【班海精品】人教版（新）九下-28.2 解直角三角形及其应用 第一课时【优质课件】

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28.2 解直角三角形及其应用
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(2)两锐角之间的关系
∠A＋∠B＝90°
(3)边角之间的关系
(1)三边之间的关系
A
B
a
b
c
C
在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.
图中∠A，∠B，a，b，c 即为直角三角形的五个元素.
锐角三角函数
新课精讲
探索新知
A
B
a
b
c
C
什么是解直角三角形
解直角三角形：
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．
一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素(其中必须有一个元素是边)，则这样的直角三角形可解.
探索新知
1
知识点
已知两边解直角三角形
探究：
（1）在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
（2）知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
如图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，
∠A， ∠B， ∠C 所对的边分别为a，b，c，
那么除直角∠ C 外的五个元素之间有如下
关系：
A
B
a
b
c
C
探索新知
（1）三边之间的关系a 2+b 2=c 2 (勾股定理）；
（2）两锐角之间的关系∠A+ ∠B = 90°；
（3）边角之间的关系
上述（3）中的A 都可以换成B，同时把a，b 互换.
探索新知
归 纳
利用这些关系，知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余三个未知元素.
探索新知
应用勾股定理求斜边，
应用角的正切值求出
一锐角，再利用直角
三角形的两锐角互余，求出另一锐角．一般不用正弦或余弦值求锐角，因为斜边是一个中间量，如果是近似值，会影响结果的精确度．
已知斜边和直角边：先利用勾股定理求出另一直角边，再求一锐角的正弦和余弦值，即可求出一锐角，再利用直角三角形的两锐角互余，求出另一锐角．
已知两直角边：
已知斜边和直角边：
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，AC= ，BC = ，解这个直角三角形.
解：∵
∴∠A=60° ，
∠B=90°-∠A=90°- 60°=30°，
AB=2AC=2 .
A
B
C
探索新知
总 结
已知直角三角形的两边解直角三角形的方法：
先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角互余求出第三个角．
典题精讲
1 在Rt△ABC 中，∠C =90°，根据下列条件解直角三角形：c =30，b =20；
解：∵c＝30，b＝20，
∴
∵tan A＝
∴∠A≈48°.
∴∠B＝90°－∠A≈90°－48°＝42°.
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ，
则∠A 的度数为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
2
D
在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，
最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A 的值求出
B．计算sin A 的值求出
C．计算cos A 的值求出
D．先根据sin B 求出∠B，再利用90°－∠B 求出
C
典题精讲
如图，在△ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB，则cos A＝(　　)
A.　 　　
B.　 　　
C.　 　　
D.
4
D
探索新知
2
知识点
已知一边及一锐角解直角三角形
已知直角三角形的一边和一锐角，解直角三角形时，若已知一直角边a 和一锐角A： ① ∠B=90 °- ∠ A；
②c =
若已知斜边c 和一个锐角A： ① ∠ B=90°- ∠ A；
②a=c · sin A ; ③b=c · cos A.
探索新知
例2 如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B = 35°，b =20，解这个直角三角形（结果保留小数点最后一位）.
解：∠A=90°-∠B=90°- 35°=55°.
你还有其他方法求出c 吗？
探索新知
总 结
已知一锐角和一边解直角三角形的方法：
(1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两锐角
互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、余弦)求
出两条直角边；
(2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则可由
两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正弦求出其
斜边，利用正切求出其另一条直角边．
典题精讲
1 在Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1） ∠B=72°，c =14；
（2） ∠B=30°，a = .
典题精讲
(1)由∠B＝72°，c＝14，
得∠A＝90°－∠B＝90°－72°＝18°，
a＝c · sin A＝14×sin18°≈4.33，
b＝c ·sin B＝14×sin72°≈13.31.
(2)∵∠B＝30°，a＝
∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，
b＝
c＝
解：
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC 的长是(　　)
A. B．4
C．8 D．4
2
D
3 在△ABC 中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a 等于(　　)
A. B. C．6 D.
B
探索新知
3
知识点
已知一边及一锐角三角函数值解直角三角形
例3 如图，在△ABC 中，AB＝1，AC＝ ，sin B ＝ ，
求BC 的长．
导引：要求的BC 边不在直角三角形中，已知条件中有
∠B 的正弦值，作BC 边上的高，将∠B 置于直角
三角形中，利用解直角三角形就可解决问题．
探索新知
如图，过点A 作AD⊥BC 于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB · sin B＝
∴BD＝
∴CD＝
∴BC＝CD＋BD＝
解：
探索新知
总 结
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B 点作AC 的垂线，则∠B 的正弦值就无法利用．
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝6，
则AB＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
D
典题精讲
2 如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD⊥AB 于点D.已知cos∠ACD＝ ，BC＝4，则AC 的长为(　　)
A．1
B.
C．3
D.
D
易错提醒
在△ABC 中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA的值．
解：
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∴AC＝ .
∴tan A＝ ，cos A＝ .
易错总结：本题中已指出∠B＝90°，所以AC 为斜边，而受习惯的影响，
常误以为∠C 的对边AB 是斜边．因此，解题时应认真审题，
注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错．
易错点：受思维定式影响误以为∠C 的对边为斜边造成错误.
学以致用
小试牛刀
如图，电线杆CD 的高度为h，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB＝α，则拉线BC 的长度为(A，D，B 在同一条直线上)(　　)
A.
B.
C.
D．h · cos α
1
B
小试牛刀
如图，在△ABC 中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC 的值为(　　)
A．2＋
B．2
C．3＋
D．3
2
A
小试牛刀
如图，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，CA 是∠BCD 的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝(　　)
A．
B．
C.
D.
3
B
小试牛刀
如图，已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC 的长；
(2)若sin A＝ ，求AD 的长．
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
小试牛刀
解：
(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝ ，
∴∠E＝30°，BE＝6 · tan 60°＝6 .
∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝ ，
∴CE＝ ＝8，
∴BC＝BE－CE＝6 －8.
小试牛刀
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝ ，
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，
∴3x＝6，得x＝2，
∴BE＝8，AE＝10，
∴tan E＝ ，
解得DE＝ ，
∴AD＝AE－DE＝10－ .
小试牛刀
如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝ ，cos C＝ ，AC＝ .求：
(1)BC 的长；
(2)sin∠ADC 的值．
小试牛刀
(1)如图，过点A作AE⊥BC 于点E，∵cos C＝ ，∴∠C
＝45°.在Rt△ACE 中，CE＝AC · cos C＝1，∴AE＝CE
＝1.在Rt△ABE 中，tan B＝ ，即 ＝ ，∴BE＝
3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.
(2)∵AD 是△ABC 的中线，
∴CD＝ BC＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，
DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin ∠ADC＝ .
解：
小试牛刀
如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD⊥BC.
(1)求sin B 的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E 在AB上，BE＝2AE，且
EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE 的长．
小试牛刀
解：
(1)在Rt△ABD 中，∵BD＝DC＝ BC＝9米，AD＝6米，
∴AB＝ (米)．
∴sin B＝ .
(2)∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，又∵BE＝2AE，
∴EF＝4米，BF＝6米．∴DF＝3米．
在Rt△DEF 中，DE＝ ＝5(米)．
故支架DE 的长为5米．
小试牛刀
如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过B 作OP 的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO.并延长AO 交⊙O 于
点E，与PB 的延长线交于点D.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 ，且OC＝4，求PA 的长和tan D 的值．
小试牛刀
(1)证明：如图，连接BO，
∵PB 为⊙O 的切线，B 为切点，
∴OB⊥PD，∠PBO＝90°.
又∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC.
又∵OP＝OP，∴△PAO ≌ △PBO，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴PA 是⊙O 的切线．
小试牛刀
(2)解：∵∠ACO＝∠PAO＝90°，∠AOC＝∠POA，
∴△AOC∽△POA，∴ .
又∵OC＝4，∴AC＝6.
在Rt△AOC 中，
OA＝ ，
∴PA＝OA＝3，又易知PA＝PB，∴PB＝3.
在Rt△PAO 中，
PO＝ ＝13.
小试牛刀
如图，连接BE. ∵AE 为直径，∴∠ABE＝90°.
又∵OC⊥AB，∴BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，BE＝2OC＝8.
∴ .
即 .解得BD .
∴在Rt△DBO 中，tan D＝ .
课堂小结
课堂小结
在直角三角形中有三条边、三个角，它们具备以下关系：
（1）三边之间关系：a 2+b 2=c 2 (勾股定理）.
（2）锐角之间的关系：∠A+ ∠B = 90°.
（3）边角之间的关系：
同学们，
下节课见！
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