
如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )
A．15 海里
B．30海里
C．45海里
D．30 海里
4
B
探索新知
2
知识点
用解直角三角形解坡角问题
探究
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB 的垂直高度与水平宽度AE 的长度之比是α 的什么三角函数？
α
A
C
B
D
E
坡面AB 与水平面的夹角叫做坡角.
探索新知
坡度的定义：
坡面的垂直高度与水平宽度之比
叫做坡度，记作 i .
α
A
B
E
h
l
探索新知
例2 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E 距地面AC 的高度EF.
探索新知
导引：连接AE，在Rt△ABE 中求出AE，且根据∠EAB 的正切值求出
∠EAB 的度数，进而得到∠EAF 的度数，最后在Rt△EAF 中解
出EF 即可．
探索新知
解：如图，连接AE.
在Rt△ABE 中，AB＝3，BE＝ ，
则AE=
∵tan ∠EAB=
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF 中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE × sin ∠EAF＝
答：木箱端点E 距地面AC 的高度EF 为3 m.
探索新知
总 结
(1)坡角是水平线与斜边的夹角，不要误解为铅垂线与
斜边的夹角；
(2)坡比是坡角的正切值．
典题精讲
1 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE = 6 m.斜面坡度i= 1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i = 1∶3是指DE 与CE 的比.根据图中数据，求：
（1）坡角α 和β 的度数；
（2）斜坡AB 的长(结果
保留小数点后一位).
典题精讲
(1)在Rt△ABF 中，tan α＝ ≈0.666 7，
所以α≈33°41′29″.
在Rt△DCE 中，tan β＝ ≈0.333 3，
所以β≈18°26′.
(2)因为AF＝6，
所以BF＝9.
所以AB＝ ≈10.8(m)．
答：斜坡AB 的长约为10.8 m.
解：
典题精讲
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
2
280
典题精讲
为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝ ，则CE 的长为________米．
3
8
典题精讲
如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC 的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB 的长约为( )
(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
4
A
学以致用
小试牛刀
如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒．
A．20( ＋1)
B．20( －1)
C．200
D．300
1
A
小试牛刀
如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1：2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC 的高度为( )
A．5米
B．6米
C．8米
D．(3＋ )米
2
A
小试牛刀
如图，某人在大楼30米高(即PH＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度I 为1 : 点P，H，B，C，A 在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，且PH⊥HC. 则A，B两点间的距离是( )
A．15米
B．20 米
C．20 米
D．10 米
3
B
小试牛刀
如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向的A 处，它向东
航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处，若轮船继
续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短离．(结
果保留根号)
小试牛刀
解：
如图，作PC⊥AB 交AB 的延长线于点C，
则∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20.
∴PC＝BC，AC＝PC · tan 60°＝ PC.
∴AB＝AC－BC＝( －1)·PC＝20.
∴PC＝ ＝10 ＋10(海里)．
答：轮船航行途中与灯塔P 的最短距离是(10 ＋10)海里．
小试牛刀
如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
小试牛刀
如图，作CH⊥AD于点H. 设CH＝x，
在Rt△ACH 中，∠A＝37°，tan 37°＝ ，
∴AH＝ .在Rt△CEH 中，
∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，
∴ . ∵AC＝CB，∴AH＝HD. ∴ ＝x＋5.
∴x≈15. ∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)，
∴E 处距离港口A 约35 km.
解：
小试牛刀
为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE 的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度B C.
(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)
小试牛刀
解：
设BC＝x，
在Rt△ABC 中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝
在Rt△EBD 中，i＝DB∶EB＝1∶1，
∴BD＝BE. ∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋ x，解得x＝12.
答：水坝原来的高度约为12米．
小试牛刀
如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，
坡角α 为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡
危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持
坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才
能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin 39°≈0.63，
cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
小试牛刀
假设点D 移到D ′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE
⊥AC 于点E，过点D ′作D ′E ′⊥AC 于点E ′，如图所示．
∵CD＝12，∠DCE＝60°，∴DE＝CD ·sin 60°
＝12× ＝6，CE＝CD · cos 60°
＝12× ＝6. ∵DE⊥AC，D ′E ′⊥AC，
DD ′∥CE ′，∴四边形DEE ′D ′是矩形．∴D ′E ′＝DE＝6 .
∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝ ≈12.8.
∴EE ′＝CE ′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
解：
课堂小结
课堂小结
1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位
置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知
角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角
函数解决问题．
2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割
为直角三角形和矩形来解决问题．
同学们，
下节课见！
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28.2 解直角三角形及其应用
第5课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 (勾股定理)；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
新课精讲
探索新知
1
知识点
用解直角三角形解方位角问题
方位角的定义：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.
探索新知
东
西
北
南
O
(1)正东，正南，正西，正北
(2)西北方向:_________
西南方向:__________
东南方向:__________
东北方向:__________
射线OA
A
B
C
D
OB
OC
OD
45°
射线OE
射线OF
射线OG
射线OH
E
G
F
H
45°
45°
45°
认识方位角
探索新知
O
北
南
西
东
(3)南偏西25°
25°
北偏西70°
南偏东60°
A
B
C
射线OA
射线OB
射线OC
70°
60°
认识方位角
探索新知
如图，一艘海轮位于灯塔P 的 北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处.这时，B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数)？
A
P
C
B
北
例1
65°
34°
探索新知
解：如图，在Rt △APC 中，
PC =PA cos (90°-65°)
=80 × cos 25°
≈72. 505.
在 Rt△BPC 中， ∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向
时，它距离灯塔P 大约 130 n mile.
探索新知
总 结
利用解直角三角形解决方向角的问题时，“同方向的方向线互相平行”是其中的一个隐含条件．
典题精讲
1 如图，海中有一个小岛A，它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12 n mile到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
典题精讲
如图，过点A 作AC⊥直线BD，垂足为点C.
由题意知BD＝12，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°.
在Rt△ADC 中，tan ∠ADC＝
所以DC＝
在Rt△ABC 中，tan ∠ABC＝
所以BC＝
又因为BD＝BC－DC，
所以
解得AC＝ ≈10.39 (n mile)．
因为10.39＞8，所以没有触礁的危险．
解：
典题精讲
如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B 处测得点A 在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________．
2
典题精讲
3 如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是( )
A．2海里
B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里
D．2tan 55°海里
C
典题精讲
如图，一艘轮船在A 处测得灯塔P 位于其北偏东60°方向上，轮船沿正东方向航行30海里到达B 处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东30°方向上，此时轮船与灯塔P 的距离是( )
A．15 海里
B．30海里
C．45海里
D．30 海里
4
B
探索新知
2
知识点
用解直角三角形解坡角问题
探究
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB 的垂直高度与水平宽度AE 的长度之比是α 的什么三角函数？
α
A
C
B
D
E
坡面AB 与水平面的夹角叫做坡角.
探索新知
坡度的定义：
坡面的垂直高度与水平宽度之比
叫做坡度，记作 i .
α
A
B
E
h
l
探索新知
例2 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E 距地面AC 的高度EF.
探索新知
导引：连接AE，在Rt△ABE 中求出AE，且根据∠EAB 的正切值求出
∠EAB 的度数，进而得到∠EAF 的度数，最后在Rt△EAF 中解
出EF 即可．
探索新知
解：如图，连接AE.
在Rt△ABE 中，AB＝3，BE＝ ，
则AE=
∵tan ∠EAB=
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF 中，∠EAF＝∠EAB+∠BAC
＝30°+30°＝60°，
∴EF＝AE × sin ∠EAF＝
答：木箱端点E 距地面AC 的高度EF 为3 m.
探索新知
总 结
(1)坡角是水平线与斜边的夹角，不要误解为铅垂线与
斜边的夹角；
(2)坡比是坡角的正切值．
典题精讲
1 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AF=DE = 6 m.斜面坡度i= 1∶1.5是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比，斜面坡度i = 1∶3是指DE 与CE 的比.根据图中数据，求：
（1）坡角α 和β 的度数；
（2）斜坡AB 的长(结果
保留小数点后一位).
典题精讲
(1)在Rt△ABF 中，tan α＝ ≈0.666 7，
所以α≈33°41′29″.
在Rt△DCE 中，tan β＝ ≈0.333 3，
所以β≈18°26′.
(2)因为AF＝6，
所以BF＝9.
所以AB＝ ≈10.8(m)．
答：斜坡AB 的长约为10.8 m.
解：
典题精讲
如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
2
280
典题精讲
为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝ ，则CE 的长为________米．
3
8
典题精讲
如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC 的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB 的长约为( )
(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
4
A
学以致用
小试牛刀
如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A 处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )米/秒．
A．20( ＋1)
B．20( －1)
C．200
D．300
1
A
小试牛刀
如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1：2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC 的高度为( )
A．5米
B．6米
C．8米
D．(3＋ )米
2
A
小试牛刀
如图，某人在大楼30米高(即PH＝30米)的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度I 为1 : 点P，H，B，C，A 在同一个平面内，点H，B，C 在同一条直线上，且PH⊥HC. 则A，B两点间的距离是( )
A．15米
B．20 米
C．20 米
D．10 米
3
B
小试牛刀
如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向的A 处，它向东
航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处，若轮船继
续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短离．(结
果保留根号)
小试牛刀
解：
如图，作PC⊥AB 交AB 的延长线于点C，
则∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20.
∴PC＝BC，AC＝PC · tan 60°＝ PC.
∴AB＝AC－BC＝( －1)·PC＝20.
∴PC＝ ＝10 ＋10(海里)．
答：轮船航行途中与灯塔P 的最短距离是(10 ＋10)海里．
小试牛刀
如图，港口B 位于港口A 的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A 有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
小试牛刀
如图，作CH⊥AD于点H. 设CH＝x，
在Rt△ACH 中，∠A＝37°，tan 37°＝ ，
∴AH＝ .在Rt△CEH 中，
∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，
∴ . ∵AC＝CB，∴AH＝HD. ∴ ＝x＋5.
∴x≈15. ∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)，
∴E 处距离港口A 约35 km.
解：
小试牛刀
为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE 的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度B C.
(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.2)
小试牛刀
解：
设BC＝x，
在Rt△ABC 中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，
∴AB＝
在Rt△EBD 中，i＝DB∶EB＝1∶1，
∴BD＝BE. ∴CD＋BC＝AE＋AB，
即2＋x＝4＋ x，解得x＝12.
答：水坝原来的高度约为12米．
小试牛刀
如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，
坡角α 为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡
危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持
坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才
能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin 39°≈0.63，
cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81， ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24)
小试牛刀
假设点D 移到D ′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D 作DE
⊥AC 于点E，过点D ′作D ′E ′⊥AC 于点E ′，如图所示．
∵CD＝12，∠DCE＝60°，∴DE＝CD ·sin 60°
＝12× ＝6，CE＝CD · cos 60°
＝12× ＝6. ∵DE⊥AC，D ′E ′⊥AC，
DD ′∥CE ′，∴四边形DEE ′D ′是矩形．∴D ′E ′＝DE＝6 .
∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝ ≈12.8.
∴EE ′＝CE ′－CE＝12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
解：
课堂小结
课堂小结
1．解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位
置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知
角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角
函数解决问题．
2．解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割
为直角三角形和矩形来解决问题．
同学们，
下节课见！
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