【班海精品】人教版（新）九下-27.1 图形的相似 第二课时【优质课件】

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27.1 图形的相似
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾交流：把下面相似的图形用线连起来.
新课精讲
探索新知
1
知识点
相似多边形的定义
问 题
图中的两个大小不同的四边形
ABCD 和四边形A1B1C1D1中，
∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，
∠D=∠D1， ,
因此四边形ABCD与四边
形A1B1C1D1相似.
探索新知
如果两个多边形的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．
定义
判定相似多边形的条件：
(1)所有的角分别相等；
(2)所有的边成比例．
以上的角分别相等，边成比例这两个条件是判定相似多边
形必备的条件，缺一不可．
探索新知
例1 如图，G 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，作GE⊥AD,
GF⊥AB，垂足分别为点E，F.
求证：四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．
导引：要判定两个多边形相似，从边和角两个方面
证明，即需证对应角相等，对应边的比相等．
证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠DAC
＝∠BAC＝45°. 又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，∴四边形AFGE 为正方形．
∴ ，且∠EAF＝∠DAB，
∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE 与四边形ABCD 相似．
探索新知
总 结
判断两个多边形是否相似，既要看它们的角是否分别相等，也要看边是否成比例，两者缺一不可．例如：两个矩形不一定相似，两个菱形也不一定相似，两个正方形一定相似．
典题精讲
1 如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
解：相似. 由已知条件可知它们的角分别相等，边成比例.
5
5
10
10
典题精讲
2 下列说法中正确的是(　　)
A．对应角相等的多边形一定是相似多边形
B．对应边的比相等的多边形是相似多边形
C．边数相同的多边形是相似多边形
D．对应角相等、对应边成比例的两个边数相同
的多边形是相似多边形
D
典题精讲
3 如图，在三个矩形中，相似的是(　　)
A．甲和丙
B．甲和乙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
A
探索新知
2
知识点
相似多边形的性质
相似多边形的性质：
相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．
作用：
常用来求相似多边形中未知的边的长度和角的度数．
探索新知
例2 如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角α，β 的大
小和EF 的长度x.
解：因为四边形ABCD 和EFGH 相
似，所以它们的对应角相等，
由此可得α=∠C=83°， ∠A=∠E=118°.
在四边形ABCD 中，
β=360°-(78°+83°+118°) = 81°.
因为四边形ABCD 和EFGH 相似，所以它们的对应边
成比例，由此可得
解得x =28.
探索新知
总 结
利用相似多边形的性质求边长或角度，关键扣住“对应”二字，找准对应边和对应角是解决问题的关键．需要注意的是对应边是比相等，而对应角是直接相等．
典题精讲
1 如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d 的值.
解：a＝3，b＝4.5，c＝4，d＝6.
c
d
2
5
3
6
9
a
7.5
b
典题精讲
若一个三角形的三边之比为3：5：7，与它相似的三角形的最长边的长为21，则最短边的长为(　　)
A．15 B．10
C．9 D．3
2
C
如图，正五边形FGHMN 与正五边形ABCDE 相似，若AB：FG＝2：3，则下列结论正确的是(　　)
A．2DE＝3MN
B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F
D．2∠A＝3∠F
3
B
典题精讲
如图，四边形ABCD 与四边形A1B1C1D1 相似，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则C1D1的长是(　　)
A．10
B．12
C.
D.
4
C
典题精讲
如图，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形的面积是(　　)
A．2 cm2
B．4 cm2
C．8 cm2
D．16 cm2
5
C
探索新知
3
知识点
相似比
相似比的定义：相似多边形对应边的比称为相似比．
△ABC ∽△A B C
∠A = ∠A
∠B = ∠B
∠C = ∠C
对应角相等
对应边成比例
A B
A B
=
=
B C
B C
A C
A C
= 相似比
若△ABC ∽△A B C
探索新知
导引：相似多边形的对应边的比相等，其比值就是相似比．
解：(1)设AD＝x，则DM＝ . ∵矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，
∴x 2＝32.
∴x＝4 或x＝－4 (舍去)，即AD 的长为4 .
(2)矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比为
例3 如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN，矩形DMNC 与
矩形ABCD 相似，已知AB＝4.
(1)求AD 的长；
(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．
探索新知
总 结
利用相似多边形的性质求线段长及相似比的方法：
先找出与已知边、未知边相关的四条对应线段，再通过设未知数并用含未知数的式子表示其中的部分线段，最后通过相似多边形的对应边成比例建立方程进行计算．这种巧用方程思想的方法在相似多边形的计算中经常运用．
典题精讲
如果两个相似多边形的一组对应边长分别为3 cm和2 cm，
那么它们的相似比是(　　)
A. B. C. D.
C
六边形ABCDEF 与六边形A′B′C′D′E′F ′相似，若对应边AB 与A′B ′的长分别为50 cm和40 cm，则六边形A′B′C′D′E′F ′与六边形ABCDEF 的相似比是(　　)
A．5：4 B．4：5
C．5：2 D．2：
2
B
易错提醒
一位同学经过研究发现：在等边三角形中，每条边都是相等的，两个等边三角形相似；在正方形中，每条边都是相等的，两个正方形相似．于是他进一步推广，认为如果多边形的各边都相等，那么这样的两个边数相同的多边形相似．你认为这种说法正确吗？为什么？
易错提醒
解：
这种说法不正确．比如，如图所示的两个菱形，每个菱形的边长都是相等的，但它们的各角并不是对应相等的，所以它们不相似．
易错点：对相似多边形定义理解不透而致错.
学以致用
小试牛刀
1 下列四组图形中，一定相似的是(　　)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
D
小试牛刀
两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，
每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边
之间的距离都相等，那么两个图形不相似的一组是(　　)
B
小试牛刀
志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费(　　)
A．540元 B．1 080元
C．1 620元 D．1 800元
3
C
小试牛刀
4 如图，四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，∠A＝62°，∠B＝70°，∠H＝140°，AD＝18，EF＝15，FG＝14，EH＝12，求∠G 的度数及AB，BC 的长．
小试牛刀
解：
∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，
∴∠E＝∠A＝62°，∠F＝∠B＝70°，
又∵∠H＝140°，∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°，
∴∠G＝88°.
∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，
∴ .
又∵AD＝18，EF＝15，FG＝14，EH＝12，
∴AB＝22.5，BC＝21.
小试牛刀
5 如图，多边形ABCDEF 与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中，A，B，C，D，E，F 的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
(1)求∠F 的度数；
(2)如果多边形ABCDEF 和多
边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5，
且CD＝15 cm，求C1D1的长度．
小试牛刀
(1)∵多边形ABCDEF 和多边形A1B1C1D1E1F1 相似，且∠C
和∠C1，∠D 和∠D1，∠E 和∠E1是对应角，
∴∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°.
由多边形内角和定理，知∠F＝720°－(135°＋120°＋ 95°＋135°＋120°)＝115°.
解：
(2) ∵多边形ABCDEF 和多边形A1B1C1D1E1F 1的相似比
是1∶1.5，且CD＝15 cm，
∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
小试牛刀
6 如图，将一张长、宽之比为 ∶1的矩形纸ABCD 依次不断对折，可以得到矩形BCFE，AEML，GMFH，LGPN.
(1)判断矩形ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN 的长、宽之比是否相等，并说明理由；
(2)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
小试牛刀
解：
(1)矩形ABCD，BCFE，AEML，GMFH，LGPN 的长、宽之比相等．理由如下：
设矩形纸的宽BC＝a，长AB＝ a，
则有BE＝ a，AE＝ a，ME＝ ，MF＝ ，
HF＝ a，LG＝ a，LN＝ ，
∴
小试牛刀
∴五个矩形的长、宽之比相等．
(2)这些大小不同的矩形都相似．
小试牛刀
7 一个用钢筋焊接的三角形的三边长分别是20 cm，60 cm，50 cm，现要做一个与其相似的钢筋三角形．因为只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，所以要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，问：有几种截法？请指出用余料最少的截法截出的三边长分别为多少．
小试牛刀
解：
若截30 cm长的钢筋，设截成的两段长分别为a cm和b cm
(a＜b)，则有 ，解得a＝ ，b＝ .
∵a＋b＝ ＋ ＝ ＞30，
∴此截法不成立．
若截50 cm长的钢筋，设截成的两段长分别为x cm和y cm
(x＜y )，则有① ，解得x＝12，y＝36.
∵x＋y＝12＋36＝48＜50，∴此截法成立．
小试牛刀
② ，解得x＝10，y＝25.
∵x＋y＝10＋25＝35＜50，∴此截法成立．
因此有两种截法．
∵50－48＝2(cm)，50－35＝15(cm)，
∴用余料最少的截法截出的三边长分别为12 cm，30 cm，36 cm.
课堂小结
课堂小结
相似相似形的性质：
（1）对应角 ；
（2）对应边的比等于 ；
相等
相似比
同学们，
下节课见！
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