【班海精品】人教版（新）九下-29.1 投影 第二课时【优质课件】
文档属性
| 名称 | 【班海精品】人教版（新）九下-29.1 投影 第二课时【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 9.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-30 10:06:33 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
29.1 投 影
第2课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1．什么叫做中心投影、平行投影
2．下面两个图都是表示一块三角板在光线照射下形成的投
影，它们的投影线与投影面的位置关系有什么不同
新课精讲
探索新知
1
知识点
正投影的定义
正投影法：投影线与投影面垂直的平行投影法，
所得的投影，称为正投影 .
探索新知
q
Q
H
P
H
p
探索新知
例1 如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台
的正投影是（ ）
A、矩形 B、两条线段
C、等腰梯形 D、圆环
根据正投影的定义及正投影形状分析．根据题意：
圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是
该圆台的轴截面，即等腰梯形．故选C．
分析：
C
探索新知
总 结
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关．它分物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况.
典题精讲
如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的
正投影
解：(1)如图所示；(2)如图所示．
(1)
(2)
典题精讲
2 投影线________于投影面产生的投影叫做正投影；它包含以下两个要素：
(1)正投影是特殊的 ，它不可能是 ．
(2)正投影只要求________与________垂直，与物体位
置无关．
垂直
平行投影
中心投影
光线
投影面
典题精讲
球的正投影是( )
A．圆 B．椭圆
C．点 D．圆环
正方形的正投影不可能是( )
A．线段 B．矩形
C．正方形 D．梯形
3
4
A
D
典题精讲
下列投影中，正投影有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5
B
典题精讲
6 如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向
如箭头所示，它的正投影是( )
D
典题精讲
底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是( )
A．圆 B．三角形
C．矩形 D．正方形
7
B
把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
8
A
典题精讲
如图，投影线的方向如箭头所示，画出下列各图形的正投影．
9
解：如图所示．
探索新知
2
知识点
正投影的性质
如图,把一根直的细铁丝(记为线段AB )放在三个不同位置：
(1) 铁丝平行于投影面；
(2) 铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）.
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
探索新知
通过观察、测量可知：
(1)当线段AB 平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，
它们的大小关系为AB=A1B1 ；
(2)当线段AB 倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，
它们的大小关系为AB＞A2B2 ；
(3)当线段AB 垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3.
探索新知
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD )放在
三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面； (2) 纸板倾斜于投影面；
(3) 纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状
探索新知
通过观察、测量可知：
当纸板P 平行于投影面时，P 的正投影与P 的形状、大小一样；
当纸板P 倾斜于投影面时，P 的正投影与P 的形状、大小不完全 一样；
(3) 当纸板P 垂直于投影面时，P 的正投影成为一条线段.
探索新知
总 结
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、 大小完全相同.
探索新知
例2 画出如图摆放的正方体在投影面 上的正投影.
(1) 正方体的一个面ABCD 平行于投影面 (图(1));
(2) 正方体的一个面ABCD 倾斜于投影面， 底面ADEF 垂直于投
影面，并且其对角线AE 垂直于投影面(图(2) )
探索新知
(1)当正方体在如图 (1)的位置时，正方体的一个面ABCD 及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方A′B′C′D′.正方形A′B′C′D′ 的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影.因此，正方体的正投影是一个正方形.
分析：
探索新知
(2)当正方体在如图 (2)的位置时，它的面ABCD 和面ABGF 倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′ 和A′B′G′F′ ；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′.因此，正方体的投影是矩形F′G′C′D′ 其中线段A′B′ 把矩形一分为二.
探索新知
(1)如图 (1)，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′ ，
它与正方体的一个面是全等关系.
(2)如图(2)，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′ ，这个
矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽
等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A′B′
是正方体的侧棱AB 及它所对的另一条侧棱EH 的
投影.
解：
探索新知
总 结
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面
的位置有关．画一般立体图形的正投影的关键是找
出平行于投影面的立体图形的最大截面．
典题精讲
一根笔直的小木棒(记为线段AB )，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD
B．AB≤CD
C．AB＞CD
D．AB≥CD
1
D
典题精讲
2
小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )
A．三角形
B．线段
C．矩形
D．平行四边形
A
典题精讲
3
当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为( )
A．200 cm2
B．300 cm2
C．400 cm2
D．600 cm2
C
易错提醒
如图所示，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
易错点：对正方体的正投影的类型认识不全而致错.
C
学以致用
小试牛刀
几何体在平面P 的正投影，取决于( )
①几何体的形状；②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P 的大小．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
A
1
已知一根长为8 cm的木棒AB 与投影面平行，投影线垂直于投影面．
(1)求此时的影子A1B1的长度；
(2)如图是将木棒绕其端点A 逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面)，求旋转后木棒的影子A2B2的长
小试牛刀
2
分析：
(1)当木棒平行于投影面时，其正投影的长度与木棒的长度一致；(2)当木棒倾斜于投影面时，可转化为解直角三角形来求解．
小试牛刀
(1)因为木棒平行于投影面，
所以A1B1＝AB＝8 cm，
即此时的影子A1B1的长度为8 cm.
(2)过点A作AH⊥BB2于点H.
因为AA2⊥A2B2，BB2⊥A2B2，
所以四边形AA2B2H 为矩形，
所以AH＝A2B2.
在Rt△ABH 中，∠BAH＝30°，AB＝8 cm，
所以A2B2＝AH＝AB·cos 30°＝8× ＝4 (cm)．
即旋转后木棒的影子A2B2的长为4 cm.
解：
小试牛刀
3
已知一纸板的形状为正方形ABCD，且边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD 在面β 上的正投影，AD，BC 与投影面β 平行，且AB，CD 与投影面β 成30°角，求正方形ABCD 的正投影的面积．
小试牛刀
过点A作AH⊥BB1于点H.依题意，得∠BAH＝30°，四边形A1B1C1D1是矩形，其中A1D1＝AD，A1B1＝AH.
∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，
∴AH＝AB·cos 30°＝10× ＝5 (cm)，
∴A1B1＝AH＝5 cm.∵A1D1＝AD＝10 cm，
∴S四边形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5 ×10＝50 (cm2)．
则正方形ABCD的正投影的面积是50 cm2.
规律总结：求投影的面积，先确定投影的形状，再根据相应的面积公
式，有针对性地求出相关线段的长.
解：
小试牛刀
4
一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是
等腰三角形，如图所示，等腰三角形的腰长为13 cm，
高为12 cm，求该圆锥的体积及表面积．
(提示：V圆锥＝ πr 2h，其中r 是底面圆的半径，h 是
圆锥的高)
小试牛刀
解：
由于圆锥的轴截面平行于投影面，其正投影是等腰三角形，因此圆锥的高等于等腰三角形的高；圆锥底面圆的半径等于等腰三角形底边长的一半．如图，作AD⊥BC 于D，AB＝AC＝13 cm，AD＝12 cm，∴CD＝5 cm，∴r＝CD＝5 cm，h＝12 cm.
∴V圆锥＝ πr2h＝100π cm3，
底面周长为l＝2πr＝10π cm，R＝AC＝13 cm，
S表＝ lR＋πr2＝90π cm2.
小试牛刀
5
操作与研究：
如图，△ABC 被平行光线照射，CD⊥AB 于D，AB 在
投影面上．
(1)指出图中AC 的投影是什么，CD 与BC 的投影呢？
(2)探究：当△ABC 为直角三角形(∠ACB＝90°)时，
易得AC 2＝AD ·AB，此时有如下结论：直角三角形
一直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的乘
积，这一结论我们称为射影定理．
通过上述结论的推理，请证明
以下两个结论：
①BC 2＝BD ·AB；②CD 2＝AD ·BD.
小试牛刀
(1)解：AC 的投影是AD，CD 的投影是点D，BC 的投影是BD.
(2)证明：①易证得△BCD∽△BAC，
可得BC 2＝BD ·AB；
②易证得△ACD∽△CBD，
可得CD 2＝AD ·BD.
课堂小结
课堂小结
1.回顾正投影的含义及其性质；
2.反思作简单几何图形的正投影的过程及自己作图过
程中失误的原因，体会正投影的作图方法与技巧；
3.物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位
置是否有关系？
同学们，
下节课见！
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29.1 投 影
第2课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1．什么叫做中心投影、平行投影
2．下面两个图都是表示一块三角板在光线照射下形成的投
影，它们的投影线与投影面的位置关系有什么不同
新课精讲
探索新知
1
知识点
正投影的定义
正投影法：投影线与投影面垂直的平行投影法，
所得的投影，称为正投影 .
探索新知
q
Q
H
P
H
p
探索新知
例1 如图所示的圆台的上下底面与投影线平行，圆台
的正投影是（ ）
A、矩形 B、两条线段
C、等腰梯形 D、圆环
根据正投影的定义及正投影形状分析．根据题意：
圆台的上下底面与投影线平行，则圆台的正投影是
该圆台的轴截面，即等腰梯形．故选C．
分析：
C
探索新知
总 结
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关．它分物体与投影面平行、倾斜、垂直三种情况.
典题精讲
如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的
正投影
解：(1)如图所示；(2)如图所示．
(1)
(2)
典题精讲
2 投影线________于投影面产生的投影叫做正投影；它包含以下两个要素：
(1)正投影是特殊的 ，它不可能是 ．
(2)正投影只要求________与________垂直，与物体位
置无关．
垂直
平行投影
中心投影
光线
投影面
典题精讲
球的正投影是( )
A．圆 B．椭圆
C．点 D．圆环
正方形的正投影不可能是( )
A．线段 B．矩形
C．正方形 D．梯形
3
4
A
D
典题精讲
下列投影中，正投影有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5
B
典题精讲
6 如图，水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向
如箭头所示，它的正投影是( )
D
典题精讲
底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是( )
A．圆 B．三角形
C．矩形 D．正方形
7
B
把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正六棱柱时的正投影是( )
8
A
典题精讲
如图，投影线的方向如箭头所示，画出下列各图形的正投影．
9
解：如图所示．
探索新知
2
知识点
正投影的性质
如图,把一根直的细铁丝(记为线段AB )放在三个不同位置：
(1) 铁丝平行于投影面；
(2) 铁丝倾斜于投影面；
(3) 铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）.
三种情形下铁丝的正投影各是什么形状
探索新知
通过观察、测量可知：
(1)当线段AB 平行于投影面时，它的正投影是线段A1B1，
它们的大小关系为AB=A1B1 ；
(2)当线段AB 倾斜于投影面时，它的正投影是线段A2B2，
它们的大小关系为AB＞A2B2 ；
(3)当线段AB 垂直于投影面时，它的正投影是一个点A3.
探索新知
如图，把一块正方形硬纸板P (记为正方形ABCD )放在
三个不同位置：
(1) 纸板平行于投影面； (2) 纸板倾斜于投影面；
(3) 纸板垂直于投影面.
三种情形下纸板的正投影各是什么形状
探索新知
通过观察、测量可知：
当纸板P 平行于投影面时，P 的正投影与P 的形状、大小一样；
当纸板P 倾斜于投影面时，P 的正投影与P 的形状、大小不完全 一样；
(3) 当纸板P 垂直于投影面时，P 的正投影成为一条线段.
探索新知
总 结
当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、 大小完全相同.
探索新知
例2 画出如图摆放的正方体在投影面 上的正投影.
(1) 正方体的一个面ABCD 平行于投影面 (图(1));
(2) 正方体的一个面ABCD 倾斜于投影面， 底面ADEF 垂直于投
影面，并且其对角线AE 垂直于投影面(图(2) )
探索新知
(1)当正方体在如图 (1)的位置时，正方体的一个面ABCD 及与其相对的另一面与投影面平行，这两个面的正投影是与正方体的一个面的形状、大小完全相同的正方A′B′C′D′.正方形A′B′C′D′ 的四条边分别是正方体其余四个面（这些面垂直于投影面）的投影.因此，正方体的正投影是一个正方形.
分析：
探索新知
(2)当正方体在如图 (2)的位置时，它的面ABCD 和面ABGF 倾斜于投影面，它们的投影分别是矩形A′B′C′D′ 和A′B′G′F′ ；正方体其余两个侧面的投影也分别是上述矩形；上、下底面的投影分别是线段D′F′和C′G′.因此，正方体的投影是矩形F′G′C′D′ 其中线段A′B′ 把矩形一分为二.
探索新知
(1)如图 (1)，正方体的正投影为正方形A′B′C′D′ ，
它与正方体的一个面是全等关系.
(2)如图(2)，正方体的正投影为矩形F′G′C′D′ ，这个
矩形的长等于正方体的底面对角线长，矩形的宽
等于正方体的棱长.矩形上、下两边中点连线A′B′
是正方体的侧棱AB 及它所对的另一条侧棱EH 的
投影.
解：
探索新知
总 结
物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面
的位置有关．画一般立体图形的正投影的关键是找
出平行于投影面的立体图形的最大截面．
典题精讲
一根笔直的小木棒(记为线段AB )，它的正投影为线段CD，则下列各式中一定成立的是( )
A．AB＝CD
B．AB≤CD
C．AB＞CD
D．AB≥CD
1
D
典题精讲
2
小乐用一块矩形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块矩形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是( )
A．三角形
B．线段
C．矩形
D．平行四边形
A
典题精讲
3
当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为( )
A．200 cm2
B．300 cm2
C．400 cm2
D．600 cm2
C
易错提醒
如图所示，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
易错点：对正方体的正投影的类型认识不全而致错.
C
学以致用
小试牛刀
几何体在平面P 的正投影，取决于( )
①几何体的形状；②投影面与几何体的位置关系；
③投影面P 的大小．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
A
1
已知一根长为8 cm的木棒AB 与投影面平行，投影线垂直于投影面．
(1)求此时的影子A1B1的长度；
(2)如图是将木棒绕其端点A 逆时针旋转30°后的示意图(此时平面ABB2A2垂直于投影面)，求旋转后木棒的影子A2B2的长
小试牛刀
2
分析：
(1)当木棒平行于投影面时，其正投影的长度与木棒的长度一致；(2)当木棒倾斜于投影面时，可转化为解直角三角形来求解．
小试牛刀
(1)因为木棒平行于投影面，
所以A1B1＝AB＝8 cm，
即此时的影子A1B1的长度为8 cm.
(2)过点A作AH⊥BB2于点H.
因为AA2⊥A2B2，BB2⊥A2B2，
所以四边形AA2B2H 为矩形，
所以AH＝A2B2.
在Rt△ABH 中，∠BAH＝30°，AB＝8 cm，
所以A2B2＝AH＝AB·cos 30°＝8× ＝4 (cm)．
即旋转后木棒的影子A2B2的长为4 cm.
解：
小试牛刀
3
已知一纸板的形状为正方形ABCD，且边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD 在面β 上的正投影，AD，BC 与投影面β 平行，且AB，CD 与投影面β 成30°角，求正方形ABCD 的正投影的面积．
小试牛刀
过点A作AH⊥BB1于点H.依题意，得∠BAH＝30°，四边形A1B1C1D1是矩形，其中A1D1＝AD，A1B1＝AH.
∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，
∴AH＝AB·cos 30°＝10× ＝5 (cm)，
∴A1B1＝AH＝5 cm.∵A1D1＝AD＝10 cm，
∴S四边形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5 ×10＝50 (cm2)．
则正方形ABCD的正投影的面积是50 cm2.
规律总结：求投影的面积，先确定投影的形状，再根据相应的面积公
式，有针对性地求出相关线段的长.
解：
小试牛刀
4
一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是
等腰三角形，如图所示，等腰三角形的腰长为13 cm，
高为12 cm，求该圆锥的体积及表面积．
(提示：V圆锥＝ πr 2h，其中r 是底面圆的半径，h 是
圆锥的高)
小试牛刀
解：
由于圆锥的轴截面平行于投影面，其正投影是等腰三角形，因此圆锥的高等于等腰三角形的高；圆锥底面圆的半径等于等腰三角形底边长的一半．如图，作AD⊥BC 于D，AB＝AC＝13 cm，AD＝12 cm，∴CD＝5 cm，∴r＝CD＝5 cm，h＝12 cm.
∴V圆锥＝ πr2h＝100π cm3，
底面周长为l＝2πr＝10π cm，R＝AC＝13 cm，
S表＝ lR＋πr2＝90π cm2.
小试牛刀
5
操作与研究：
如图，△ABC 被平行光线照射，CD⊥AB 于D，AB 在
投影面上．
(1)指出图中AC 的投影是什么，CD 与BC 的投影呢？
(2)探究：当△ABC 为直角三角形(∠ACB＝90°)时，
易得AC 2＝AD ·AB，此时有如下结论：直角三角形
一直角边的平方等于它在斜边上的射影与斜边的乘
积，这一结论我们称为射影定理．
通过上述结论的推理，请证明
以下两个结论：
①BC 2＝BD ·AB；②CD 2＝AD ·BD.
小试牛刀
(1)解：AC 的投影是AD，CD 的投影是点D，BC 的投影是BD.
(2)证明：①易证得△BCD∽△BAC，
可得BC 2＝BD ·AB；
②易证得△ACD∽△CBD，
可得CD 2＝AD ·BD.
课堂小结
课堂小结
1.回顾正投影的含义及其性质；
2.反思作简单几何图形的正投影的过程及自己作图过
程中失误的原因，体会正投影的作图方法与技巧；
3.物体的正投影的形状、大小与它相对于投影面的位
置是否有关系？
同学们，
下节课见！
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