【班海精品】人教版（新）九下-28.1 锐角三角函数 第一课时【优质课件】

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28.1 锐角三角函数
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
A
B
C
BC=5.2m
AB=54.5m
θ
根据已知条件，你能用
塔身中心线与垂直中心
线所成的角度来描述比
萨斜塔的倾斜程度吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
正弦函数的定义
问 题
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角 (∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
探索新知
这个问题可以归结为：在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m， 求 AB (如图).
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
可得AB = 2BC = 70(m).也就是说，需要准备70 m长的水管.
探索新知
思考:
在上面的问题中,如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
探索新知
思考:
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A =45°，计算∠A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？
A
C
B
探索新知
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，因为∠A= 45°，
所以Rt△ABC 是等腰直角三角形.由勾股定理得
AB 2 =AC 2+BC 2 = 2BC 2 ,
AB = BC.
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于
探索新知
综上可知，在Rt△ABC 中， ∠C = 90°，当∠A = 30°时， ∠A的对边与斜 边的比都等于 是一个固定值；当∠A = 45°时， ∠A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值.一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？
探索新知
探究：
任意画Rt△ABC 和Rt△ （如图），使得 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
A
C
B
A’
C’
B’
探索新知
在图中，由于 所以
Rt△ABC∽Rt△ 因此
即
这就是说，在Rt△ABC 中，当锐角A 的度数一定时，
无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的
比都是一个固定值.
探索新知
归 纳
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边
与斜边的比叫做∠A 的正弦（sine），记作
sin A，即
例如，当∠A=30°时，我们有
sin A=sin 30°=
当∠A=45°时，我们有
sin A=sin 45°=
∠A的正弦sin A随着∠A的变化而变化.
探索新知
例1 如图 ，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sin A
和 sin B 的值.
A
C
B
4
（1）
C
B
A
13
（2）
探索新知
解:如图(1)，在Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
如图(2),在Rt△ABC 中，由勾股定理得
因此
探索新知
总 结
求sin A 就是要确定∠A 的对边与斜边 的比；求sin B 就是要确定∠B 的对边与斜边的比.
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，
求sin A和sin B 的值.
解：由勾股定理得
所以
A
C
B
5
（1）
典题精讲
解：由勾股定理得
∴
A
C
B
1
（2）
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A 的值为(　　)
B.
C. D.
2
B
典题精讲
把Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角∠A
的正弦值(　　)
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
A
典题精讲
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sin A 的值为(　　)
A. B.
C. D.
4
D
A
C
B
探索新知
2
知识点
正弦函数的应用
例2 在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sin A= 则边
AC 的长是( )
A. B.3 C. D.
解析:如图，
而BC=2，
A
探索新知
总 结
由正弦值求边长，当已知角的对边或斜边长时，通常先根据某个锐角的正弦的定义确定斜边或对边，再根据勾股定理求另一边；当已知角的邻边时，根据正弦函数的定义确定另外两边的比值，根据勾股定理列方程求解即可．
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∠A=90°，求sin A 的值.
解：如图．
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴sin B＝sin30°＝
设AC＝a，则AB＝2a，
∴
典题精讲
2 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝ ，
则AB 的长等于(　　)
A．15 B．12 C．9 D．6
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝ ，
则斜边上的高等于(　　)
A. B. C. D.
A
B
典题精讲
已知sin 6°＝a，sin 36°＝b，则sin2 6°＝(　　)
A．a 2 B．2a
C．b 2 D．b
4
A
易错提醒
在直角三角形ABC 中，AC＝4，BC＝3，求sin A 的值．
解：
此题分两种情况：①当AC，BC 为两直角边时，AB＝
＝5，所以sin A＝ ；
②当BC 为直角边，AC 为斜边时，sin A＝ .
易错点：审题不清，找错直角边或斜边.
学以致用
小试牛刀
如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC ＝12，点E 是BC 的中点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC，则sin∠ECF＝(　　)
A.
B.
C.
D.
1
D
小试牛刀
如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α 的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
2
C
小试牛刀
如图，⊙O 的直径AB＝4，BC 切⊙O 于点B，OC 平行于弦AD，OC＝5，则AD 的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
3
B
小试牛刀
4 已知：如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D，E 分别
在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.
(1)求 的值；
(2)若BD＝10，求sin A 的值．
小试牛刀
解：
(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴
又∵DE＝3，BC＝9，∴
(2)根据(1)中 ，得
∵BD＝10，DE＝3，BC＝9，
∴ ，解得AD＝5，∴AB＝15.
∴sin A＝
小试牛刀
已知：如图，⊙O 的直径AB 为3，线段AC＝4，直线
AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A，M.
(1)求证：点P 是线段AC 的中点；
(2)求sin∠PMC 的值．
小试牛刀
(1)证明：如图，连接AM.∵AB是⊙O 的直径，
∴∠AMB＝90°.∴∠AMC＝90°.
∴∠MAC＋∠C＝90°，∠PMC＋
∠PMA＝90°.∵AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A，
M，∴PM＝PA. ∴∠PMA＝∠PAM.
∴∠C＝ ∠PMC. ∴PC＝PM.
∴PA＝PC，即点P 是线段AC 的中点．
(2)解：∵AC 切⊙O 于点A，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝3，
AC＝4，∴BC＝5.由(1)知∠C＝∠PMC，
∴sin ∠PMC＝sin C＝ .
小试牛刀
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中
线，过点A作AE⊥CD，AE 分别与CD，CB 相交于点H，E，
AH＝2CH.
(1)求sin B 的值；
(2)如果CD＝ ，求BE 的值．
小试牛刀
解：
(1)∵∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，
∴CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，
∵AE⊥CD，
∴∠CAH＋∠ACH＝90°，又∠ACB＝90°，
∴∠BCD＋∠ACH＝90°，
∴∠B＝∠BCD＝∠CAH，
∵AH＝2CH，
∴由勾股定理得AC＝ CH，
∴CH∶AC＝1∶ ，∴sinB＝ .
小试牛刀
(2)∵sinB＝ ，∴AC∶AB＝1∶ ，
又CD＝ ，∴AB＝2 ，∴AC＝2，
∵sin∠CAH＝ ，
∴设CE＝x (x＞0)，则AE＝ x，则x 2＋2 2＝( x )2，
∴CE＝x＝1，
在Rt△ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，
∴BC＝4，∴BE＝BC－CE＝3.
小试牛刀
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于
第二、四象限内的A，B 两点，与x 轴交于点C，与y 轴交于点D，点B
的坐标是(m，－4)，连接AO，AO＝5，sin ∠AOC＝ .
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB，求△AOB 的面积．
小试牛刀
解：
(1)过点A作AE⊥x 轴于点E，如图所示．
设反比例函数的解析式为y＝ .
∵AE⊥x 轴，∴∠AEO＝90°.
在Rt△AEO 中，AO＝5，
sin ∠AOC＝ ，∠AEO＝90°，
∴AE＝AO · sin ∠AOC＝3，OE＝ ＝4，
∴点A 的坐标为(－4，3)．
∵点A (－4，3)在反比例函数的图象上，
∴3＝ ，解得k＝－12.
∴反比例函数的解析式为y＝－ .
小试牛刀
(2)∵点B (m，－4)在反比例函数y＝－ 的图象上，
∴－4＝－ ，解得m＝3，∴点B 的坐标为(3，－4)．
设一次函数的解析式为y＝ax＋b，
将点A(－4，3)，点B (3，－4)的坐标分别代入y＝ax＋b 中，
得 解得
∴一次函数的解析式为y＝－x－1.
令一次函数y＝－x－1中y＝0，则0＝－x－1，
解得x＝－1，即点C 的坐标为(－1，0). ∴OC＝1.
∴S△AOB＝ OC ·(yA－yB)＝ ×1×[3－(－4)]＝ .
课堂小结
课堂小结
锐角三角函数定义：
A
B
C
∠A的对边
┌
斜边
sin30° =
sin45°=
同学们，
下节课见！
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