【班海精品】人教版（新）九下-27.2 相似三角形 第七课时【优质课件】

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27.2 相似三角形
第7课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
埃及金字塔到底有多高？据史料记载：古希腊科学家泰勒斯利用相似三角形的原理，借助金字塔在太阳光线下形成的影子测出了金字塔的
高度．你知道他是怎样
测量的吗？今天我们就
利用这些知识测量一些
不能直接测量的物体的
高度吧.
新课精讲
探索新知
1
知识点
利用光照下的影子
对于学校里旗杆的高度，我
们是无法直接进行测量的．但是
我们可以根据相似三角形的知识，
测出旗杆的高度．结合右面的图
形，大家思考如何求出高度.
探索新知
利用阳光下的影子测高：
(1)构造相似三角形，如图.
(2)测量数据：AB (身高)，BC (人影长)，BE
(旗杆影长)；待求数据：DE (旗杆高)．
(3)计算理由：
因为AC∥DB (平行光)，所以∠ACB＝∠DBE.
因为∠ABC＝∠DEB＝90°(直立即为垂直)，
所以△ABC∽△DEB，有
探索新知
归 纳
测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解决．常见的测量方式有四种，如图所示.
探索新知
(1)由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太阳的移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在同一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性．
(2)太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平行光线．
(3)此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被测物体的影长，从而计算不出物体的高．
探索新知
例1 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.
如图，木杆EF 长2 m，它的影长FD 为3 m，测得OA为201 m， 求金字塔的高度BO.
怎样测出OA的长？
探索新知
太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF.
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴ △ ABO∽ △DEF.
∴
∴
因此金字塔的高度为134 m.
解：
探索新知
总 结
利用影长测量不能直接测量的物高的方法：
利用同一时刻的太阳光线构造两个相似三角形，利用相似三角形对应边的比相等列出关于物高、物影、人高、人影的比例关系式，然后通过测量物影、人高、人影来计算出物高．
典题精讲
在某一时刻，测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋楼的影长为90 m，这栋楼的高度是多少？
设这栋楼的高度是x m．
由题意得
解得x＝54.
因此这栋楼的高度是54 m.
解：
典题精讲
如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2 m的竹竿CD 作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合，测得OD＝4 m，BD＝14 m，则旗杆AB 的高为________m.
2
9
探索新知
2
知识点
利用工具
小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.9 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一栋建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2 m，
又测得地面部分的影长2.7 m，
他求得的树高是多少
问 题
探索新知
解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E，
因此BE=CD=1.2 m，CE=BD=2.7 m，
由
所以AB=AE+BE=1.2+3=4.2 (m).
答：这棵树的高为4.2 m．
可得AE=3 m，
探索新知
归 纳
1.与测量有关的概念：
(1)视点：观察物体时人的眼睛称为视点．
(2)仰角：测量物体的高度时，水平视线与观察物体的视线间
的夹角称为仰角．
(3)盲区：人的视线看不到的区域称为盲区．
2.测量原理：用标杆或直尺作为三角形的边，利用视点和盲区
的知识构造相似三角形．
探索新知
归 纳
3.测量方法：如图，观测者的眼睛C 必须与标杆的顶端D 和物体的顶端A“三点共线”，标杆与地面要垂直，测量出标杆的高度DF， 人眼离地面的高度CE，人与标杆的距离EF，标杆与物体的距离FG. 利用相似三角形“对应边的比相等”的性质求物体的高度AG.
探索新知
归 纳
利用标杆或直尺测量物体的高度也叫目测，在日常生活中有着广泛的应用，必要时可以用自己的身高和臂长等作为测量工具．
探索新知
例2 如图，左、右并排的两棵大树的高分别为AB = 8 m和CD = 12 m，
两树底部的距离BD = 5 m，一个人估计自己眼睛距地面1. 6 m. 她
沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当她与左边较低
的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C 了？
探索新知
分析：如图 ，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，
分别交AB，CD 于点H，K．视线FA 与FG 的夹角∠AFH 是观察点
A 时的仰角．类似地，∠CFK 是观察点C 时的仰角．由于树的遮
挡， 区域Ⅰ和Ⅱ ，观察者都看不到.
探索新知
解：如图，假设观察者从左向右走到点E 时，她的眼睛的位
置点E 与两棵树的顶端A，C 恰在一条直线上.
∵AB⊥l，CD ⊥l，∴AB∥CD.
∴△AEH ∽△CEK. ∴
即
解得EH=8(m).
由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树的距
离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的
顶端C.
探索新知
总 结
解实际问题关键是找出相似的三角形，然后根据对应边的比相等列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
典题精讲
如图，测得BD = 120 m，DC =60m，EC =50 m，
求河宽AB.
1
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD∽△EC D.
∴
解得AB＝100 m.
因此河宽AB 为100 m．　
解：
典题精讲
如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得边DF 离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝________m．　
2
5.5
探索新知
3
知识点
利用镜子反射
若在一个阴天，没有太阳光，还能测量金字塔的高度吗？
用镜面反射(如图，点A是一面小镜子，根据光的反射定
律：由入射角等于反射角构造相似三角形)．
分析：根据光的反射定律由入射
角等于反射角构造△AOB
与△AFE 相似，即可利用
对应边的比相等求出BO．
问 题
探索新知
总 结
利用相似三角形测量的一般步骤：
利用相似三角形的知识对未知量(高度、宽度等)进行测量，
一般要经历以下几个步骤：
(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；
(2)测量与表示未知量的线段相对应的边长，以及另外任
　 意一组对应边的长度；
(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括
未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
(4)检验并得出答案．
探索新知
例3 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一
　　 个目标点P，在近岸取点Q 和 S，使点P，Q，S 共线且
直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a
上选择适当的点T，确定PT 与
过点Q 且垂直PS 的直线b 的交
点R．已 测得QS = 45 m，
ST = 90 m，QR = 60 m，请
根据这些数据，计算河宽PQ.
探索新知
解： ∵ ∠PQR= ∠PST =90°, ∠P = ∠P,
∴ △PQR ∽ △PST.
∴
即
PQ×90=(PQ+45) ×60.
解得 PQ = 90(m).
因此，河宽大约为90 m.
探索新知
总 结
测量不能直接到达的两点间的距离，关键是构造两个相似三角形，利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离．
典题精讲
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意
图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射
后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，
测得AB＝2 m，BP＝3 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度
CD 是________．
8 m
典题精讲
如图，小明为了测量一凉亭的高度AB (顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE (DE＝BC＝0.5米，A，B，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点G 处，测得CG＝15米，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A，测得EG＝3米，小明身高1.6米，则凉亭的高度AB 约为(　　)
A．8.5米 B．9米
C．9.5米 D．10米
2
A
学以致用
小试牛刀
如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)(　　)
A．4 m
B．6 m
C．8 m
D．12 m
1
C
小试牛刀
济南大明湖畔的“超然楼”被称为“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD约为(　　)
A．47 m
B．51 m
C．53 m
D．54 m
2
B
小试牛刀
如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地
面上的影长为2.6 m，请你帮她算
一下，树高是(　　)
A．3.25 m B．4.25 m
C．4.45 m D．4.75 m
3
C
小试牛刀
4 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD 的高度，先在教学楼的底端A 点处，观测到旗杆顶端C 的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B 处，观测到旗杆底端D 的俯角是30°，已知教学楼AB 高4 m．
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果
保留根号)；
(2)求旗杆CD 的高度.
小试牛刀
　解：
(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD (结果保留根号)；
∵在教学楼上的B 处观测到旗杆底端D 的俯角是30°，
∴∠ADB＝30°.
在Rt△ABD 中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，
AB＝4 m，
∴BD＝2AB＝8 m．
∴AD＝　　　　　　　　　　　　　(m)．
即教学楼与旗杆的水平距离AD 是　　 m.
小试牛刀
(2)求旗杆CD 的高度.
　解：
∵在Rt△ACD 中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，∴∠ACD＝30°.
∴△ABD∽△DAC.
∴ 即
∴CD＝12 m.
即旗杆CD 的高度是12 m.
小试牛刀
5 如图，我们想要测量河两岸相对两点A，B 之间的距离(即河宽)，你有什么方法？
小试牛刀
　解：
方案1：如图①，构造全等三角形．在河岸边作BC⊥ AB，在BC上取一点O，使BO＝OC，连接AO 并延长，过点C 作BC 的垂线交AO的延长线于点D，则△ABO ≌ △DCO，所以AB＝DC. 测量出DC 的长，即可得到河宽AB.
小试牛刀
方案2：如图②，构造相似三角形．在河岸边作BC⊥ AB，在BC 上取一点O，使BO＝2OC，连接AO 并延长，过点C 作BC 的垂线交AO 的延长线于点D，
则△ABO∽△DCO，所以 ＝2，
即AB＝2CD.测量出CD 的长，即可求出河宽AB.
(本题答案不唯一)
小试牛刀
6 某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具(皮尺、标杆)可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c…表示)．
小试牛刀
(1)画出你设计的测量平面图；
解：
如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合．
小试牛刀
(2)简述测量方法，并写出测量的数据(长度用a，b，c …表示)．
解：
用皮尺测量旗杆的影长BE＝a m，标杆CD 的影长DE
＝b m，标杆高CD＝c m.
根据△EDC∽△EBA，得
即 ，
所以AB＝　 m，
即旗杆AB 的高为　 m.
小试牛刀
7 晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8 m的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6 m，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你
根据以上信息，求出小军的身高
BE.(结果精确到0.01 m)
小试牛刀
　解：
由题意得∠CAD＝∠MND＝90°，
∠CDA＝∠MDN，
∴△CAD∽△MND. ∴
即
∴MN＝9.6 m.
同理可证△EFB∽△MFN，∴
即
∴EB ≈ 1.75 m.
即小军的身高BE 约为1.75 m.
课堂小结
课堂小结
一 、相似三角形的应用主要有如下两个方面：
1 . 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；
2 . 测距(不能直接测量的两点间的距离).
、测高的方法
测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决 .
、测距的方法
测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解.
同学们，
下节课见！
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