2022-2023学年上海中学高三（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年上海中学高三（上）期中数学试卷
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知实数、，那么是的条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 已知与之间的几组数据如表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4. 对正整数，记若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方，则称为“破晓集”那么使能分成两个不相交的破晓集的并集时，的最大值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共12小题，共60.0分）
5. 函数的单调递增区间是______．
6. 若，则______．
7. 设，，，，求的取值范围是______．
8. 设函数在内可导，且，则______．
9. 已知实数，，满足，，则的最大值是______ ．
10. 已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的值是______．
11. 已知实数，，，集合，若关于的不等式的解集为，则实数的值为______．
12. 下列命题中错误的是______．
将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
在一组样本数据，，，不全相等的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为；
在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，若由独立性检验知，在犯错误率不超过的前提下，认为吸烟与患肺病有关系．若某人吸烟，则他有的可能性患肺病．
13. 已知，，则的最小值______．
14. 已知函数，，若对任意的实数，，均有，则实数的取值范围是______．
15. 已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是______．
16. 已知函数，若关于的方程在上有解，则的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值；
若关于的不等式只有一个整数解，求实数的取值范围．
18. 本小题分
已知关于的不等式的解集为，集合．
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
19. 本小题分
某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的小时内，药物在白鼠血液内的浓度单位：毫克升与时间单位：小时满足关系式为常数；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度单位：毫克升与时间单位：小时满足关系式现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．
若，求小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；
若要使小白鼠在用药后小时内血液中的药物浓度都不低于毫克升，求正数的取值范围．
20. 本小题分
如果函数的定义域为，且存在实常数，使得对于定义域内任意，都有成立，则称此函数具有“性质”．
已知函数具有“性质”，且当时，，求函数在区间上的函数解析式；
已知函数既具有“性质”，又具有“性质”，且当时，，若函数的图象与直线有个公共点，求实数的值；
已知函数具有“性质”，当时，，若有个不同的实数解，求实数的取值范围．
21. 本小题分
已知实数，函数，
当时，过原点的直线与函数相切，求直线的方程；
讨论方程的实根的个数；
若有两个不等的实根，，求证：
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得，．
，
故选：．
先化简，再运算即可得解．
本题考查集合的基本运算，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，
则，即，得，
所以是的必要不充分条件，
故选：．
等式两边平方即可判断．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
由表格中的数据可得，，进而可得和，代入可得，进而可得，再由直线方程的求法可得和，比较可得答案．
本题考查线性回归方程的求解，涉及由两点求直线方程，属于基础题．
【解答】
解：由题意可知，，，，
故，，
故可得，
所以，
而由直线方程的求解可得，把代入可得，
比较可得，，
故选：．
4.【答案】
【解析】解：先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，
假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，使不妨设，则由于，所以，即，
同理可得，，又推出，但，这与为破晓集相矛盾，
再证满足要求，当时，，
可以分成个破晓集的并集，
事实上，只要取，，
则和都是破晓集，且当时，集合中，除整数外，
剩下的数组成集合，可以分为下列个破晓集的并：，
当时，集合中，除整数外，剩下的数组成集合，
可以分为下列个破晓集的并：，
最后，集合中的数的分母都是无理数，
它与中的任何其他数之和都不是整数，因此，令，，
则和是不相交的破晓集，且．
综上，的最大值为．
故选：．
先证当时，不能分成两个不相交的破晓集的并集，假设当时，可以分成两个不相交的破晓集的并集，设和为两个不相交的破晓集，推出为破晓集相矛盾，再证满足要求，当时，，可以分成个破晓集的并集去证明，当时，去证明，最后它与中的任何其他数之和都不是整数，从而得到答案．
本题主要考查了元素与集合的关系，考查了反证法的应用，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于难题．
5.【答案】
【解析】解：由题知，
所以，
所以或，
因为在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以由复合函数单调性可知的单调递增区间是．
故答案为：．
根据复合函数定义域，单调性进行求解．
本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．直接把代入，然后利用对数的运算性质得答案．
【解答】
解：，可知，
即，
所以．
故答案为．
7.【答案】
【解析】解：令，
则，解得，
，，
，
即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
把用和表示，然后由不等式的性质得出结论．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，，
所以，，，．
故答案为：．
根据已知条件，结合导数的运算，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式，解决本题的关键是能熟练地利用基本不等式．
利用基本不等式易得，由得到有关的不等式后确定的取值范围即可．
【解答】
解：，
，
，
当且仅当时取等号，
，
，
，即，
，
的最大值是．
故答案为．

10.【答案】或或
【解析】解：考虑每个绝对值的端点，分别为，，，
则这三个端点必关于垂直于轴的直线对称，所以或或，
所以或或．
故答案为：或或．
利用绝对值不等式以及对称性求解．
本题主要考查了绝对值函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：集合，即函数的值域为，
的最小值为，
即，则，
又不等式的解集为，即解集为，
则的两个根、分别为、，
两根之差为，
由韦达定理得，，
又，
将代入得，解得，
故答案为：．
题意转化为的最小值为，表示出，的关系，又的解集为，根据韦达定理可得，，关系式，求解即可得出答案．
本题考查一元二次不等式的解法和二次函数的图象与性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，将一组数据中的每个数都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，所以错误；
对于，在散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为，所以错误；
对于，由独立性检验得，有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有的可能性使推断出现错误，所以错误．
综上，错误的命题序号是．
故答案为：．
根据均值和方差的性质，相关系数的特点，独立性检验的相关知识，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题主要考查命题的真假判断，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，则，
去分母化简得：，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立．
故答案为：．
设，利用，表示，利用得到，再变形得到，利用基本不等式求出最小值．
本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由于对任意的，，均有，因此，
当时，，而，当且仅当时，等号成立，
因此，
当时，，，当且仅当时，等号成立，
此时，
所以．
对，由已知，在上最大值为；在单调递减，
所以有满足，
所以要使成立，只需满足，
所以，则实数的取值范围是．
故答案为：．
由已知可得，需满足，即需求出的最大值和的最小值，得到不等式，即可解出的取值范围．
本题主要考查分段函数的及其应用，考查不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】或
【解析】解：当时，在区间上单调递减，
，
且，
且，
，故
，即，，
，，
．
当，即时，此时区间在左侧，在右侧，
在区间上为减函数，
当，，
，，，
，
，
，
，即，
，，
此时区间在右侧，
当时，
，
，，
，此时，解得：，
；
当，即时，在右边．
此时在区间上单调递减，
，
且，
且，
，故
，即，，
，，，不满足．
综上，的值为或．
故答案为：或．
根据两端区间和的关系分三种情况讨论：在左边，在和之间，在右边三种情况，根据单调性可得的值域，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可．
本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围．求解过程中需要统一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解．属于难题．
16.【答案】
【解析】解：设函数在上的零点为，则，
所以点在直线上，
设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方，
所以，，
设，设，
则，所以在上单调递减，
所以，
所以即，所以的最小值为，
故答案为：．
设函数在上的零点为，则由，则在直线上，则可看作是到直线的距离的平方，利用导数求出其最小值即可得到答案．
本题主要考查函数最值得求法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：定义域为，为奇函数；
；
；
，；
在上单调递增；
又为奇函数；
由得，；
；
；
；
，该不等式只有一个整数解；
；
上面不等式变成；
上面不等式只有一个整数解；
该不等式的解为；
；
解得；
实数的取值范围为．
【解析】可看出的定义域为，而又是奇函数，从而有，这样便可求出；
得出，求导数并可判断，从而得出在上单调递增，从而可以由得到，进一步便可得出而由该不等式只有一个整数解便可得到，并得到前面不等式的解为，这样便可得出，解该不等式即可得出实数的取值范围．
考查奇函数的概念，奇函数在原点有定义时，，根据导数符号判断一个函数单调性的方法，根据单调性定义解不等式，指数函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．
18.【答案】解：由题意得，同时注意，
所以或，解得，
即实数的取值范围为
在上恒成立，
同时注意当时，对称轴，
所以或或，
解得，
即实数的取值范围为
【解析】由集合的包含关系转化为一元二次方程根的分布问题进行讨论即可．
本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：当时，药物在白鼠血液内的浓度与时间的关系为：．
当时，．
当时，因为当且仅当时，等号成立，
所以．
故当时血液中药物的浓度最高，最大值为．
由题意得．
当时，，
由，得；
当时，，
由，得，
令，则，，所以．
综上，．
【解析】本题考查函数在实际生活中的应用，属于难题．
由题意时写出分段函数的解析式，再求最值即可；
由题意分段考虑小白鼠在用药后小时内血液中的药物浓度，再求的范围即可．
20.【答案】解：因为函数具有“性质”，所以恒成立，
所以，设，则，
所以；
既具有“性质”，即，所以函数偶函数，
又既具有“性质”，即，
所以函数是以为周期的函数．作出函数的图象如图所示：
由图象得当时，函数与直线交于点，
即有无数个交点，不合题意．
当时，在区间上，函数有个周期，
要使函数的图象与直线有个交点，
则直线在每个周期内都有个交点，且第个交点恰好为，
所以同理，当时，．
综上，；
当时，，
当且仅当时取等号，
函数具有“性质，则，
所以当时，，
则，当且仅当时取等号，
若有个不同的实数解，令，
则有两个大于的根，所以，
所以所以的取值范围为．
【解析】设，则，由题意可得，代入即可得解；
利用数形结合，函数的图象与过原点的直线有个公共点，结合周期性求解即可；
根据分析可得，令，若有个不同的实数解，则，两个大于的根，利用一元二次方程结合根的判别式即可得解．
本题主要考查函数与方程的综合运用，函数解析式的求法，函数的零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，设切点为，，
因为切线过原点，所以，得，
所以直线的方程为．
问题转化为求的实根的个数，
由可得，
所以，
设，
则，
当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
由题意得，即，
当时，，当时，；当时，
此时，
设，在上单调递增，上单调递减，，
当时，，无解，即无解；
当时，，有解，即有解；
当时，则，，所以，
由零点存在定理，有个零点，即有个解；
综上，当时，有个零点；
当时，有个零点；当时，有个零点．
证明：由已知可得，有两个不等的实根，，
由得，
由于单调递增，所以的两个不等的实根，，
即等价于的两个不等的实根，，所以，
不妨设，令，则，
所以，，
所以，要证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，则，
所以在单调递增，所以，证毕．
【解析】求曲线过某点处的切线方程，设切点，根据导数的几何意义表示出关系即可解出；
方程等价于，通过变换构造函数，对函数进行分析，转化为分析函数的零点情况；
根据的结果，知，设两根为，，令，然后结合已知式子特点考虑构造函数，结合导数分析函数性质即可求证．
本题主要考查用导数解决复杂的函数零点问题，常用到同构函数，即将原式等号两端构造为相同的形式，然后进行多次求导简化函数，另外要注意对参数进行分类讨论，从而解决问题．
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