【班海精品】人教版（新）九下-27.2 相似三角形 第六课时【优质课件】

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27.2 相似三角形
第6课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(1)什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形.
(2)如何判定两个三角形相似？
①定义；
②预备定理(平行)；
③三边对应成比例；
④两个角对应相等；
⑤两边对应成比例，且夹角相等；
温故知新
直角三角形（HL )
新课精讲
探索新知
1
知识点
相似三角形对应线段的比
三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？
问 题
探索新知
探究：
如图，△ABC∽△A′B ′C ′，相似比为k，它们对应高、
对应中线、对应角平分线的比各是多少？
如图，分别作△ABC 和 △A′B ′C ′的对应高AD 和A′D ′ .
A
B
D
C
A’
B’
D’
C’
探索新知
∵ △ ABC∽△A′B ′C ′， ∴ ∠B = ∠B ′ .
又△ ABD 和△A′B ′D ′都是直角三角形，
∴△ ABD ∽ △A′B ′D ′.
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于k.
探索新知
归 纳
这样，我们得到：
相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
探索新知
例1 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，矩形EFGH
内接于△ABC，且长边FG 在BC上，矩形相邻两边的比
为1∶2，若BC＝30 cm，AD＝10 cm，求矩形EFGH 的周长．
探索新知
导引：由四边形EFGH 为矩形，得EH∥BC，所以△AEH
与△ABC 相似，根据相似三角形对应高的比等于相
似比可求出HG 的长，进而求出EH 的长，即可求得
矩形EFGH 的周长．
解：设HG＝x cm，则EH＝2x cm. 易得AP⊥EH.
∵AD＝10 cm，∴AP＝(10－x ) cm.
∵四边形EFGH 为矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH ∽ △ABC．∴
解得x=6．∴HG＝6 cm，EH＝12 cm.
∴矩形EFGH 的周长为36 cm.
探索新知
总 结
相似三角形中对应线段的比等于相似比，其中“对应线段”除对应边外，还有对应边上的高、中线，对应角的平分线．
典题精讲
如图，△ABC 与△A′B ′C ′相似，AD，BE 是 △ABC 的高，A′D ′，B ′E ′是△A′B ′C ′的高，求证
∵△ABC∽△A′B′C ′，AD，A′D ′分别是△ABC，△A′B′C ′的高，
∴
又BE，B′E ′分别是△ABC，
△A′B′C ′的高，
∴ ∴
证明：
A
B
D
C
E
A’
B’
D’
C’
E’
典题精讲
已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，
则△ABC 与△DEF 对应中线的比为(　　)
A. B. C. D.
已知△ABC∽△A′B ′C ′，BD 和B ′D ′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C ′＝2∶3，若BD＝4 cm，则B ′D ′的长是(　　)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
A
C
探索新知
2
知识点
相似三角形周长的比
某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽，绿地被削
去了一个角，变成了一个梯形，
原绿化地一边AB 的长由原来的
30米缩短成18米(如图)．现在的
问题是：它的周长是多少？
问 题
探索新知
解答：将上面生活中的问题转化为数学问题是：
如图，已知DE∥BC，AB=30 m，BD=18 m，　　　
　　　△ABC 的周长为80 m，求△ADE 的周长.
探索新知
∵DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C，
∴△ADE∽△ABC，∴
由比例的性质可得，
而△ADE 的周长=AD＋AE＋DE，
△ABC 的周长=AB＋AC＋BC，
∴
∴△ADE 的周长=32 m.
探索新知
归 纳
从以上解答过程中可以看出：相似三角形的周长比等于相似比.
探索新知
例2 已知两个相似三角形的最短边分别为9 cm和6 cm.
若它们的周长之和为60 cm，则这两个三角形的周
长分别是多少？
导引：两个相似三角形的最短边就是一组对应边，由此可
确定相似比，进而根据已知条件，解以一个三角形
周长为未知数的方程即可．
探索新知
解：设△ABC∽△A1B1C1，且△ABC 中的最短边
AC＝9 cm，△A1B1C1中的最短边A1C1＝6 cm.
则
∴△ABC 和△A1B1C1的相似比为
设△ABC 的周长为x cm，
则△A1B1C1的周长为(60－x )cm.
∴
∴△ABC 的周长为36 cm，△A1B1C1的周长为24 cm.
解得x＝36，60－x＝24.
探索新知
总 结
相似三角形周长的比等于相似比．在解题时，如果是相似图形，求周长就常用到周长比等于相似比.
典题精讲
△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF
的周长比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
C
典题精讲
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC 的周长之比为(　　)
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
A
探索新知
3
知识点
相似三角形面积的比
相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
如图，由前面的结论，我们有
问 题
A
B
C
D
E
F
探索新知
归 纳
这样，我们得到：
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
探索新知
例3　如图，在△ABC 和△DEF 中，AB = 2DE，AC =
2DF，∠A=∠D． 若△ABC 的边BC 上的高为6，
面积为 ，求△DEF 的边EF 上的高和面积．
A
B
C
D
E
F
探索新知
解： 在△ABC 和△DEF 中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
∴
又 ∠D =∠A，
∴ △DEF∽△ABC，△DEF 与△ABC 的相似比为
∵△ABC 的边BC 上的高为6，面积为
∴△DEF 的边EF上的高为
面积为
探索新知
总 结
利用相似比求周长和面积时，先判定两个三角形相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题．警示：不要误认为面积的比等于相似比．
典题精讲
1 判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.
　　(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三　　
　　　角形的角平分线也扩大为原来的5倍； （　 ）
　　(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三
　　　角形的面积也扩大为原来的9倍. 　　　（ ）
√　
×
典题精讲
已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的面积比为(　　)
A．1∶4 B．4∶1
C．1∶2 D．2∶1
2
A
如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(　　)
A. B.
C. D.
3
D
典题精讲
有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于(　　 )
A．1：
B．1：2
C．2：3
D．4：9
4
D
典题精讲
如图，D，E 分别是△ABC 的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD 相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE 与S△CDE 的比是(　　)
A．1：3
B．1：4
C．1：5
D．1：25
5
B
易错提醒
如图，在△ABC 中，DE 与BC 平行，S△ADE∶S梯形BCED＝1∶4，求AD∶DB.
解：
因为S△ADE∶S 梯形BCED＝1∶4，所以S△ADE∶S△ABC＝1∶5.
因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
所以
所以
易错提醒
易错点：忽略相似三角形性质的适用条件.
跳出误区：此题易错计算为AD∶DB＝1∶2，要求AD∶DB，关键是求S△ADE∶S△ABC，根据三角形的面积比得出线段的比，从而得出AD与DB 的比．
学以致用
小试牛刀
1 若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
A
小试牛刀
如图，在 ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E 是OA的中点，连接BE 并延长交AD 于点F，已知S△AEF＝4，则下列结论：① ②S△BCE＝36；③S△ABE＝12；④△AEF∽△ACD.其中一定正确的是(　　)
A．①②③④
B．①④
C．②③④
D．①②③
2
D
小试牛刀
如图，△ABC 与△A′B′C ′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B ′＝ A′C ′＝3，若∠B＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A′B′C ′的面积比为(　　)
A．25：9　
B．5：3　
C.　
D．
3
A
小试牛刀
4 如图，四边形ABCD 为菱形，M 为BC上一点，连接AM 交对角线BD 于点G，并且∠ABC＝2∠BAM.
(1)求证：AG＝BG；
(2)若M 为BC 的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG的面积．
小试牛刀
∵四边形ABCD 为菱形，
∴BD 平分∠ABC.
∴∠ABC＝2∠ABG.
又∵∠ABC＝2∠BAM，
∴∠BAG＝∠ABG.
∴AG＝BG.
证明：
(1)求证：AG＝BG；
小试牛刀
证明：
(2)若M 为BC 的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG 的面积．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴△BGM∽△DGA.
∵M 为BC 的中点，∴BM＝ BC＝ AD.
即△BGM 与△DGA 的相似比为1∶2，
∴S△BGM∶S△DGA＝1∶4.
∵S△BGM＝1，∴S△DGA＝4.
小试牛刀
5 如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O上，∠ACB＝30°.
(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD，交AC 于点E，交
⊙O 于点D，连接CD (保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．
小试牛刀
　解：
(1)利用尺规作∠ABC 的平分线BD，交AC 于点E，交
⊙O 于点D，连接CD (保留作图痕迹，不写作法)；
如图.
小试牛刀
　解：
(2)在(1)所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．
如图，连接OD，设⊙O 的半径为r.
在△ABE 和△DCE 中，
∵∠BAE＝∠CDE，∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE.
在Rt△ACB 中，∠ABC＝90°，
∠ACB＝30°，∴AB＝　 AC＝r.
∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∵OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC＝45°，
∴∠DOC＝90°.
小试牛刀
在Rt△ODC 中，DC＝
∴
小试牛刀
6 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线 y＝－x＋3与x 轴交于点C，与直线AD 交于点A(　 ， )，点D 的坐标为(0，1)．
(1)求直线AD 对应的函数解析式；
(2)直线AD 与x 轴交于点B，若点E 是直线AD上一动点 (不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．
小试牛刀
(1)求直线AD 对应的函数解析式；
解：
设直线AD 对应的函数解析式为y＝kx＋b (k≠0)，
将D (0，1)，A( ， )的坐标代入解析式得
解得
∴直线AD 对应的函数解析式为
y＝ x＋1.
小试牛刀
解：
(2)直线AD与x 轴交于点B，若点E 是直线AD上一动点 (不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．
直线AD 对应的函数解析式为y＝ x＋1.
令y＝0，得x＝－2.∴B (－2，0)，即OB＝2.
直线AC 对应的函数解析式为y＝－x＋3.
令y＝0，得x＝3.∴C (3，0)，即BC＝5.
小试牛刀
设E (x， ＋1) ，
①当E1C⊥BC 时，如图，∠BOD＝∠BCE1＝90°，
∠DBO＝∠E1BC. ∴△BOD∽△BCE1.
此时点C 和点E1的横坐标相同．
将x＝3代入y＝ x＋1，解得y＝ .∴E1(3， ).
②当CE2⊥AD 时，如图，
∠BOD＝∠BE2C＝90°，
∠DBO＝∠CBE2，
∴△BOD∽△BE2C.
小试牛刀
过点E2作E2F⊥x 轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.
又∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，∠CE2F＋∠BE2F＝90°.
∴∠E2BF＝∠CE2F.
∴△E2BF∽△CE2F，则
∴E2F 2＝CF·BF，即( x＋1)2 ＝(3－x )(x＋2)，
解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．
∴E2(2，2)．
小试牛刀
当∠EBC＝90°时，此情况不存在．
综上所述：点E 的坐标为(3， )或(2，2)．
小试牛刀
7 (方案设计题)如图，有一批呈直角三角形，大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请设计一种方案，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
小试牛刀
　解：
如图①，设正方形EFGH 的边长为x cm，过点C 作CD
⊥AB 于点D，交EH 于点M.易知CM⊥EH.
因为∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，
所以AB＝　　　　　　　　　　　　＝13(cm)．
又因为AB ·CD＝AC·BC，
所以CD＝　　 　　　　　　　　(cm)．
又因为EH∥AB，所以△CEH∽△CAB.
小试牛刀
所以
如图②，设正方形CEGH 的边长为y cm.
因为GH∥AC，所以＝ 即
解得 y＝
因为
所以应按图②裁剪，这时正方形不锈钢片的面积最大，
它的边长为 cm.
课堂小结
课堂小结
1、相似三角形对应边成_______，对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于________.
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
相似比的平方
相似三角形的性质：
比例
相等
相似比
相似比
同学们，
下节课见！
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